Géométrie fractale et phénomènes naturels

("Dessine-moi un nuage")

Jean-François COLONNA
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CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris, CNRS, France

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(Site WWW CMAP28 : cette page a été créée le 21/01/2011 et mise à jour le 19/05/2026 19:05:59 -CEST-)

[Plan de conférences données à l'Ecole des Mines de Paris (22/01/2011, 21/01/2012, 19/01/2013, 18/01/2014, 14/03/2015), à l'Université Inter-Ages de Versailles (21/01/2014), à la journée Science de la Principauté d'Andorre (02/04/2014),...]

Plan de ce document :

1-LES MATHEMATIQUES :

1.1-LE LANGAGE DE LA PHYSIQUE, UN "INSTRUMENT D'OPTIQUE" :
1.2-LA REALITE EN SOI ?
1.3-MAIS QUELLE EST LA FORME D'UN NUAGE ?

2-DEFINITION DES FRACTALES :

2.1-HISTORIQUE :
2.2-LA COURBE DE VON KOCH :
2.3-LE FINI, L'INFINI ET LES CONTRAINTES DE LA NATURE :
2.4-L'AUTOSIMILARITE :
2.5-LA DIMENSION FRACTALE :

3-LA GEOMETRIE FRACTALE DETERMINISTE :
4-LA GEOMETRIE FRACTALE NON DETERMINISTE :
5-L'EMERGENCE ET L'UNIVERSALITE DES FRACTALES :
6-LES DIFFICULTES ET LES PROBLEMES :

6.1-LA NOTION DE NOMBRE D'ITERATIONS :
6.2-LE CALCUL :
6.3-LA REPRESENTATION :

7-LES FRACTALES ET L'ART :
8-LA REALITE (ET LA SCIENCE DONC...), LA FRACTALE ULTIME ?
9-BEST OF :

1-LES MATHEMATIQUES :

1.1-LE LANGAGE DE LA PHYSIQUE, UN "INSTRUMENT D'OPTIQUE" :

+26 8.8 10 mètres

$Vue artistique du Réseau Cosmique (nœuds, amas de galaxies, filaments,... incluant 1.083.984 galaxies)obtenu grâce à un processus fractal non déterministe$

L'Univers observable et au-delà...

La marche aléatoire des photons produits au cœur du Soleil

Intégration du problème des N-corps (N=10)montrant le véritable système solaire pendant une année plutonienne -point de vue du Soleil-

Les étoiles et les systèmes planétaires.

Le système solaire avec une planète virtuelle verte -point de vue de la planète virtuelle-

Turbulence et Chaos.

$Une structure végétale fractale$

Le champ des normales d'un coquillage (surface de Jeener 1)

Un morceau de la double hélice d'ADN -un hommage à Francis Crick, Rosalind Franklin et James Watson-

La Nature et la Vie, la Terre est notre Berceau.

Visualisation tridimensionnelle haute résolution de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-

Agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot dans l'ensemble des pseudo-octonions (un 'Mandelbulb')-section tridimensionnelle-

La Complexité émergeant du Chaos.

Visualisation tridimensionnelle de la superposition linéaire de 6 états propres de l'atome d'Hydrogène (calcul tridimensionnel)

Structure en quarks et gluons du nucléon

Molécules, Atomes et Particules Elémentaires.

-19 2.0 10 mètre

Terra Incognita (Mathematica ?)...

$Représentation tridimensionnelle de variétés quadridimensionnelles de Calabi-Yau -des variétés de Calabi-Yau en chaque point d'un espace fractal tridimensionnel-$

L'Espace-Temps, l'Echelle de Planck et au-delà...

-35 1.6 10 mètre

1.3-MAIS QUELLE EST LA FORME (*) D'UN NUAGE ?

Les géométries "classiques" ne peuvent répondre à cette question.

2-DEFINITION DES FRACTALES :

2.2-LA COURBE DE VON KOCH :

Le processus de construction de la courbe de von Koch

Définition...

2.3-LE FINI, L'INFINI ET LES CONTRAINTES DE LA NATURE :

A propos de la longueur de la courbe de von Koch

Le fini et l'infini...

Convexion et diffusion de particules à l'intérieur d'un modèle de l'acinus pulmonaire humain utilisant un arbre binaire tridimensionnel avec perméabilité de la membrane

Diffusion de particules à l'intérieur du modèle de l'acinus pulmonaire humain dû à Hiroko Kitaoka avec perméabilité de la membrane

Les contraintes de la Nature (pour paraphraser Albert Einstein : "Dieu ne joue peut-être pas aux dés, mais il fait très certainement de la Géométrie fractale"...)

2.4-L'AUTOSIMILARITE :

L'autosimilarité de la courbe de von Koch...

$Un arbre fractal parfait bidimensionnel et l'autosimilarité$ $Un arbre fractal aléatoire bidimensionnel et l'autosimilarité$

Zoom sur des nuages légers autosimilaires

L'autosimilarité dans la nature...

$Une structure fractale tridimensionnelle -un hommage à Thierry Mauger-$ $Nouvelle Lune fractale$

et ailleurs...

2.5-LA DIMENSION FRACTALE :

cube


V = C³	125 = 5³
\|\| \/	\|\| \/
*log(V) = 3 log(C)**	*log(125) = 3 log(5)**
\|\| \/	\|\| \/
3 = log(V) / log(C)	3 = log(125) / log(5)

V est aussi le nombre N de cubes unité U contenu dans K (ou nombre de copies),
C est aussi le rapport d'homothétie H permettant de passer de U à K,
3 est aussi la dimension D de K.

