L'ARITHMETIQUE ELEMENTAIRE DE PEANO :














Dans la pratique, le successeur d'un entier n s'écrit : 
                    S(n) = n+1
et l'ensemble N des nombres entiers : 
                    N = {0,1,2,3,4,5,6,7,...}





L'ensemble N "n'a pas de fin" : il est infini "en puissance".








Tous les nombres entiers sont finis et TOUS sont "monstrueux".

Imaginons que l'on recouvre la France de petits chiffres occupant 1 cm2 . Placés les uns derrières les autres, en supposant que le premier ne soit pas un "0", cela donnerait un nombre entier N1 qui semble "monstrueux" avec ses plus de 5.000 milliards de chiffres. Mais en fait, N1 serait "minuscule" puisqu'il suffirait, par exemple, de calculer N2=N1N1 pour obtenir un nombre encore plus "monstrueux", mais lui-aussi "minuscule" par rapport à ceux qui suivraient en itérant ce processus (Nn+1=NnNn) !

Et bien qu'étant inaccessibles, on peut malgré tout savoir des "choses" sur ces nombres et par exemple que l'équation dite diophantienne XNn+ YNn= ZNn n'a qu'une seule solution : X = Y = Z = 0 (c'est le grand théorème de Fermat) !


Il est à remarquer que le nombre de particules contenus dans l'Univers observable doit être inférieur à 1090, nombre qui, ne contenant qu'environ 90 chiffres, est donc ridiculement petit par rapport au nombre N1 évoqué ci-dessus (et a fortiori aux nombres Nn). Ces nombres sont donc définitivement inaccessibles à nos ordinateurs. On notera, au passage, qu'une machine construite en utilisant toute la matière de l'Univers observable s'effondrerait évidemment en un gigantesque trou noir, tout en étant incapable de manipuler ces "monstres" !

































































L'ARITHMETIQUE ELEMENTAIRE DE PEANO :






Jean-François COLONNA
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