Mathematics :
For many of us, and especially among young people, Mathematics
is seen as useless and absent from everyday life. If it is perceived this way, at least three groups are responsible :
- On the one hand, teachers of all disciplines (and particularly in the sciences) certainly do not make the necessary effort.
- On the other hand, policymakers who define the broad outlines of educational policies.
- Finally, Mathematics itself. Indeed, it is quite difficult to see the relevance of research dealing with :
And yet, a simple story can
make this relevance obvious. Thus, geometry (so-called Euclidean geometry), which is
taught from primary school with its triangles, squares, and so on, is based
on a few axioms.
One of them, the parallel postulate  , was in fact, for two millennia,
a conjecture that many tried to prove as a theorem, but in vain. In the mid-19th century,
it became necessary to face the facts : it could only be an axiom (and therefore unprovable).
Several great mathematicians such as Gauss, Lobachevsky,
and Riemann then imagined new geometries by "playing" with this axiom. Physicists,
particularly those studying the universe, thus found themselves with new tools : it was
up to them to determine which were useful. And so, in 1915, Albert Einstein published a revolutionary
paper, "General Relativity", in which he showed that the four-dimensional spacetime
is not Euclidean : it is a so-called Riemannian manifold whose curvature determines
the trajectories of masses/energies, which themselves produce this curvature :
Very quickly, many physicists embraced the theory and in particular Georges Lemaître,
who realized that, despite Albert Einstein's belief, the Universe could not be static.
In 1929, observations by Edwin Hubble (in collaboration with Milton Humason) and Vesto Melvin
Slipher showed that other galaxies appeared to be moving away from us, the Milky Way, at speeds
that increased with their distance, this being seen by a spectroscopic analysis of their light, which shows a redshift in the frequencies.
Therefore, the Universe was not static but expanding,
and if one plays the "film in reverse," it must show a contraction toward a singularity (of
zero dimension and infinite density, within the framework of General Relativity, disregarding
Quantum Mechanics...).
This singularity was nicknamed the "Big Bang" by Fred Hoyle in the 1950s,
intending to mock the theory in favor of his own steady-state model. However, it was later proven
that his model was not consistent with observations and measurements.
General Relativity thus allows for the description of the Universe in its entirety :
but also of phenomena that are difficult to grasp due to how cataclysmic they are, such as black holes
or gravitational waves :
It should be noted that Albert Einstein had predicted the possible existence of gravitational waves, adding that they would probably
never be detected. In fact, it took a century before the two LIGO interferometers in the USA
(in Washington state and Louisiana) "saw" the first ones on 09/14/2015. For me, this is the finest
example of a discovery made thanks to Mathematics, as without them, these waves would
not have been detected by chance, unlike the expansion of the Universe, which could
have been observed "simply" by the redshift of the light from distant galaxies, even if Georges
Lemaître had not yet highlighted it thanks to General Relativity...
In our daily lives, it seems quite useless and far removed from our everyday concerns...
But this is completely misunderstood and ignored by the general public ! For example,
GPS, which is omnipresent
in everyday life, relies on measuring space through measurements of time, yet time and
space are intimately linked. Without taking General Relativity into account (as well as Special Relativity...), GPS would be of very limited use !
Mathematics is everywhere in everyday life, but also, of course, in industry and in the most fundamental research :
without it, for example, there would be no quantum mechanics
and therefore no integrated circuits, and even less so computers and mobile phones.
But why is this so ? Why such "formidable effectiveness" (Eugene Wigner, Nobel Prize in Physics in 1963) ?
And what is Mathematics ? In fact, several points of view are possible :
- They are a game of the mind, as illustrated by the conjectures :
- They offer an unlimited set of analogies :
- They compress measurements and bring out new laws :
- They are THE language of the Universe (Galileo, 16-17th centuries)
- They are a virtual optical instrument, both microscope and
telescope, opening the way to journeys and discoveries otherwise unimaginable :
 
- A bit of all this at once ?
And is the mathematician then an inventor or an explorer ? Perhaps both at once :
"God made the integers, all the rest is the work of man(Leopold Kronecker, 1891).
Will we ever know ?
COMPUTER SCIENCE :
The great pioneers of computing and its automation were also most tly mathematicians.
