• Quelques problèmes "élémentaires" (à formuler...) dits ouverts :



• Il y a une infinité de nombres entiers, il y a une infinité de nombres premiers. Mais y-a-t'il une infinité de nombres premiers jumeaux ?

                      2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,...
                         |__|__|  |____|  |____|      |____|
  



• La conjecture de Goldbach (Christian Goldbach, Leonhard Euler 1742) : Tout nombre pair strictement supérieur à 2 serait, au moins d'une façon, la somme de deux nombres premiers :

                      4   = 2+2
                      6   = 3+3
                      8   = 3+5 [= 5+3]
                      10  = 3+7 = 5+5 [= 7+3]
                      (...)
                      990 = 7+983 = 13+977 = 19+971 = 23+967 = 37+953 = 43+947 = 53+937 = 61+929 = 71+919 = 79+911 = 83+907 = 103+887 = 107+883 = 109+881 = 113+877 = 127+863 = 131+859 = 137+853 = 151+839 = 163+827 = 167+823 = 179+811 = 181+809 = 193+797 = 229+761 = 233+757 = 239+751 = 251+739 = 257+733 = 263+727 = 271+719 = 281+709 = 307+683 = 313+677 = 317+673 = 331+659 = 337+653 = 347+643 = 349+641 = 359+631 = 373+617 = 383+607 = 389+601 = 397+593 = 419+571 = 421+569 = 433+557 = 443+547 = 449+541 = 467+523 = 487+503 = 491+499 [= 499+491 = 503+487 = 523+467 = 541+449 = 547+443 = 557+433 = 569+421 = 571+419 = 593+397 = 601+389 = 607+383 = 617+373 = 631+359 = 641+349 = 643+347 = 653+337 = 659+331 = 673+317 = 677+313 = 683+307 = 709+281 = 719+271 = 727+263 = 733+257 = 739+251 = 751+239 = 757+233 = 761+229 = 797+193 = 809+181 = 811+179 = 823+167 = 827+163 = 839+151 = 853+137 = 859+131 = 863+127 = 877+113 = 881+109 = 883+107 = 887+103 = 907+83 = 911+79 = 919+71 = 929+61 = 937+53 = 947+43 = 953+37 = 967+23 = 971+19 = 977+13 = 983+7]
                      (...)
  



• La conjecture de Syracuse (Lothar Collatz 1928).



• La conjecture ABC (David Masser, Joseph Oesterlé 1985-1988 ; peut-être résolue par Shinichi Mochizuki en 2012).

• Les vingt-trois problèmes de David Hilbert (second Congrès International des Mathématiciens, Paris, août 1900). Des problèmes "plus difficiles" (à expliquer), plusieurs d'entre-eux n'étant toujours pas résolus et par exemple :



• L'hypothèse de Riemann (Bernhard Riemann 1859).



• HC, l'Hypothèse du Continu (Georg Cantor ~1890).

• Les équations de Navier-Stokes de la Mécanique des fluides (Henri Navier, George Stokes XIXe) figurent parmi les sept problèmes du millénaire de la Fondation Clay (2000).

 2    2    2
Z  = X  + Y 

• Plus de détails concernant cette démonstration du théorème de Pythagore.



• Les équations diophantiennes. L'équation :

                       2    2    2
                      X  + Y  = Z
  

  a une infinité de solutions entières {X,Y,Z} et par exemple la plus fameuse d'entre-elles :

                       2    2    2
                      3  + 4  = 5
  

  ou encore :

                       2     2     2
                      5  + 12  = 13
  

                       2     2     2
                      8  + 15  = 17
  

                      (...)
  



• Le grand "théorème" de Fermat. L'équation :

                       n    n    n
                      X  + Y  = Z     {X,Y,Z,n} E N     X.Y.Z # 0
  

  n'a pas de solutions entières {X,Y,Z} pour n=0 et n>2.

• La perspective :
  
  



• Le relief :
  
  



• L'analyse et l'authentification des œuvres d'art.



• De nouveaux outils de création.



• De nouvelles natures mortes :
  
  

• L'harmonie des proportions (le nombre d'or,...).



• Le choix des couleurs ("du froid au chaud") et des modes de représentation :
  
  



• Les illusions d'optique :
  
  

• Emploi et innovation (l'exemple du GPS : "union" de la Mécanique Quantique, de la Relativité Restreinte et de la Relativité Générale).



• La pollution, les changements climatiques, l'effet de serre, l'exploitation des gaz de schiste, la séquestration du dioxyde de carbone,... : il faut modéliser !



• L'épuisement des énergies non renouvelables (de la bougie à l'éclairage électrique, des centrales thermiques aux centrales nucléaires,...).



• Sans Recherche (appliquée et fondamentale), pas de Découvertes !