Gallery (450 different pictures) :

Numbers and Light (Mathematics as a virtual optical instrument)

[Galerie (450 images différentes) : Les Nombres et la Lumière (Les Mathématiques, un Instrument d'Optique Virtuel)]

Numbers and Light (Mathematics as a virtual optical instrument) [Les Nombres et la Lumière (Les Mathématiques, un Instrument d'Optique Virtuel)] :

Pictures of Mathematics (Numbers and Light) [Images des Mathématiques (Les Nombres et la Lumière)] :

Generalities about Visualization [Généralités sur la Visualisation] :

Les livres de géométrie usuelle sont en général remplis de figures et de dessins présentant des triangles, des carrés, des cercles,... Cela ne doit pas nous surprendre puisque la géométrie est définie comme "la science de l'espace". Ainsi un cercle n'est-il pas le lieu des points du plan situés à égale distance d'un même point appelé centre ? Il est donc facile d'en faire une représentation a priori.



Un cercle.

Un 3-gone régulier -un triangle équilatéral-.

Un 4-gone régulier -un carré-.

Une démonstration du théorème de Pythagore.

Mais ceci est-il bien un "vrai" triangle rectangle ?

et cela un "vrai" triangle équilatéral ?


Dessiner un nombre positif demande un effort d'abstraction supplémentaire : mais l'associer à une longueur parait assez naturel ; cela permettra, par exemple, de comparer facilement deux d'entre-eux. Pour le produit de deux nombres A et B, on pourra utiliser l'aire AxB d'un rectangle de côtés A et B ; mais que faire si A ou B sont négatifs ? Or malheureusement, les "objets", les concepts,... manipulés par les mathématiciens (et par les physiciens) ne sont pas tous aussi faciles à visualiser : les nombres premiers (c'est-à-dire les entiers qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes) ou encore une matrice (un tableau de nombres), pour prendre deux exemples qui, naïvement, pourraient passer pour triviaux... Présentons quelques exemples de ces problèmes et les possibles solutions apportées.

Visualization of Numbers [Visualisation des nombres] :

Nous avons dit que visualiser un nombre positif pouvait se faire en le représentant par une longueur. Mais comment faire avec plusieurs nombres, voire beaucoup de nombres : des milliers, des millions, des milliards,... et signés de plus. Une idée finalement assez naturelle est d'utiliser des points colorés et finalement de faire en quelque sorte de ces ensembles de nombres des "cartes de géographie". Mais pour ce faire, il convient de répondre à une question : quelle est la couleur des nombres et par exemple de 47 ? La question est évidemment stupide, mais il faut malheureusement y répondre et ce de manière arbitraire. Cela paut avoir de graves conséquences comme on le voit dans l'une des figures suivantes -à gauche- où par un choix astucieux des couleurs associées à chaque nombre, il sera possible de cacher ce qui est (la discontinuité verticale) ou de montrer ce qui n'est pas (une périodicité).



Le même champ scalaire bidimensionnel visualisé à l'aide de 4 palettes de couleurs différentes.

Mais peut-on représenter les grands nombres ?




Visualization of Tridimensional Space by means of Stereograms [Visualisation de l'espace tridimensionnel au moyen de stéréogrammes] :

Notre espace semble posséder trois dimensions et nos supports usuels de visualisation (écrans ou feuilles de papier en général) deux seulement. Comment représenter alors des objets à trois dimensions, voire plus ? La solution la plus fréquente consiste à projeter les objets tridimensionnels sur un plan (c'est le principe de la photographie). Nous sommes habitués à ce procédé et cela fonctionne fort bien car, en effet, en général, il est appliqué à des objets que nous connaissons et que nous reconnaissons donc sans difficultés (un paysage, une fleur, un personnage, un visage,...) : nous reconstituons mentalement leurs trois dimensions. Mais que faire dans le cas d'objets inconnus et complexes ? Une solution à ce problème consiste à présenter aux deux yeux de l'observateur deux vues légèrement différentes. Les quelques images suivantes présentent un ensemble de 4x3 couples stéréoscopiques de divers objets mathématiques ou physiques, ainsi que quelques images dites autostéréoscopiques (ou autostéréogrammes) qui demandent plus d'entraînement pour en voir le relief.