- John Neper
( les logarithmes
 et la règle à calculs  ,
1550-1617),
- Blaise Pascal
(la machine à additionner -la pascaline-,
1623-1662),
- Gottfried Wilhelm Leibniz
(la machine à multiplier,
1646-1716),
- Jacques Vaucanson
(les automates,
1709-1782),
- Joseph Marie Jacquard
(le métier à tisser, précurseur des machines programmables
-premiers supports perforés : cartes
 et rubans  -,
1752-1834),
- Charles Babbage
(le premier ordinateur -mécanique-,
1791-1871),
- Lady Ada Lovelace
(le premier programmeur de l'histoire sur la machine de Charles Babbage,
1815-1852),
- George Boole
(l'algèbre binaire {0,1},
1815-1864),
- John von Neumann
(l'architecture dite de von Neumann,
1903-1957),
- Alan Turing
(calculabilité, la machine de Turing universelle
 ,
1912-1954),
- etc...
Today, the links between Mathematics and Computer Science are becoming increasingly intertwined. This can be
seen, for example, in proof assistants or again with Artificial Intelligence :
and of course in computation. Indeed, having equations and formulas that describe a given system
(industrial or scientific) is not sufficient for engineers or researchers. They need predictions,
and this naturally involves calculations. The days are long gone when Urbain Le Verrier, armed
with nothing but a pencil, spent months calculating the position of the hypothetical planet
Neptune. The days are also long gone when the early research described here was carried out using a
computer with only 32 KB of memory :
After several years using assembly language as the sole means of
expression (due to the physical limitations of that computer), the arrival of UNIX and then
Linux systems immediately raised the issue of portability. This was addressed through the development
of a complete programming environment that has been used continuously ever since. Three main objectives
were thus achieved :
ART :
It has always been clear that, in certain purely scientific images, another perspective
could be applied, as is very clearly illustrated by
Fractal Geometry :
and that the tools thus developed could be diverted for purely artistic purposes and, for example, used
to pay a "mathematical" tribute to some artists of the 20th century :
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De la Perte de l'Associativité et de la Distributivité ou les Nombres Flottants ne sont pas des Rationnels et encore moins des Réels |
De la Dénombrabilité des Nombres Algébriques (Polynômes à coefficients entiers, Nombres Premiers, Nombres Rationnels et Nombres Transcendants)
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De la Dénombrabilité des Nombres Algébriques (Polynômes à coefficients entiers, Nombres Premiers, Nombres Rationnels et Nombres Transcendants) |
La Conjecture de Proth-Gilbreath Battre le record de Andrew Odlyzko G(Pi(1013))=635 (1993) G(Pi(1014))=693 (05/10/2025) G(Pi(1015))=800 (23/01/2026) Vérification jusqu'à 1.5x10^15 (18/03/2026)
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La Conjecture de Proth-Gilbreath Battre le record de Andrew Odlyzko G(Pi(1013))=635 (1993) G(Pi(1014))=693 (05/10/2025) G(Pi(1015))=800 (23/01/2026) Vérification jusqu'à 1.5x10^15 (18/03/2026) |
Quelques Questions et Remarques sur la Recherche, les Chercheurs et les Ingénieurs |
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Stéréogrammes et Autostéréogrammes |
Définition et Animation de Variétés Bi- et Tridimensionnelles au Moyen de Pseudo-Projections, Auto-Transformations d'Images
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Définition et Animation de Variétés Bi- et Tridimensionnelles au Moyen de Pseudo-Projections, Auto-Transformations d'Images |
Le Chaos Virtuel (ou Subjectif)
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Le Chaos Virtuel (ou Subjectif) |
Bienvenue sur Mars
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Bienvenue sur Mars |
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Les Mathématiques :
Pour beaucoup d'entre-nous et en particulier parmi les jeunes, les Mathématiques ne servent à rien et sont absentes de la vie courante.
Si elles sont ainsi perçues trois acteurs au moins en sont responsables :
- D'une part les enseignants de toutes les disciplines (et plus particulièrement scientifiques) ne font certainement l'effort nécessaire.
- D'autre part les gouvernants qui fixent les grandes lignes des politiques éducatives.
- Enfin, les Mathématiques elles-mêmes. En effet, il est bien difficile de voir l'intérêt des recherches portant sur :
Et pourtant, une simple histoire peut rendre cet intérêt évident.
Ainsi, la Géométrie (dite euclidienne),
que l'on enseigne dès le primaire avec ses triangles, ses carrés,... repose sur quelques axiomes.
