• 1.1-LE LANGAGE DE LA PHYSIQUE, UN "INSTRUMENT D'OPTIQUE" :
• 1.2-MAIS QUELLE EST LA FORME D'UN NUAGE ?

• 2.1-HISTORIQUE :
• 2.2-LA COURBE DE VON KOCH :
• 2.3-LA COHABITATION DU FINI ET DE L'INFINI :
• 2.4-L'AUTOSIMILARITE :
• 2.5-DEFINITION D'UN OBJET FRACTAL :
• 2.6-LES CONTRAINTES DE LA NATURE :
• 2.7-LA DIMENSION FRACTALE :

• 3.1-LA GEOMETRIE FRACTALE DETERMINISTE :
• 3.2-LA GEOMETRIE FRACTALE NON DETERMINISTE :

• 5.1-LA NOTION DE NOMBRE D'ITERATIONS :
• 5.2-LE CALCUL :
• 5.3-LA REPRESENTATION :

le GPS

1.1-LE LANGAGE DE LA PHYSIQUE, UN "INSTRUMENT D'OPTIQUE" :

Pour Galilée, les Mathématiques étaient le langage de la nature, que l'homme devait connaître pour la comprendre. Quatre cents ans plus tard cette conviction est chaque jour renforcée. Ainsi que le déclarait Eugène Wigner, Prix Nobel de Physique en 1963, les Mathématiques décrivent notre réalité avec une redoutable efficacité : des particules élémentaires à notre Univers et au-delà. Elles sont un véritable instrument d'optique virtuel qui nous révèlent chaque jour de nouvelles entités autrement inaccessibles à nos sens. C'est ainsi, par exemple, que cent ans après leur découverte théorique par Albert Einstein en 1915-1916 les premières ondes gravitationnelles ont enfin pu être observées.


1.2-MAIS QUELLE EST LA FORME D'UN NUAGE ?

Ses succès étaient et sont considérables ! Mais malgré tout, jusqu'à un passé récent, à des questions pourtant d'apparence simple et naïve, les Mathématiques ne pouvaient pas répondre. Ainsi, face à la question " quelle est la forme d'un nuage ?" elles restaient muettes. Pour comprendre comment une réponse à ce type d'interrogation a pu être apportée dans les années 1960 par Benoît Mandelbrot et "ses" fractales, il convient de revenir au milieu du XIXe siècle.

2.1-HISTORIQUE :

En oubliant la rigueur habituelle des mathématiciens, on dira qu'une courbe est continue s'il est possible de la tracer sans lever le crayon de la feuille de papier. Or, jusqu'au milieu du XIXe siècle on croyait qu'une telle courbe possédait une tangente en chacun de ses points. Et puis, soudainement, apparurent sous l'impulsion de mathématiciens tels Cantor, Peano, Sierpinski, Weierstrass, von Koch et d'autres encore des "monstres" : des courbes continues sans tangente ! Charles Hermite les considérait d'ailleurs comme une plaie lamentable qu'il regardait avec effroi.


2.2-LA COURBE DE VON KOCH :

Evidemment, ces courbes ne peuvent être dessinées ni sur une feuille de papier ni sur un écran d'ordinateur car, en effet, dans le cas contraire, le vecteur vitesse du tracé définirait en chaque point une tangente. Seules des approximations plus ou moins grossières peuvent donc être présentées. Mais cela ne doit pas choquer : cette situation est fréquente en Mathématiques. Ainsi on parle de la transcendance du nombre pi, on le manipule, on l'utilise dans des calculs, mais seules ses premières décimales peuvent être connues et affichées !

L'exemple le plus trivial que l'on puisse donner de tels "monstres" est celui de la courbe de von Koch. Sa définition est en fait donnée par une règle de construction tout à fait élémentaire que l'on répétera ensuite sans fin (ou presque...). On dit alors que l'on itère. Le point de départ est un segment. En son tiers central, on dessine un triangle équilatéral dont on efface ensuite la base. Cette unique et simple règle est ensuite répétée sur les quatre petits segments que l'on vient d'obtenir. Et ainsi de suite... On voit que par ce procédé, on ajoute indéfiniment de plus en plus de pointes qui sont de plus en plus petites. Cette courbe est souvent présentée sous la forme d'un flocon dit de von Koch dont voici les quatre premières itérations superposées et emboîtées les unes dans les autres.