Un ensemble de 4x3 stéréogrammes visualisant une pseudo-marche aléatoire tridimensionnelle définie à l'aide de 'pi' : 3.141592... -90.000 chiffres, -base 10- avec 30.000 pas de temps.

Un ensemble de 4x3 stéréogrammes visualisant une pseudo-marche aléatoire tridimensionnelle définie à l'aide de 'pi' : 3.141592... -90.000 chiffres, -base 10- avec 30.000 pas de temps.

Rotation autour de l'axe Y (vertical) du nœud '3-trèfle' torique sur son tore, qui peut être vue comme un ensemble de 4x3 stéréogrammes.

Rotation autour de l'axe Y (vertical) de la bouteille de Klein qui peut être vue comme un ensemble de 4x3 stéréogrammes.

Rotation autour de l'axe Y (vertical) de l'attracteur de Lorenz qui peut être vue comme un ensemble de 4x3 stéréogrammes.

Un ensemble de 4x3 stéréogrammes d'un ensemble de Mandelbrot dans l'ensemble des pseudo-quaternions (un 'Mandelbulb') -section tridimensionnelle-.

Un ensemble de 4x3 stéréogrammes d'un agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot dans l'ensemble des pseudo-quaternions (un 'Mandelbulb') -section tridimensionnelle-.

Un ensemble de 4x3 stéréogrammes de quelques Tours de Babel.

Rotation autour de l'axe Y (vertical) d'une représentation tridimensionnelle de variétés quadridimensionnelles de Calabi-Yau qui peut être vue comme un ensemble de 4x3 stéréogrammes -de telles variétés en chaque point de notre espace tridimensionnel familier ?-.

Un ensemble de 4x3 stéréogrammes du système solaire avec une planète virtuelle verte -point de vue de la planète virtuelle-.





Autostéréogramme d'un ensemble de Julia dans le corps des quaternions -section tridimensionnelle-.

Autostéréogramme en vraies couleurs d'un ensemble de Julia dans le corps des quaternions -section tridimensionnelle-.

Le premier film-autostéreogramme en vraies couleurs relatif aux ensembles de Julia dans le corps des quaternions -coupes tridimensionnelles-.




Visualization of Space by means of Movement [Visualisation de l'espace au moyen du mouvement] :

Lorsque les objets résident dans des espaces à plus de trois dimensions, la solution précédente ne suffit évidemment plus. Il est en fait impossible de voir ces objets dans leur intégralité, mais seulement certains de leurs sous-ensembles et par exemple des sections tridimensionnelles que l'on pourra ensuite changer à volonté par divers mouvements (des rotations ou encore des translations effectuées dans les espaces dans lesquels résident ces objets).



Rotation de 2.pi autour des axes Y et Z d'un ensemble de Julia dans le corps des quaternions -section tridimensionnelle-.

Translation le long du quatrième axe d'un ensemble de Julia dans le corps des quaternions -section tridimensionnelle-.




Visualization of Time [Visualisation du temps] :

En physique, il est en général une dimension supplémentaire : le temps. Comment donc le représenter ? De nombreuses solutions existent alors : si l'objet est bidimensionnel le temps pourra être visualisé grâce à la troisième dimension. Pour trois dimensions, le procécédé dit de filé en photographie pourra être utilisé, mais la façon la plus simple de procéder consistera évidemment à présenter un film...



Visualisation tridimensionnelle de la dynamique du jeu de la vie bidimensionnel de John Conway.

Visualisation tridimensionnelle des trajectoires des particules d'agrégats fractals bidimensionnels obtenus par collage de 100% de celles-ci lors de leurs collisions, dans un champ de gravitation central attractif.





Un coquillage (surface de Jeener 1) en mouvement.





Visualisation tridimensionnelle de la dynamique de la superposition linéaire de 6 états propres de l'atome d'Hydrogène (calcul tridimensionnel).




