A Tridimensional Hilbert-like Curve defined with {X3(...),Y3(...),Z3(...)} and based on an 'open' 3-foil torus knot -iteration 3- [Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X3(...),Y3(...),Z3(...)} et basé sur un nœud '3-trèfle' torique 'ouvert' -itération 3-].
A la fin du dix-neuvième siècle, après que Georg Cantor ait montré que [0,1] et [0,1]x[0,1]
avait même cardinal, Giuseppe Peano puis David Hilbert ont proposé des courbes continues passant par tous les
points du carré unité.
Voici une grossière approximation de l'une d'elle:  obtenue à partir de la courbe génératrice  .
Cela se generalise sans problèmes dans les dimensions supérieures et en particulier [0,1] et [0,1]x[0,1]x[0,1] ont le même cardinal. Ainsi, il est possible de disposer de courbes continues passant par tous les points du cube unité. Voici, là-aussi, une grossière approximation de l'une d'elle:  obtenue à partir de la courbe génératrice  .
Mais il est évidemment possible d'utiliser des courbes génératrices différentes, mais à condition qu'elles respectent une contrainte essentielles concernant leurs deux extrémités: celles-ci doivent être localisée sur deux sommets voisins du cube. On pourra, par exemple, comme c'est le cas ici, utiliser un nœud de trèfle "ouvert" (c'est-à-dire que l'on a coupé):  .
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defined by means of 3 real functions of T
(T ∈ [0,1])
X1(T) ∈ [0,1], Y1(T) ∈ [0,1] and Z1(T) ∈ [0,1]
such as
:
X1(T=0)=0 Y1(T=0)=0 Z1(T=0)=0 (lower left foreground corner)
X1(T=1)=1 Y1(T=1)=0 Z1(T=1)=0 (lower right foreground corner)
Ci(T) = {Xi(T),Yi(T),Zi(T)} ∈ [0,1]x[0,1]x[0,1] --> Ci+1(T) = {Xi+1(T),Yi+1(T),Zi+1(T)} ∈ [0,1]x[0,1]x[0,1]
if T ∈ [0,1/8[:
Xi+1(T) = Xi(8T-0)
Yi+1(T) = Zi(8T-0)
Zi+1(T) = Yi(8T-0)
Transformation 1
if T ∈ [1/8,2/8[:
Xi+1(T) = Zi(8T-1)
Yi+1(T) = 1+Yi(8T-1)
Zi+1(T) = Xi(8T-1)
Transformation 2
if T ∈ [2/8,3/8[:
Xi+1(T) = 1+Xi(8T-2)
Yi+1(T) = 1+Yi(8T-2)
Zi+1(T) = Zi(8T-2)
Transformation 3
if T ∈ [3/8,4/8[:
Xi+1(T) = 1+Zi(8T-3)
Yi+1(T) = 1-Xi(8T-3)
Zi+1(T) = 1-Yi(8T-3)
Transformation 4
if T ∈ [4/8,5/8[:
Xi+1(T) = 2-Zi(8T-4)
Yi+1(T) = 1-Xi(8T-4)
Zi+1(T) = 1+Yi(8T-4)
Transformation 5
if T ∈ [5/8,6/8[:
Xi+1(T) = 1+Xi(8T-5)
Yi+1(T) = 1+Yi(8T-5)
Zi+1(T) = 1+Zi(8T-5)
Transformation 6
if T ∈ [6/8,7/8[:
Xi+1(T) = 1-Zi(8T-6)
Yi+1(T) = 1+Yi(8T-6)
Zi+1(T) = 2-Xi(8T-6)
Transformation 7
if T ∈ [7/8,1]:
Xi+1(T) = Xi(8T-7)
Yi+1(T) = 1-Zi(8T-7)
Zi+1(T) = 2-Yi(8T-7)
Transformation 8
in order to understand the geometrical meaning of the 8 transformations 
and of their order .
[See the used color set to display the parameter T]
defined by means of 2 real functions of T
(T ∈ [0,1])
X1(T) ∈ [0,1] and Y1(T) ∈ [0,1]
such as
:
X1(T=0)=0 Y1(T=0)=0 (lower left corner)
X1(T=1)=1 Y1(T=1)=0 (lower right corner)
Ci(T) = {Xi(T),Yi(T)} ∈ [0,1]x[0,1] --> Ci+1(T) = {Xi+1(T),Yi+1(T)} ∈ [0,1]x[0,1]
if T ∈ [0,1/4[:
Xi+1(T) = Yi(4T-0)
Yi+1(T) = Xi(4T-0)
Transformation 1
if T ∈ [1/4,2/4[:
Xi+1(T) = Xi(4T-1)
Yi+1(T) = 1+Yi(4T-1)
Transformation 2
if T ∈ [2/4,3/4[:
Xi+1(T) = 1+Xi(4T-2)
Yi+1(T) = 1+Yi(4T-2)
Transformation 3
if T ∈ [3/4,1]:
Xi+1(T) = 2-Yi(4T-3)
Yi+1(T) = 1-Xi(4T-3)
Transformation 4
in order to understand the geometrical meaning of the 4 transformations 
and of their order .
[See the used color set to display the parameter T]
 | ==> [iteration 11] |  |
 | ==> [iteration 10] |  |
 | ==> [iteration 9] |  |
 | ==> [iteration 10] |  |
See the used color set to display the parameter T.
See the used color set to display the pi digits.
See the used color set to display the parameter T.
See the used color set to display the pi digits.