- Il y a autant de nombres pairs que de nombres entiers :
--------------------------------------------------------------------- | | Nombres Pairs : | 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 ... | | | | | | | | | | | | | | | | | | | --------------------------------------------------------------------- | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | --------------------------------------------------------------------- | | | | | | | | | | | | | | | | | | Numéros (Nombres Entiers) : | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ... | | | --------------------------------------------------------------------- - Il y a autant de nombres premiers que de nombres entiers :
--------------------------------------------------------------------- | | Nombres Premiers : | 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 ... | | | | | | | | | | | | | | | | | | | --------------------------------------------------------------------- | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | --------------------------------------------------------------------- | | | | | | | | | | | | | | | | | | Numéros (Nombres Entiers) : | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ... | | | --------------------------------------------------------------------- - Il y a autant de nombres rationnels positifs que de nombres entiers :
--------------------------------------------------------------------- | | Nombres Rationnels > 0 : | 1/1 2/1 1/2 1/3 2/2 3/1 4/1 3/2 2/3 1/4 1/5 2/4 ... | (avant simplification) | | | | | === | | | | | | === | | | | | | | | | | | | | | | --------------------------------------------------------------------- | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | --------------------------------------------------------------------- | | | | | | | | | | | | | | Numéros (Nombres Entiers) : | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ... | | | ---------------------------------------------------------------------
Nota : L'utilisation de l'arbre de Stern Brocot permet d'éviter la simplification :
.
--------------------------------------------------------------------- | | Nombres Rationnels > 0 : | 1/1 2/1 1/2 1/3 3/1 4/1 3/2 2/3 1/4 1/5 5/1 5/2 ... | (après simplification) | | | | | | | | | | | | | | --------------------------------------------------------------------- | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | --------------------------------------------------------------------- | | | | | | | | | | | | | | Numéros (Nombres Entiers) : | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ... | | | ---------------------------------------------------------------------
et il y a donc autant de nombres rationnels que de nombres entiers :--------------------------------------------------------------------- | | Nombres Rationnels : | +1/1 -1/1 +2/1 -2/1 +1/2 -1/2 +1/3 -1/3 +3/1 -3/1 +4/1 -4/1 ... | | | | | | | | | | | | | | | --------------------------------------------------------------------- | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | --------------------------------------------------------------------- | | | | | | | | | | | | | | Numéros (Nombres Entiers) : | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ... | | | --------------------------------------------------------------------- - Il y a autant de nombres algébriques (définis comme étant les solutions réelles d'équations polynomiales à coefficients entiers) que de nombres entiers.
Nota : Le nombre algébrique le plus connu est phi, le nombre d'or, qui est la solution positive de l'équation du second degré x2-x-1=0. - Mais il est impossible de numéroter les nombres réels dans [0,1[ (et donc a fortiori dans R) -un raisonnement par l'absurde-... Il y a donc (beaucoup, énormément,...) plus de nombres réels que de nombres entiers !
- R1, R2,... Rn,... ont même cardinal.
Définition de l'ensemble des parties d'un ensemble donné.
- Kurt Gödel (1938) : la négation de HC ne peut être démontrée dans le cadre de la théorie standard des ensembles (ZFC -Zermelo, Frankel, axiome du Choix-).
- Paul Cohen (1963) : HC ne peut être démontrée dans ZFC.
- HC est donc un indécidable de ZFC : de nouveaux axiomes doivent donc être introduits (mais lesquels ?). Pour Hugh Woodin -le plus grand spécialiste actuel du sujet-, HC est vraie...
- Alors, plusieurs théories des ensembles -un multivers ensembliste- comme il y a plusieurs géométries (suivant le contenu de l'axiome dit des parallèles) ?