Beyond Everyday Space [Au-delà de l'espace familier] :

Mais les Mathématiques et les usages qui en sont fait en Physique, en particulier, amènent à représenter des espaces souvent très éloignés de l'espace tridimensionnel euclidien apparent qui nous est familier. Cela ne va donc pas sans poser de délicats problèmes de représentation dont voici quelques exemples empruntés pour la plupart aux applications des Mathématiques à la Physique.



Comment représenter des objets N-dimensionnels ?

Quelle est la forme, quelle est la couleur d'une particule élémentaire ?

Peut-on toujours respecter les échelles ?

Peut-on visualiser l'Univers ?





==> Comment trouver le bon point de vue ?

==> Comment éviter les mauvais points de vue ?




Optical Illusions and more [Illusions d'optique et autres phénomènes] :

Mais ces images sont évidemment calculées pour être regardées dans l'espoir de mieux comprendre les modèles sous-jacents mais aussi (et surtout...) dans l'espoir d'y découvrir l'inattendu. Or notre système visuel est sujet à des illusions d'optiques et les ignorer peut amener à des observations erronées.



Deux rectangles gris identiques devant une échelle de gris.

Points noirs (à l'intérieur de carrés blancs aléatoires) sur un réseau carré.

Trois carrés fantômes.





De la connexité de l'ensemble de Mandelbrot (démontrée par Adrien Douady et John Hubbard)...




Pictures of Pure Mathematics [Images des Mathématiques pures] :

Les Mathématiques dites pures sont celles qui traitent en général de problèmes très abstraits et dont l'intérêt n'est pas toujours évident aux non initiés, ni a priori, ni a posteriori. Pour elles, des images sont-elles utiles, voire nécessaires ? Dans les ouvrages de Bourbaki, elles sont absentes ; mais Albert Einstein (physicien) n'a-t-il pas écrit à Jacques Hadamard (mathématicien) : "les mots et le langage, écrits ou parlés, ne semblent pas jouer le moindre rôle dans le mécanisme de ma pensée. Les entités psychiques qui servent d'éléments à la pensée sont certains signes ou des images plus ou moins claires qui peuvent à volonté être reproduits et combinés" ?


Golden Ratio and Penrose Tiling [Nombre d'Or et Pavage de Penrose] :

Connu et utilisé depuis plus de deux mille ans, le nombre d'or (phi=(1+racine(5))/2) se rencontre aussi bien en architecture que dans la nature. Grace à lui, il est possible de définir deux triangles équilatéraux (un "plat" -de côtés {1,phi,1}- et un "pointu" -de côtés {1,1/phi,1}-) qui permettent ensuite de paver le plan de façons non périodiques (contrairement, par exemple, au carré et à l'hexagone).



Subdivision récursive du Rectangle d'Or à l'aide du Nombre d'Or -phi-.





L'une des deux subdivisions du Triangle d'Or 'plat'.

L'une des deux subdivisions du Triangle d'Or 'plat'.

L'une des deux subdivisions du Triangle d'Or 'pointu'.

L'une des deux subdivisions du Triangle d'Or 'pointu'.





Un pavage de Penrose apériodique du plan.

Un pavage de Penrose apériodique du plan.

Un pavage de Penrose apériodique du plan.

Un pavage de Penrose apériodique du plan.

La ville de Penrose.





Un pavage de Penrose apériodique du Décagone d'Or.

Un pavage de Penrose apériodique du Décagone d'Or avec cinq cubes cachés.

Vue artistique d'un pavage de Penrose apériodique du Décagone d'Or.




