Fractal diffusion front in a bidimensional medium obtained by means of a random walk process [Front fractal de diffusion dans un milieu bidimensionnel obtenu grâce à un processus de marche aléatoire].




A source of particles (with constant concentration) is located far below the bottom line of an initially empty square lattice . From time to time, each particle is free to move to one of its four neighbour sites -East, South, West and North- on the condition this site is free. After a long simulation time, five subsets of sites can be defined :




See the 'Island-Peninsula' phenomenon :

<==>


See the particle density (pi/2 rotated : the particle source is on the left hand side) :





Un modèle de la diffusion ou l'émergence des structures fractales :

La diffusion est un phénomène universel essentiel à la plupart des processus du vivant, que l'on rencontre dans l'industrie (soudure, fabrication des circuits intégrés,...) et aussi, malheureusement, dans la propagation des incendies de forêts. Un modèle simple (illustré ici bidimensionnellement) consiste à utiliser comme espace l'ensemble des nœuds (ou sites) d'un réseau carré. Initialement ces sites sont inoccupés, sauf ceux qui figurent sur la ligne horizontale inférieure, cette dernière constituant une source de particules maintenue à concentration constante par la suite. A chaque pas de temps de la simulation, un certain nombre de particules (choisies au hasard) sont déplacées de leur position actuelle vers l'un de leurs quatre sites voisins (lui aussi choisi aléatoirement), mais à condition qu'il ne soit pas déjà occupé. Ainsi, progressivement, les particules envahissent l'espace et un certain nombre de sous-ensembles sont définis : en particulier la terre (une terminologie géographique est ici utilisée pour des raisons évidentes) est constituée des particules connectées (par contact avec les voisines) à la source d'émission. Dans cette image, la terre apparaît en vert clair. Sa frontière (ou plage) marquée en jaune a de toute évidence une forme tourmentée et son irrégularité est caractérisée par une dimension fractale importante : elle avait été conjecturée par Bernard Sapoval et al. comme valant exactement 7/4 et ce résultat fut démontré par Greg Lawler, Pierre Nolin, Oded Schramm, Stanislas Smirnov et Wendelin Werner (Médaille Fields 2006). Des structures fractales peuvent ainsi émerger de processus élémentaires aussi bien mathématiques (comme dans cet exemple) que physiques.


(Site WWW CMAP28 : cette page a été créée le 04/07/2007 et mise à jour le 28/01/2014 15:37:47 -CET-)



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