La spirale d'Ulam et ses généralisations
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(Site WWW CMAP28 : cette page a été créée le 25/04/2012 et mise à jour le 11/02/2013 12:16:46 -CET-)
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Résumé : Qu'est-ce que la spirale d'Ulam et comment peut-elle être étendue ?
Mots-Clefs : Ulam Spiral, Spirale d'Ulam, Prime Numbers, Nombres Premiers.
Plan de ce document :
1-DEFINITION DE LA SPIRALE D'ULAM :
En 1963 le mathématicien Stanislas Ulam eut l'idée de dessiner une "spirale carrée" sur une feuille de papier quadrillé.
La parcourant en partant du centre, il numérota (N=1, 2, 3, 4,...) les points "entiers"
rencontrés (c'est-à-dire les nœuds du quadrillage) :
5----4----3
| | .
| | .
6 1----2 .
| |
| |
7----8----9----10
et ensuite il marqua ("X") tous les points dont le numéro N était un nombre premier (2, 3, 5, 7,...) :
X----4----X
| | .
| | .
6 1----X .
| |
| |
X----8----9----10
(1 n'étant pas un nombre premier). Ce procédé peut être répété aujourd'hui rapidement grâce aux ordinateurs ;
il donne naissance à des images, telle celle qui suit qui présente les nombres entiers de 1 à 2025 parmi lesquels 306 sont premiers :
ou le carré vert représente 1 et les blancs, les nombres premiers.
Cette image montre que les nombres premiers ne sont pas distribués aléatoirement puisqu'en effet des formes bidimensionnelles émergent.
Les alignements observés correspondent en général à des polynomes du second degré et en particulier
à la formule d'Euler :
2
f(n) = n - n + 41
n E [1,40]
qui, pour toutes les valeurs de n comprises entre 1 et 40, ne donnent que des nombres premiers.
Il est d'ailleurs intéressant de comparer la spirale d'Ulam avec une image aléatoire possédant le même pourcentage (15%) de carrés blancs :
2-QUELQUES GENERALISATIONS :
Dans les années 1980s, j'ai eu l'idée de généraliser ce processus en visualisant ND
(le nombre de diviseurs de N ; rappelons que les nombres premiers n'ont que deux diviseurs : 1 et eux-mêmes) au lieu de N.
D'où l'image suivante :
ou le carré vert représente 1 et les blancs, les nombres premiers.
Quant aux carrés rouges, ils montrent les autres nombres, leur luminance étant
proportionnelle à ND.
De plus, il y a de nombreuses façons de mettre en évidence ces informations.
Par exemple, ND peut être visualisé à l'aide d'une troisième dimension :
Enfin, d'autres types de spirale peuvent être utilisés et par exemple celle d'Archimède :
3-SPIRALE D'ULAM ET CREATION ARTISTIQUE :
La spirale d'Ulam et les nombres premiers peuvent être une source d'inspiration artistique ainsi que le montre les images suivantes :
qui font appel à différents procédés : transformations conformes, filtrage, jeu de la vie étendue, ...
qui permettent donc des déformations, des transformations, des lissages, ... de la spirale d'Ulam et de quelques unes
de ses généralisations.
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