Prime Numbers [Les Nombres Premiers] :

Les nombres premiers sont les nombres entiers strictement supérieurs à 1 qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes. Leur liste commence par 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... et elle se poursuit sans fin. Ils sont aux Mathématiques ce que les atomes sont à la chimie : tout nombre entier peut être obtenu de façon unique (à l'ordre près) par multiplication de nombres premiers (par exemple : 21=3x7). Malgré le fait qu'ils soient connus depuis plus de deux mille ans, ils sont toujours entourés de nombreux mystères : comment sont-ils répartis (Hypothèse de Riemann), les nombres premiers dits jumeaux (c'est-à-dire les couples de deux nombres premiers dont la différence est égale à 2 et dont la liste débute par {3,5},{5,7},{11,13},{17,19},...) sont-ils en nombre infini, tout nombre pair supérieur ou égal à 4 est-il, au moins d'une façon, la somme de deux nombres premiers (conjecture de Goldbach),... ?



La fonction de Liouville visualisée comme une marche aléatoire bidimensionnelle pour les nombres entiers de 2 à 100001.

La fonction de Liouville visualisée comme une marche aléatoire tridimensionnelle pour les nombres entiers de 2 à 150001.





La spirale d'Ulam généralisée montrant 1024 nombres entiers.

Une spirale d'Archimède montrant 100000 nombres entiers.





La conjecture de Goldbach -la comète de Goldbach ou l'arc-en ciel de Goldbach- pour les entiers pairs de 6 à 411678.





Visualisation tridimensionnelle de la fonction Zêta de Riemann dans la bande [+0.1,+0.9]x[0,+50].

Visualisation tridimensionnelle de la fonction Zêta de Riemann dans [-50.0,+50.0]x[-50.0,+50.0] (vue aérienne).




Some more famous Conjectures [Quelques autres Conjectures fameuses] :

Une conjecture est un théorème que l'on croit être vrai, mais que l'on n'a pas encore réussi à démontrer et qui en général résiste. C'est ainsi que la conjecture de Fermat, vaincue en 1994 par Andrew Wiles, a demandé plus de trois siècles d'efforts ininterrompus. Paradoxalement, souvent le problème posé est d'une grande simplicité à énoncer : c'est, par exemple, le cas des conjectures de Syracuse et de la persistance multiplicative.



L'Hypothèse du Continu (HC) -une allégorie-.





Visualisation tridimensionnelle de la fonction Zêta de Riemann dans [-10.0,+60.0]x[-35.0,+35.0] (vue aérienne).





La conjecture de Goldbach -la comète de Goldbach ou l'arc-en ciel de Goldbach- pour les entiers pairs de 6 à 41518.





La conjecture de Legendre avec 0 < n < 201.





La distance -un nombre pair- entre les nombres premiers consécutifs visualisée à l'aide de couleurs à luminance croissante.





Visualisation tridimensionnelle de la conjecture ABC.





La conjecture de Syracuse pour U(0)={1,2,3,4,...,262144...}.

La conjecture de Syracuse pour U(0)={5,6,7,8,...,20} -visualisation en coordonnées polaires-.

La conjecture de Syracuse pour U(0)={5,6,7,8,...,68} -visualisation sous forme d'une 'pseudo-marche aléatoire' : 'Le Pulsar de Syracuse'-.





La persistance multiplicative des 65536 premiers nombres entiers pour les bases 2 -en bas et à gauche- à 17 -en haut et à droite-.




Real Numbers [Nombres Réels] :

Définir correctement les nombres réels est chose délicate, mais on pourra se contenter de dire ici qu'il s'agit de tous les nombres usuels : les entiers, les fractions et tous les autres... Ils possèdent une partie entière et en général une partie décimale contenant pour la plupart d'entre-eux une suite infinie non périodique de chiffres. Le plus fameux des nombres réels est certainement le nombre pi (=3,14159265358979323846...), omniprésent en Mathématiques et en Physique. Peut-on visualiser les nombres autrement que par des longueurs ? Peut-on montrer la distribution de leurs décimales ? Mais attention aux pièges tendus par le grand nombre de représentations possibles, comme le montre l'exemple des décimales de pi disposées sur une hélice...



Les 1.000 premières décimales -base 10- de 'pi' visualisées sur un cercle -très mauvais point de vue-.

Visualisation de 'pi' avec 1.000 chiffres -base 10- sur une hélice -bon point de vue-.

Visualisation de 'pi' avec 100 chiffres {3.141592...} sur une hélice -grise-.

