Les Triangles d'Or et les Pavages de Penrose non Périodiques du Plan






Jean-François COLONNA
www.lactamme.polytechnique.fr
jean-francois.colonna@polytechnique.edu
CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, Ecole Polytechnique, CNRS, 91128 Palaiseau Cedex, France

[Site Map, Help and Search [Plan du Site, Aide et Recherche]]
[The Y2K bug [Le bug de l'an 2000]]
[Croyez-vous que les Nombres Réels existent dans un ordinateur et que les calculs flottants sont sûrs ?]
[N'oubliez pas de visiter Une Machine Virtuelle à Explorer l'Espace-Temps où vous trouverez plus de 5400 images à la frontière de l'Art et de la Science]
(Site WWW CMAP28 : cette page a été créée le 08/05/2012 et mise à jour le 28/01/2014 15:10:33 -CET-)



[in english/en anglais]


Mots-Clefs : Golden Ratio, Nombre d'or, Golden Rectangle, Rectangle d'or, Golden Triangle, Triangle d'or, Plane Non Periodical Tiling, Pavage Non Périodique du Plan, Penrose Tiling, Pavage de Penrose.



Le nombre d'or (phi) est aussi connu que le nombre pi. Il est la solution positive de l'équation du second degré :
                     2
                    x  = x + 1
et possède la valeur :
                                 ___
                           1 + \/ 5
                    phi = ----------- ~ 1.6180339887498949
                               2
Le rectangle d'or est un rectangle dont le raport des côtés est égal à phi. Il est connu comme étant le rectangle le plus agéable à regarder et il apparait en blanc dans l'image suivante :




Il est aussi possible de définir deux triangles d'or (dits Plat et Mince respectivement). Ils sont isocèles et le rapport de leurs côtés sont respectivement égaux à phi et à 1/phi. Ils possèdent une propriété remarquable : il est possible de les découper de deux façons différentes et symétriques (la rouge et la verte) en un certain nombre de triangles plus petits, mais de même nature :

Plat


Mince



Ce découpage peut être répété à des échelles de plus en plus petites donnant ainsi naissance à un pavage non périodique du plan (à l'intérieur du premier triangle, c'est-à-dire le plus grand), en particulier lorsque le choix entre le découpage rouge et le découpage vert est aléatoire. Voici un exemple :




En utilisant un choix un peu plus complexe entre les deux découpages, il est possible d'associer systématiquement deux triangles de même nature :




Ensuite, en effaçant le côté commun à chaque paire de triangles ainsi créés, on obtient un pavage non périodique du plan tel qu'il fut imaginé par Roger Penrose :




Enfin, il est possible de "jouer" avec ces éléments :









Copyright (c) Jean-François Colonna, 2012-2014.
Copyright (c) CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641 / Ecole Polytechnique, 2012-2014.