Le lien entre la courbe de von Koch et les nuages pour lesquels nous cherchons à définir mathématiquement la forme n'est pas évident. Mais regardons les choses de plus près en observant maintenant deux propriétés étonnantes de cette courbe et de ses "sœurs".


2.3-LA COHABITATION DU FINI ET DE L'INFINI :

Voici trois étapes de numéro 1,2 et 90 de la construction de cette courbe. Supposons que le segment de départ marqué en bleu sur cette figure mesure un mètre. On voit nettement que la longueur du tracé violet à l'itération 2 est supérieure à celle du tracé rouge à l'itération 1 qui est elle-même plus grande que celle du segment. La longueur croît au cours des itérations : à chacune de celles-ci, elle est évidemment et simplement multipliée par 4/3. A l'itération 90 la longueur est donc égale à 4/3 puissance 90, c'est-à-dire 175.584.548.321 mètres soit plus que la distance de la Terre au Soleil qui vaut environ 150 millions de kilomètres ! Nous sommes donc en présence d'une courbe qui est clairement d'un encombrement fini, alors que sa longueur est à la limite infinie ! Or dans la nature, nombreux sont les objets où cohabitent à la fois le fini et l'infini où dans ce contexte, "infini" signifie "beaucoup". C'est ainsi le cas des alvéoles pulmonaires dont le volume est faible et inférieur évidemment à celui de la cage thoracique, alors que la surface totale est comprise entre 100 et 200 mètres carrés chez l'adulte...


2.4-L'AUTOSIMILARITE :

La courbe de von Koch possède une autre propriété extraordinaire : celle de l'autosimilarité. Cela signifie que la forme globale se retrouve à toutes les échelles d'observation comme le montre ce zoom de rapport 3. Une telle propriété se rencontre aussi dans de nombreux objets de la nature et en particulier dans beaucoup d'espèces d'arbres et par exemple les chênes. Ainsi, en prenant la plus grosse branche marquée en rouge et en la posant par terre, nous obtenons un nouvel arbre, mais plus petit. Cette opération peut ensuite être répétée plusieurs fois... Mais dans la nature, évidemment, cette propriété d'autosimilarité n'est qu'approximative et ne porte que sur un nombre fini d'itérations.


2.5-DEFINITION D'UN OBJET FRACTAL :

On dira qu'on objet est fractal s'il possède les deux propriétés que l'on vient de voir avec la courbe de von Koch : d'une part la cohabitation de mesures finie et infinie et d'autre part l'autosimilarité. On pourra dire aussi que cet objet est une fractale.


2.6-LES CONTRAINTES DE LA NATURE :

Comme nous l'avons remarqué, on trouve dans la nature des objets possédant les mêmes propriétés que la courbe de von Koch : ils sont donc fractals. Mais les alvéoles pulmonaires et les arbres que nous venons de voir ne sont pas les seuls. C'est aussi le cas des montagnes, des côtes ou encore des nuages.

Et pourquoi en est-il ainsi ? L'exemple des alvéoles pulmonaires permet d'ébaucher une réponse : elles assurent des échanges gazeux. Il est donc important de maximiser la surface d'échange. Mais d'un autre côté le volume occupé doit être minimal pour des raisons structurelles. Si la nature avait privilégié une géométrie plus conventionnelle en donnant à la surface, par exemple, la forme d'une sphère, celle-ci devrait avoir un diamètre compris entre six et huit mètres. Il est évident qu'une telle structure ne serait pas viable !


2.7-LA DIMENSION FRACTALE :

Les objets fractals sont de toute évidence complexes, irréguliers, rugueux,... Il est donc essentiel de disposer d'une mesure de ces propriétés : c'est la dimension fractale. Pour la définir simplement, il convient de revenir à la notion de volume. Soit donc un cube K de côté C que l'on suppose entier pour simplifier. Son volume V est défini par le côté C à la puissance 3 :



                         3
                    V = C

On en déduit que 3 est égal au logarithme du volume V divisé par le logarithme du côté C:



                         log(V)
                    3 = --------
                         log(C)

Mais :


• Le volume V est aussi le nombre N de copies du cube unité U contenus dans le cube K,
• Le côté C est aussi le rapport d'homothétie H permettant de passer du cube unité U au cube K,
• Enfin, la constante 3 est aussi la dimension D du cube K.