Une pseudo-marche aléatoire tridimensionnelle définie à l'aide de 'pi' : 3.141592... -100.000 chiffres, -base 10- avec 50.000 pas de temps.	Une pseudo-marche aléatoire tridimensionnelle définie à l'aide de 'pi' : 3.141592... -90.000 chiffres, -base 10- avec 30.000 pas de temps.	Une pseudo-marche aléatoire tridimensionnelle définie à l'aide de 'pi' : 3.141592... -90.000 chiffres, -base 10- avec 30.000 pas de temps.	Une pseudo-marche aléatoire tridimensionnelle définie à l'aide de 'pi' : 3.141592... -90.000 chiffres, -base 10- avec 30.000 pas de temps.	Une pseudo-marche aléatoire tridimensionnelle définie à l'aide de 'pi' : 3.141592... -90.000 chiffres, -base 10- avec 30.000 pas de temps.
Une pseudo-marche aléatoire tridimensionnelle définie à l'aide de 'pi' : 3.141592... -90.000 chiffres, -base 10- avec 30.000 pas de temps.

Une coupe sphérique double à l'intérieur d'une éponge de Menger 3x3x3 -itération 4- visualisant le nombre 3.141.

Les 256 premiers chiffres -base 10- de 'pi' sur une courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 4- mappée sur une sphère.

Les 81 premiers chiffres de 'pi' visualisés comme ensemble de courbes variées concentriques (vue aérienne).

Visualisation tridimensionnelle d'une spirale montrant 'pi' avec 4.000 chiffres -base 10-.

Les 81 premiers chiffres de 'pi' visualisés comme ensemble de courbes variées concentriques (vue aérienne).

Les 500 premiers chiffres de 'pi' visualisés comme une structure paradoxale.





L'ADN des Mathématiques -les 480 premiers chiffres de 'pi' et 'e'-.





Une pseudo-marche aléatoire tridimensionnelle définie à l'aide de 'e' : 2.718281... -100.000 chiffres, base 10- en 415052... -128.508 chiffres, base 6-.

Une pseudo-marche aléatoire tridimensionnelle définie à l'aide de 'phi' -le nombre d'or- : 1.618033... -100.000 chiffres, base 10- en 341254... -128.508 chiffres, -base 6-.

Une pseudo-marche aléatoire tridimensionnelle définie à l'aide de 'pi' : 3.141592... -100.000 chiffres, -base 10- en 050330... -128.508 chiffres, base 6-.

Une pseudo-marche aléatoire tridimensionnelle définie à l'aide de la racine carrée de 2 : 1.414213... -100.000 chiffres, -base 10- en 225245... -128.508 chiffres, base 6.

Une pseudo-marche aléatoire bidimensionnelle définie à l'aide du nombre de Champernowne -utilisant tous les nombres premiers en base 10- : 0.2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31... -288.982, base 10-.





Génération des 63 premiers nombres surréels de Conway.

Génération des 63x63 premiers nombres complexes surréels de Conway.




Functions of a Complex Variable [Fonctions d'une Variable Complexe] :

Les nombres réels permettent de repérer un point quelconque sur une droite. Afin que toute équation polynomiale de degré N possèdent N racines, ils furent généralisés : ce sont les nombres complexes qui permettent de plus de repérer un point quelconque sur un plan. Les nombres complexes sont composés de deux nombres réels appelés respectivement partie réelle et partie imaginaire, ou bien, ce qui est équivalent, d'une longueur (le module) et d'un angle (l'argument). De même que l'on définit des fonctions de variables réelles, on peut définir des fonctions de variables complexes.



Le relief -module- de la fonction exp(1/z) avec 'mapping' des arguments.

Le relief -module- de la fonction sin(z) avec 'mapping' des arguments.




Conformal Transformations [Transformations Conformes] :

Dans un espace, il est possible de définir des transformations des coordonnées. Parmi celles-ci, les transformations conformes (c'est-à-dire celles qui conservent les angles) jouent un rôle privilégié.



Transformation conforme 1/Z de cercles concentriques dans le plan complexe.