L'un d'entre-eux, l' axiome des parallèles fut en réalité pendant deux millénaires
une conjecture que nombreux furent ceux qui tentèrent d'en faire
un théorème, mais en vain. Au milieu du XIXe siècle,
il fallu se rendre à l'évidence : ce ne pouvait qu'être un axiome (donc
indémontrable).
Plusieurs grands mathématiciens tels Gauss, Lobachevsky, Riemann,... imaginèrent alors de nouvelles géométries en "jouant" sur cet axiome.
Ainsi les physiciens, en particulier ceux qui étudient l'Univers,
eurent alors entre leurs mains de nouveaux outils : à eux de savoir lesquels étaient alors utiles.
Et c'est ainsi qu'en 1915, Albert Einstein publia un nouvel article révolutionnaire, "La Relativité Générale" dans lequel il montrait que l'espace-temps
(à quatre dimensions) n'était pas euclidien : c'était une variété dite riemannienne
dont la courbure conditionne les trajectoires des masses/énergies qui elles-mêmes provoquent cette courbure :
Très rapidement de nombreux physiciens s'en emparèrent et
en particulier Georges Lemaître qui se rendit compte alors que, malgré la croyance d'Albert Einstein, l'Univers ne pouvait
pas être statique. En 1929, les observations d'Edwin Hubble (en collaboration avec Milton Humason)
et Vesto Melvin Slipher montrèrent que les autres galaxies
semblaient s'éloigner de nous, la Voie Lactée, d'autant plus vite qu'elles étaient plus lointaines,
ce qui se voit par une analyse spectroscopique de leur lumière qui met alors en évidence un décalage vers le rouge des fréquences.
L'Univers n'était donc pas statique, mais en expansion
et si l'on regarde "le film à l'envers", il doit donc montrer une contraction vers une "singularité" (de dimension nulle et de densité
infinie, dans le cadre de la Relativité Générale en ignorant la Mécanique Quantique...).
Cette singularité fut surnommée "Big Bang" par Fred Hoyle dans les années 1950
pour dénigrer cette théorie préférant la sienne dite de l'état stationnaire, mais il dont il fut prouvé par la suite
qu'elle n'était pas compatible avec les observations et les mesures.
La Relativité Générale permet donc de décrire l'Univers dans son intégralité :
mais aussi des phénomènes
difficiles à appréhender tellement ils sont "cataclysmiques" comme les trous noirs ou les ondes gravitationnelles :
On notera qu'Albert Einstein avait annoncé la possible existence de ces ondes, en ajoutant que probablement
on ne les détecterait jamais. Et de fait, il fallut attendre un siècle pour que les deux interféromètres LIGO aux USA
(états de Washington et de Louisiane) "voient"
les premières le 14/09/2015. Pour moi, il s'agit là du plus bel exemple d'une découverte faite grace aux Mathématiques,
alors que, sans ces dernières, ces ondes n'auraient pu êtres détectées par hasard, contrairement
à l'expansion de l'Univers qui l'aurait été, "simplement"
en observant le décalage vers le rouge de la lumière des galaxies lointaines et ce même si Georges Lemaître ne l'avait pas mise en
évidence là encore grace à la Relativité Générale...
Dans notre quotidien, la Relativité Générale semble bien inutile et éloignée de nos préoccupations quotidiennes...
Mais cela est complétement faux et ignoré du grand public ! Ainsi, le GPS,
omniprésent dans la vie courante, fait reposer les nécessaires mesures spatiales sur des mesures de durées, or le temps et l'espace sont intimement liés.
Sans la prise en compte de la Relativité Générale (et de la Relativité Restreinte...), le GPS n'aurait que peu d'utilité !
Les mathématiques sont partout dans la vie courante, mais aussi évidemment dans l'industrie et dans la recherche la plus fondamentale :
sans elles, par exemple, pas de Mécanique Quantique et donc pas de circuits intégrés et encore moins d'ordinateurs et de téléphones portables.
Mais pourquoi en est-il ainsi ?
Pourquoi cette "redoutable efficacité" (Eugène Wigner, Prix Nobel de Physique en 1963) ?
