DEFINITION ET ANIMATION DE VARIETES BI- ET TRIDIMENSIONNELLES
AU MOYEN DE PSEUDO-PROJECTIONS,
AUTO-TRANSFORMATIONS D'IMAGES
Jean-François COLONNA
CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées), Ecole Polytechnique, CNRS
france telecom, France Telecom R&D
91128 Palaiseau Cedex
France
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(cette page a été créée le 24/12/2004)
(la dernière mise à jour de cette page -appartenant au sîte CMAP28- a eu lieu le 01/03/2010 20:51:58 -CET-)
[in english]
Resume : Les surfaces tridimensionnelles -les variétés bidimensionnelles- peuvent être définies à l'aide de trois matrices
et donc à l'aide de trois images monochromes -ou d'une image couleur-.
Une dynamique arbitraire pour une surface tridimensionnelle pourra alors être définie par une animation.
Ceci peut être généralisé à des dimensions supérieures et utilisé pour définir des procédures d'auto-transformation d'images.
Mots-Clefs : Holographic Principle, Pseudo-Projection, Tridimensional Surfaces, Bidimensional Manifolds, Tridimensional Manifolds, Picture Self-Transformations.
Plan de ce document :
1-NOTION D'IMAGE :
Une image en noir et blanc (dite monochrome) est définie
comme un tableau rectangulaire (ou matrice) de points (ou pixels).
Chaque point y est codé par une valeur numérique dont les plus
petites et plus grandes valeurs possibles (en général 0 et 255)
représentent le noir et le blanc respectivement.
Nos rétines contiennent deux types de capteur : les bâtonnets (sensibles à
l'intensité lumineuse) et trois types de cônes (sensibles respectivement à
trois couleurs primaires : le rouge, le vert et le bleu).
Une image en couleur sera donc définie,
selon les principes de la synthèse dite additive, comme
l'union de trois images monochromes correspondant chacune à l'une des trois couleurs
primaires.
2-SURFACES TRIDIMENSIONNELLES (VARIETES BIDIMENSIONNELLES) :
De nombreuses surfaces -variétés bidimensionnelles- dans un espace tridimensionnel
peuvent être définies à l'aide d'un ensemble de trois équations :
X = F (u,v)
x
Y = F (u,v)
y
Z = F (u,v)
z
avec :
u E [U ,U ]
min max
v E [V ,V ]
min max
Par exemple :
F (u,v) = R.sin(u).cos(v)
x
F (u,v) = R.sin(u).sin(v)
y
F (u,v) = R.cos(u)
z
avec :
u E [0,pi]
v E [0,2.pi]
définit une sphère de rayon R et centrée à l'origine.
[Umin,Umax]x[Vmin,Vmax] définit alors un domaine bidimensionnel rectangulaire D.
v ^
|
V |...... ---------------------------
max | |+++++++++++++++++++++++++++|
| |+++++++++++++++++++++++++++|
| |+++++++++++++++++++++++++++|
| |+++++++++++++++++++++++++++|
| |+++++++++++++++++++++++++++|
| |+++++++++++++++++++++++++++|
| |+++++++++++++++++++++++++++|
| |+++++++++++++++++++++++++++|
| |+++++++++++++++++++++++++++|
V |...... ---------------------------
min | : :
| : :
O------------------------------------------------->
U U u
min max
Si D est echantillonné grâce à une grille rectangulaire bidimensionnelle (faite de Nu.Nv points),
les trois coordonnées {X,Y,Z} peuvent être définies à l'aide de trois matrices rectangulaires :
X = M (i,j)
x
Y = M (i,j)
y
Z = M (i,j)
z
avec :
i = f(u,U ,U ,N )
min max u
j = g(v,V ,V ,N )
min max v
où 'f' et 'g' désignent deux fonctions linéaires triviales...
Il est alors possible de définir une surface tridimensionnelle -une variété bidimensionnelle-
à l'aide de trois matrices.
Une image noir et blanc etant une matrice, une surface tridimensionnelle
pourra être définie grâce à trois images noir et blanc (arbitraires) c'est-à-dire
grâce à une image (arbitraire) en couleurs :
en quelque sorte,
un principe holographique. Cela permettra en particulier de faire avec
les surfaces tout ce qui est possible avec les images (filtrages, interpolations,
opérations arithmétiques,...).
Voici quelques exemples :
-
== 
un plan.
-
== 
un "plan pseudo-gaussien".
-
==
un "plan spiralant".
-
== 
un "plan fractal" de Peano.
-
== 
un "plan fractal" avec surplombs.
-
== 
un "plan fractal" avec surplombs.
-
== 
le relief -module- de la fonction exp(1/z).
-
== 
le relief -module- de la fonction sin(z).
-
== 
une sphère.
-
== 
une sphère "chiffonnée".
-
== 
un tore "chiffonné".
-
== 
le module de la fonction sinus complexe.
-
== 
le ruban de Möbius.
-
== 
la bouteille de Klein.
-
== 
une bouteille de Klein "chiffonnée".
