Définition du Problème des N-Corps






Jean-François COLONNA
www.lactamme.polytechnique.fr
jean-francois.colonna@polytechnique.edu
CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, Ecole Polytechnique, CNRS, 91128 Palaiseau Cedex, France
france telecom, France Telecom R&D

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/*************************************************************************************************************************************/
/*                                                                                                                                   */
/*        D E F I N I T I O N   D U   P R O B L E M E   D I T   D E S   " N - C O R P S "  :                                         */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*        Definition :                                                                                                               */
/*                                                                                                                                   */
/*                    Soit la famille {C ,C ,...,C } de 'N'                                                                          */
/*                                      1  2      N                                                                                  */
/*                  corps graves en interaction gravitationnelle.                                                                    */
/*                  Pour l'un d'entre-eux, la loi fondamentale de                                                                    */
/*                  la dynamique s'ecrit :                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                     --->      ------->                                                                            */
/*                                      F   = M . Gamma                                                                              */
/*                                       i     i       i                                                                             */
/*                                                                                                                                   */
/*                  dans le cas present, la force 'F' est la                                                                         */
/*                  resultante de l'interaction gravitationnelle                                                                     */
/*                  des 'N-1' autres corps. On aura donc :                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                       ------->   --->                                                                             */
/*                                     M .Gamma   =  F                                                                               */
/*                                      i      i      i                                                                              */
/*                                                                                                                                   */
/*                  ou encore :                                                                                                      */
/*                                                                                                                                   */
/*                                          2 ---->     ______                                                                       */
/*                                         d   OA       \         M M                                                                */
/*                                               i       \         i k    ----->                                                     */
/*                                     M .--------- = G  /     ----------- A A                                                       */
/*                                      i      2        /_____  |----->|3   i k                                                      */
/*                                           dt           k#i   | A A  |                                                             */
/*                                                              |  i k |                                                             */
/*                                                                                                                                   */
/*                  ou encore :                                                                                                      */
/*                                                                                                                                   */
/*                                       2 ---->     ______                                                                          */
/*                                      d   OA       \          M                                                                    */
/*                                            i       \          k     ----->                                                        */
/*                                     --------- = G  /     ----------- A A                                                          */
/*                                          2        /_____  |----->|3   i k                                                         */
/*                                        dt           k#i   | A A  |                                                                */
/*                                                           |  i k |                                                                */
/*                                                                                                                                   */
/*                  On aboutit ainsi a un systeme d'equations                                                                        */
/*                  differentielles non lineaires du second                                                                          */
/*                  ordre utilisant les fonctions suivantes :                                                                        */
/*                                                                                                                                   */
/*                                     F    = 1                                                                                      */
/*                                      3X                                                                                           */
/*                                        i                                                                                          */
/*                                                                                                                                   */
/*                                     F    = 0                                                                                      */
/*                                      2X                                                                                           */
/*                                        i                                                                                          */
/*                                               ______                                                                              */
/*                                               \                         M                       X                                 */
/*                                                \                         k                       k                                */
/*                                     F    = -G  /     -----------------------------------------(---- - 1)                          */
/*                                      1X       /_____  |                                   | 3   X                                 */
/*                                        i        k#i   |                                   |---   i                                */
/*                                                       |         2            2           2| 2                                     */
/*                                                       |(X  - X )  + (Y  - Y )  + (Z  - Z )|                                       */
/*                                                       |  k    i       k    i       k    i |                                       */
/*                                                                                                                                   */
/*                                     F    = 0                                                                                      */
/*                                      0X                                                                                           */
/*                                        i                                                                                          */
/*                                                                                                                                   */
/*                  avec bien entendu des formules equivalentes                                                                      */
/*                  pour les coordonnees 'Y' et 'Z'...                                                                               */
/*                                                                                                                                   */
/*                    Pour integrer ce systeme non lineaire, on                                                                      */
/*                  suppose que la condition suivante est respectee                                                                  */
/*                  (elle est d'ailleurs verifiee a chaque iteration) :                                                              */