Et que sont les Mathématiques ? En fait, plusieurs points de vue sont possibles :
- Elles sont un jeu de l'esprit ainsi que le montre les conjectures :
![Visualisation tridimensionnelle de la fonction Zêta de Riemann dans [-10.0,+60.0]x[-35.0,+35.0] (vue aérienne)](../images/ZETA.12.m.D/timbre.jpg "Visualisation tridimensionnelle de la fonction Zêta de Riemann dans [-10.0,+60.0]x[-35.0,+35.0] (vue aérienne)")
- Elles offrent un ensemble illimité d'analogies :
- Elles compriment les mesures et font émerger de nouvelles lois :
- Elles sont LE langage de l'Univers (Galilée, XVI-XVIIe siècles)
- Elles sont un instrument virtuel d'optique, tout à la fois microscope et téléscope, ouvrant la voie à des
voyages et des découvertes autrement inimaginables :
 
- Un peu tout cela à la fois ?
Et le mathématicien est-il alors un inventeur ou un explorateur ?
Peut-être les deux à la fois : "Dieu a fait les nombres entiers, tout le reste est l'œuvre de l'homme" (Leopold Kronecker, 1891).
Le saurons-nous jamais ?
L'INFORMATIQUE :
Les grands pionniers du calcul et de son automatisation furent aussi, pour la plupart, des mathématiciens :
- John Neper
( les logarithmes et la règle à calculs ,
1550-1617),
- Blaise Pascal
(la machine à additionner -la pascaline-,
1623-1662),
- Gottfried Wilhelm Leibniz
(la machine à multiplier,
1646-1716),
- Jacques Vaucanson
(les automates,
1709-1782),
- Joseph Marie Jacquard
(le métier à tisser, précurseur des machines programmables
-premiers supports perforés : cartes et rubans -,
1752-1834),
- Charles Babbage
(le premier ordinateur -mécanique-,
1791-1871),
- Lady Ada Lovelace
(le premier programmeur de l'histoire sur la machine de Charles Babbage,
1815-1852),
- George Boole
(l'algèbre binaire {0,1},
1815-1864),
- John von Neumann
(l'architecture dite de von Neumann,
1903-1957),
- Alan Turing
(calculabilité, la machine de Turing universelle ,
1912-1954),
- etc...
Aujourd'hui les liens entre Mathématiques et Informatique sont de plus en plus entrelacés. Cela se voit, par exemple,
avec les vérificateurs de preuve ou encore l'Intelligence Artificielle :
ou encore évidemment le calcul.
En effet, disposer des équations et des formules décrivant un certain système (industriel ou scientifique)
ne suffit pas à l'ingénieur ou au chercheur. Il leur faut des prédictions et cela passe évidemment par des calculs.
Il est loin le temps où Urbain Le Verrier, armé d'un seul crayon, avait calculé pendant des mois la
position de l'hypothétique planète Neptune. Il est loin aussi le temps
des débuts des recherches ici relatées équipé d'un ordinateur dont la mémoire ne faisait que 32 Ko :
Après quelques années avec un langage d'assemblage pour seul moyen d'expression (et ce à cause des limitations physiques de cet ordinateur),
avec l'arrivée de systèmes UNIX puis Linux s'est immédiatement posé le problème de la portabilité
résolu alors par le développement d'un environnement de programmation complet utilisé sans discontinuité depuis.
Trois objectifs principaux étaient ainsi satisfaits :
L'ART :
Il a toujours été évident
que sur certaines images purement scientifiques un autre regard pouvait être porté, comme l'illustre très nettement
la Géométrie Fractale :
et que les outils ainsi développés pouvaient être détournés à des fins purement artistiques et alors, par exemple,
rendre un hommage "mathématique" à quelques artistes du XXe siècle :
|
,
Intelligence Artificielle,...).
Mais elles sont surtout le Langage de la Science et de l'Industrie
et leur redoutable efficacité dans ce domaine est peut-être un révélateur de leur nature profonde.
Aujourd'hui, puissamment secondées par les ordinateurs, elles peuvent aussi être considérées, à côté du
microscope et du télescope, comme un
instrument d'optique virtuel qui chaque jour nous dévoile de nouveaux et
mystérieux aspects de notre Univers -y compris nous-mêmes- et au-delà...
![La conjecture de Proth-Gilbreath -visualisation de la fonction G(Pi(x)) pour x E [1.2x10^15,1.3x10^15]-](../images/GILB.1E.D/timbre.jpg "La conjecture de Proth-Gilbreath -visualisation de la fonction G(Pi(x)) pour x E [1.2x10^15,1.3x10^15]-")