La dimension D est donc égale au logarithme de N divisé par le logarithme de H :


                         log(N)
                    D = --------
                         log(H)


Cette définition peut-être étendue à tout objet et D est alors appelée dimension fractale.

Dans le cas de la courbe de von Koch le nombre N de copies est égal à 4 et le rapport d'homothétie H à 3. Sa dimension fractale D est donc égale au logarithme de 4 divisé par le logarithme de 3, c'est-à-dire approximativement 1,26 :


                         log(4)
                    D = -------- = 1,261859507142915...
                         log(3)

Ainsi, la dimension fractale D de la courbe de von Koch est comprise entre 1 et 2. Cette courbe est donc intermédiaire entre une droite (de dimension D=1) et un plan (de dimension D=2).

3.1-LA GEOMETRIE FRACTALE DETERMINISTE :

Dans la définition de la courbe de von Koch le hasard n'intervient pas. Il en est de même de nombreux autres objets qui font alors partie de la géométrie fractale dite déterministe. Beaucoup d'entre-eux sont très réguliers : c'est par exemple le cas du tapis de Sierpinski ; il est obtenu à partir d'un grand carré que l'on perce de trous carrés de plus en plus petits. C'est aussi le cas de l'éponge de Menger obtenue suivant le même principe à partir d'un grand cube que l'on perce de trous cubiques de plus en plus petits. Cet objet possède une propriété étonnante : à la limite sa surface est infinie et son volume nul ! Mais d'autres, malgré l'absence de hasard, sont très irréguliers : ainsi le fameux ensemble de Mandelbrot calculé dans le plan complexe, ou bien cet ensemble de Julia calculé dans un espace à huit dimensions ou encore cet ensemble plein de mystères obtenu dans un espace tridimensionnel.


3.2-LA GEOMETRIE FRACTALE NON DETERMINISTE :

Pour répondre enfin à la question de la forme d'un nuage, il est évident qu'il convient d'ajouter une dose d'aléatoire. C'est l'objet de la géométrie fractale dite non déterministe. Il est alors possible de produire des images réalistes de paysages terrestres telle cette vue de Monument Valley au lever du Soleil ou de cette montagne dans le brouillard. Mais il est aussi possible d'aller plus loin et par exemple sur la Lune ou encore dans des contrées inexistantes. Il est essentiel de bien comprendre que ces lieux n'existent que dans la mémoire de nos ordinateurs et qu'il ne s'agit surtout pas de photographies prises ici ou là.

cette marche aléatoire de particules qui se collent les unes aux autres lors de leurs collisions produit un agrégat fractal

la diffusion bidimensionnelle qui modélise la propagation d'un incendie de forêt ou encore la soudure de deux métaux : le front de diffusion

5-LES DIFFICULTES ET LES PROBLEMES :

5.1-LA NOTION DE NOMBRE D'ITERATIONS :

Tous les objets fractals reposent sur la notion d'itération : une ou plusieurs opérations doivent être répétées théoriquement une infinité de fois. Mais pour des raisons pratiques évidentes, il est clair que cela est impossible et qu'il faut bien s'arrêter au bout d'un certain temps. Or ces opérations sont bien souvent conditionnées par des tests. Que ce serait-il donc passé si une itération de plus avait été effectuée ? On voit ainsi, par exemple, que la représentation de l'ensemble de Mandelbrot dépend fortement du nombre d'itérations 1, 2, 3 ou 4 utilisées.


5.2-LE CALCUL :

Evidemment, les objets fractals que nous venons de voir ont tous été calculés à l'aide d'ordinateurs. Et contrairement à une croyance bien ancrée, ces machines ne calculent pas exactement, sauf cas particuliers. La sensibilité à ces erreurs dites d'arrondis dépend du problème traité. En général le calcul des objets fractals y est très sensible. Cela se voit, par exemple, lors du calcul de l'ensemble de Mandelbrot : les points blancs de cette image montrent les différences entre deux calculs faits avec deux précisions différentes : 32 et 64 bits.


5.3-LA REPRESENTATION :

Enfin, les objets fractals étant infiniment compliqués et résidant en général dans des espaces à plus de deux dimensions, ils ne peuvent pas être représentés dans leur intégralité et avec une précision absolue. Ainsi, on ne saura certainement jamais à quoi ressemble réellement cet ensemble de Julia dans son espace à huit dimensions et dont on ne voit ici qu'une section tridimensionnelle projetée sur un plan.

7-L'ULTIME FRACTALE ?