/*                                                                                                                                   */
/*                                     DISTANCE(C ,C ) >= |V   |.dct            \-/ i,j                                              */
/*                                               i  j       max                                                                      */
/*                                                                                                                                   */
/*                  ce qui signifie "grossierement" que deux corps                                                                   */
/*                  quelconques sont toujours suffisamment eloignes                                                                  */
/*                  pour ne pas pouvoir se rejoindre en un pas de                                                                    */
/*                  temps (ou 'Vmax' designe le plus grand module                                                                    */
/*                  des vitesses moyennes de l'ensemble des corps                                                                    */
/*                  au cours du pas de temps precedent).                                                                             */
/*                                                                                                                                   */
/*                    Enfin, a l'instant 't' (ou l'on integre), les                                                                  */
/*                  fonctions 'F1?(...)' ne peuvent etre evaluees                                                                    */
/*                  puisque dependant de {X(t),Y(t),Z(t)}. Or leurs                                                                  */
/*                  valeurs sont necessaires, on utilise donc leurs                                                                  */
/*                  valeurs "retardees" {X(t-dt),Y(t-dt),Z(t-dt)},                                                                   */
/*                  ou 'dt' designe le pas de temps.                                                                                 */
/*                                                                                                                                   */
/*                    Enfin, on se souviendra quel la troisieme                                                                      */
/*                  loi de Kepler stipule que le carre de la periode                                                                 */
/*                  'T' de revolution est proportionnel au cube du                                                                   */
/*                  (demi-)grand axe de la trajectoire 'R', soit :                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*                                       2      3                                                                                    */
/*                                      T  = k.R                                                                                     */
/*                                                                                                                                   */
/*                  ou encore :                                                                                                      */
/*                                                                                                                                   */
/*                                               3                                                                                   */
/*                                              ---                                                                                  */
/*                                               2                                                                                   */
/*                                      T  = k.R                                                                                     */
/*                                                                                                                                   */
/*                  ce qui se retient en se souvenant que                                                                            */
/*                  la periode 'T' croit plus vite que le                                                                            */
/*                  rayon 'R'...                                                                                                     */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*                    En ce qui concerne les vitesses 'V' de                                                                         */
/*                  revolution, en supposant un mouvement                                                                            */
/*                  circulaire uniforme, on aura :                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*                                           2.pi.R                                                                                  */
/*                                      V = --------                                                                                 */
/*                                              T                                                                                    */
/*                                                                                                                                   */
/*                  soit :                                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                           2.pi.R                                                                                  */
/*                                      T = --------                                                                                 */
/*                                              V                                                                                    */
/*                                                                                                                                   */
/*                  ce qui subistitue dans la troisieme loi                                                                          */
/*                  de Kepler donne :                                                                                                */
/*                                                                                                                                   */
/*                                       1        k                                                                                  */
/*                                      ---- = -------.R                                                                             */
/*                                        2         2                                                                                */
/*                                       V      4.pi                                                                                 */
/*                                                                                                                                   */
/*                  Ainsi, pour deux corps 'a' et 'b', on aura                                                                       */
/*                  la relation :                                                                                                    */
/*                                                                                                                                   */
/*                                        2                                                                                          */
/*                                       V      R                                                                                    */
/*                                        b      a                                                                                   */
/*                                      ---- = ----                                                                                  */
/*                                        2     R                                                                                    */
/*                                       V       b                                                                                   */
/*                                        a                                                                                          */
/*                                                                                                                                   */
/*                  C'est cette relation qui est utilisee dans les                                                                   */
/*                  animations d'interpolation de points de vue                                                                      */
/*                  dans le Systeme Solaire pour calculer la vitesse                                                                 */
/*                  initiale de la planete virtuelle (dite "l'Errante" ou "The Wanderer")                                            */
/*                  pour chacune de ses trajectoires possibles                                                                       */
/*                  ('v _____xivPdf_09_1/$Fnota sqrt.OdistD.Odist.').                                                                */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*************************************************************************************************************************************/


(Nota : les lignes d'explications qui précèdent sont des commentaires extraits des programmes ayant été utilisés pour calculer les images correspondantes. Ce programme en est un exemple parmi des centaines.)


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