D = log(V) / log(C)

||
\/

D = log(N) / log(H)

dimension fractale

$A propos de la dimension fractale avec les deux premières itérations -rouge et verte respectivement- de la construction de la courbe de von Koch$

                    N=4 (=nombre de copies)
                    H=3 (=rapport d'homothétie)

D = log(4) / log(3)

                    1 < log(4)/log(3) = 1.261859507142915 < 2     ==>     "droite < courbe de von Koch < plan"

Quelques exemples d'objets classés par ordre de dimensions fractales croissantes :

0 : un point.

L'ensemble triadique de Cantor -itérations 0 à 5-

log(2)/log(3)=0.63... : l'ensemble triadique de Cantor.

Une ligne droite -une variété monodimensionnelle- ou un cylindre -une variété bidimensionnelle- vu de loin ?

1 : une droite.

Les deux premières itérations de la construction de la courbe de von Koch

log(4)/log(3)=1.26... : la courbe de von Koch.

Mouvement brownien bidimensionnel -la palette de couleurs (magenta,rouge,jaune,vert,cyan)est une fonction croissante du temps- et sa 'frontière extérieure' (ou enveloppe) -blanche-

4/3=1.33... : l'enveloppe -en blanc- du mouvement brownien bidimensionnel -en couleurs-.

Les deux premières itérations de la construction de la courbe de Minkowski

3/2=1.5 : la courbe de Minkowski.

$Front fractal de diffusion dans un milieu bidimensionnel obtenu grâce à un processus de marche aléatoire$
7/4=1.75 : le front fractal de diffusion bidimensionnel.

Le tapis de Sierpinski -itération 1 à 5-

log(8)/log(3)=1.89... : le tapis de Sierpinski.

2: le mouvement brownien bidimensionnel -en couleurs-.

Courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 5-

2 : courbe de Hilbert bidimensionnelle.

2 : un plan.

log(20)/log(3)=2.72... : l'éponge de Menger.

Courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 4-

3 : courbe de Hilbert tridimensionnelle.

Représentation tridimensionnelle de notre espace tridimensionnel familier

3 : l'espace tridimensionnel.

4 : l'hypercube.

Un 5-cube -un hyperhypercube- distordu -afin de simplifier la visualisation-

5 : l'hyperhypercube.

Représentation tridimensionnelle de variétés quadridimensionnelles de Calabi-Yau -de telles variétés en chaque point de notre espace tridimensionnel familier ?-

11 : l'espace-temps à l'échelle de Planck (10^-35 mètre et 10^-43 seconde) ?

3-LA GEOMETRIE FRACTALE DETERMINISTE :

Les 64 premières lignes du triangle de Pascal

Un pavage périodique du plan utilisant 2 flocons de neige de type von Koch -itération 5-

Un pavage périodique du plan utilisant 3 flocons de neige de type von Koch -itération 5-

Le long de la frontière de l'ensemble de Mandelbrot

Calcul des racines de Z^3=1 grâce à la méthode de Newton

Une coupe très étonnante dans l'éponge de Menger -itération 5- avec une transformation conforme (4xO+1)/(1xO-1) dans l'ensemble des octonions -section tridimensionnelle-

Un ensemble de Mandelbrot dans l'ensemble des pseudo-octonions (un 'MandelBulb')-section tridimensionnelle-

Un ensemble de Mandelbrot dans l'ensemble des pseudo-octonions (un 'MandelBulb')-'le coin des enfants' ou 'la conscience émergeant des Mathématiques'- -section tridimensionnelle-

Un ensemble de Julia brumeux dans l'ensemble des pseudo-octonions (comme un 'MandelBulb' : un 'JuliaBulb')calculé pour A=(-0.581514...,+0.635888...,0,0,0,0,0,0) -section tridimensionnelle-

Un ensemble de Julia brumeux dans l'ensemble des pseudo-octonions (comme un 'MandelBulb' : un 'JuliaBulb')calculé pour A=(-0.581514...,+0.635888...,0,0,0,0,0,0) et avec une rotation autour de l'axe X -section tridimensionnelle-

Voir plus d'images de géométrie fractale déterministe

Et en particulier celles des courbes remplissantes

4-LA GEOMETRIE FRACTALE NON DETERMINISTE :

Choux-fleurs, algues, coquillages,... dans le brouillard

$Synthèse fractale de montagnes avec de la végétation et des nuages d'orage$ $Animation d'un lever du Soleil sur un paysage fractal$

La Tour de Babel dans le brouillard -un hommage à Bruegel l'Ancien-

$Seize tores fractals entrelacés$ $Structure fractale tridimensionnelle$ $Représentation tridimensionnelle d'une variété quadridimensionnelle de Calabi-Yau fractale$

$Les trajectoires des particules d'agrégats fractals bidimensionnels obtenus par collage de 50% de celles-ci lors de leurs collisions, dans un champ de gravitation vertical$ $Les trajectoires des particules d'agrégats fractals bidimensionnels obtenus par collage de 50% de celles-ci lors de leurs collisions, dans un champ de gravitation central attractif$

$Le phénomène 'île-presqu'île' du front fractal de diffusion dans un milieu bidimensionnel obtenu grâce à un processus de marche aléatoire$

Une éponge pyramidale de Menger obtenue à l'aide de la méthode des 'Iterated Function Systems' -IFS-

Plus d'images de géométrie fractale non déterministe

5-L'EMERGENCE ET L'UNIVERSALITE DES FRACTALES :

Zoom sur une représentation bidimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot

La convergence du calcul des racines de Z^3=1 grâce à la méthode de Newton

$Front fractal de diffusion dans un milieu bidimensionnel obtenu grâce à un processus de marche aléatoire$ $Agrégats fractals bidimensionnels obtenus par collage de 100% des particules lors de leurs collisions, dans un champ de gravitation central attractif$