Les Triangles d'Or et les Pavages de Penrose non Périodiques du Plan






Jean-François COLONNA
www.lactamme.polytechnique.fr
jean-francois.colonna@polytechnique.edu
CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, Ecole Polytechnique, CNRS, 91128 Palaiseau Cedex, France

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Mots-Clefs : Golden Ratio, Nombre d'or, Golden Rectangle, Rectangle d'or, Golden Triangle, Triangle d'or, Plane Non Periodical Tiling, Pavage Non Périodique du Plan, Penrose Tiling, Pavage de Penrose.



Le nombre d'or (phi) est aussi connu que le nombre pi. Il est la solution positive de l'équation du second degré :
                     2
                    x  = x + 1
et possède la valeur :
                                 ___
                           1 + \/ 5
                    phi = ----------- ~ 1.6180339887498949
                               2
Le Rectangle d'Or est un rectangle dont le rapport des côtés est égal à phi. Il est connu comme étant le rectangle le plus agéable à regarder et il apparait en blanc dans l'image suivante :

 



Il est aussi possible de définir deux Triangles d'Or (dits Plat et Mince respectivement). Ils sont isocèles et le rapport de leurs côtés sont respectivement égaux à phi et à 1/phi. Ils possèdent une propriété remarquable : il est possible de les découper de deux façons différentes et symétriques en un certain nombre de triangles plus petits, mais de même nature :

 Plat
 
  = +  


 Mince
 
  = +  



Ce découpage peut être répété à des échelles de plus en plus petites donnant ainsi naissance à un pavage non périodique du plan (à l'intérieur du premier triangle, c'est-à-dire le plus grand), en particulier lorsque le choix entre le découpage rouge et le découpage vert est aléatoire. Voici un exemple :

 



En utilisant un choix un peu plus complexe entre les deux découpages, il est possible d'associer systématiquement deux triangles de même nature :

 



Ensuite, en effaçant le côté commun à chaque paire de triangles ainsi créés, on obtient un pavage non périodique du plan tel qu'il fut imaginé par Roger Penrose :

 
 
 
 



Enfin, il est possible de "jouer" avec ces éléments :

 
 
 
 
 
 
 
 


 



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