-
== 
la double bouteille de Jeener.
-
== 
la triple bouteille de Jeener-Klein.
-
== 
la quadruple bouteille bilatère de Jeener.
-
== 
la quintuple bouteille de Jeener-Klein.
-
== 
la triple bouteille de Bonan-Jeener-Klein.
-
== 
un coquillage (surface de Jeener 1).
-
== 
la surface de Boy.
-
== 
une surface fractale (deux itérations).
-
== 
une surface fractale (trois itérations).
-
== 
une surface fractale (quatre itérations).
-
== 
une surface fractale (cinq itérations).
-
== 
une surface fractale (six itérations).
-
== 
une surface fractale (nombreuses itérations...).
-
== 
un mélange gaussien d'une sphère et du ruban de Möbius.
-
== 
une interpolation de Fourier entre une sphère et la triple bouteille de Bonan-Jeener-Klein.
-
== 
l'addition d'une sphère et de la triple bouteille de Bonan-Jeener-Klein.
-
== 
une interpolation fractale entre une sphère et la triple bouteille de Bonan-Jeener-Klein.
3-ANIMATION DE SURFACES TRIDIMENSIONNELLES (VARIETES BIDIMENSIONNELLES) :
Ainsi, une surface tridimensionnelle peut être définie grâce à une image en couleurs.
Une dynamique arbitraire d'une surface tridimensionnelle pourra alors être
définie par un ensemble d'images en couleurs, c'est-à-dire par une animation en couleurs.
Voici quelques exemples :
Enfin, il est évident
qu'un ensemble de surfaces tridimensionnelles pourra être définie
par la juxtaposition de plusieurs images en couleurs ou encore
par un ensemble d'images en couleurs -c'est-à-dire par une animation en couleurs-.
Voici quelques exemples :
Des trous et des distorsions des coordonnées 'u' et 'v' peuvent être introduits comme sur ces exemples :
-
un ensemble de sphères vrillées.
-
un ensemble de sphères avec des trous.
Enfin, ce processus facilite l'interpolation entre surfaces comme sur cet exemple :
-
d'un tore à un cylindre.
4-VARIETES TRIDIMENSIONNELLES :
Ceci peut être étendu à des variétés tridimensionnelles. Ainsi :
De nombreuses variétés tridimensionnelles dans un espace tridimensionnel
peuvent être définies à l'aide d'un ensemble de trois équations :
X = F (u,v,w)
x
Y = F (u,v,w)
y
Z = F (u,v,w)
z
avec :
u E [U ,U ]
min max
v E [V ,V ]
min max
w E [W ,W ]
min max
[Umin,Umax]x[Vmin,Vmax]x[Wmin,Wmax] définit alors un domaine tridimensionnel rectangulaire D.
Si D est echantillonné grâce à une grille rectangulaire tridimensionnelle (faite de Nu.Nv.Nw points),
les trois coordonnées {X,Y,Z} peuvent être définies à l'aide d'un ensemble de Nw triplets de matrices rectangulaires :
k
X = {M (i,j)}
x
k
Y = {M (i,j)}
y
k
Z = {M (i,j)}
z
avec :
i = f(u,U ,U ,N )
min max u
j = g(v,V ,V ,N )
min max v
k = g(w,W ,W ,N )
min max w
où 'f', 'g' et 'h' désignent deux fonctions linéaires triviales...
Il est alors possible de définir une variété tridimensionnelle à l'aide
d'un ensemble de Nw triplets de matrices.
Il est intéressant de rappeler qu'une animation est un ensemble de N images en couleurs
et qu'ainsi, une variete
tridimensionnelle peut être définie grâce à une animation (arbitraire) en couleurs...
Voici quelques exemples :
5-AUTO-TRANSFORMATIONS D'IMAGES :
Ainsi, n'importe quelle image en couleurs peut être utilisée pour définir une surface.
De plus, cette image (vue comme une texture) peut être "mappée" sur sa surface associée
(en utilisant les coordonnées {u,v} comme les coordonnées cartésiennes de la texture). Pour des
raisons pratiques, il est préférable de symétriser cette texture afin
d'éviter des discontinuités. Par exemple, la sphère
est définie par l'image suivante
comme cela fut décrit précédemment. Apres sa symétrisation, cela donne naissance
à la texture dite canonique de la sphère : 
.
Cette image-texture est distordue durant le "mapping" ;
ce processus est appellé auto-transformation
de l'image initiale : 
.
Voici quelques exemples d'auto-transformations d'images sans présenter les surfaces associées :
-
=> 
-
=> 
-
=> 
- =>
- =>
- =>
-
=> 
(dans cet exemple, un filtrage de Fourier a été appliqué à l'image initiale afin de la lisser
).
Ce procédé peut être appliqué à des animations en couleurs donnant ainsi naissance à de
complexes animations de textures.
Voici quelques exemples :
Copyright (c) Jean-François Colonna, 2004-2010.
Copyright (c) France Telecom R&D and CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) / Ecole Polytechnique, 2004-2010.