Transformation conforme Z2 de cercles concentriques dans le plan complexe.





Un tore tridimensionnel tronqué avec une transformation conforme 1/O dans l'ensemble des octonions -section tridimensionnelle-.

Un tore tridimensionnel tronqué avec une transformation conforme 1/O dans l'ensemble des octonions -section tridimensionnelle-.

Une sphère tridimensionnelle tronquée avec une transformation conforme (4xO+1)/(1xO-1) dans l'ensemble des octonions -section tridimensionnelle-.

Une sphère tridimensionnelle tronquée avec une transformation conforme 1/O dans l'ensemble des octonions -section tridimensionnelle-.

Une sphère tridimensionnelle tronquée avec une transformation conforme 1/O dans l'ensemble des octonions -section tridimensionnelle-.

Agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot dans l'ensemble des pseudo-octonions (un 'Mandelbulb') avec une transformation conforme 1/Z dans le plan complexe -section tridimensionnelle-.	Agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot dans l'ensemble des pseudo-octonions (un 'Mandelbulb') avec une transformation conforme 1/Z dans le plan complexe -section tridimensionnelle-.	Agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot dans l'ensemble des pseudo-octonions (un 'Mandelbulb') avec une transformation conforme 1/O dans l'ensemble des pseudo-octonions -section tridimensionnelle-.	Agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot dans l'ensemble des pseudo-octonions (un 'Mandelbulb') avec une transformation conforme 1/O dans l'ensemble des pseudo-octonions -section tridimensionnelle-.	Agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot dans l'ensemble des pseudo-octonions (un 'Mandelbulb') avec une transformation conforme (4xO+1)/(1xO-1) dans l'ensemble des pseudo-octonions -section tridimensionnelle-.
Agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot dans l'ensemble des pseudo-octonions (un 'Mandelbulb') avec une transformation conforme (4xO+1)/(1xO-1) dans l'ensemble des pseudo-octonions -section tridimensionnelle-.	Agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot dans l'ensemble des pseudo-octonions (un 'Mandelbulb') avec une transformation conforme O2 dans l'ensemble des pseudo-octonions -section tridimensionnelle-.	Agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot dans l'ensemble des pseudo-octonions (un 'Mandelbulb') avec une transformation conforme O2 dans l'ensemble des pseudo-octonions -section tridimensionnelle-.	Agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot brumeux dans l'ensemble des pseudo-quaternions avec une transformation conforme 1/O dans l'ensemble des octonions -section tridimensionnelle-.	Agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot brumeux dans l'ensemble des pseudo-quaternions avec une transformation conforme 1/O dans l'ensemble des octonions -section tridimensionnelle-.
Agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot brumeux dans l'ensemble des pseudo-quaternions avec une transformation conforme (1/O)2 dans l'ensemble des octonions -section tridimensionnelle-.	Agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot brumeux dans l'ensemble des pseudo-quaternions avec une transformation conforme 1/O dans l'ensemble des octonions -section tridimensionnelle-.




Space Filling Curves, Snowflakes and more [Courbes remplissant l'Espace, Flocons de neige et plus] :

Au cours du XIXe siècle furent découvertes de "monstrueuses" courbes sans tangente. Parmi celles-ci, le flocon de neige de von Kock ou encore les courbes de Hilbert qui, dans le plan, peuvent passer par tous les points intérieurs à un carré (et de même pour le cube dans l'espace). Bien évidemment elles ne peuvent être dessinées exactement : seules des approximations, de plus en plus précises, peuvent être visualisées ce qui permet simultanément de présenter les règles de construction.



Les quatre premières itérations de la construction du flocon de neige de von Koch.





Courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 1-.

Courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 2-.

Courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 3-.

Courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 4-.

Courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 5-.

Courbe de Hilbert bidimensionnelle -itérations 1 à 5-.

Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} -itération 1-.

Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X2(...),Y2(...)} -itération 2-.

Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X3(...),Y3(...)} -itération 3-.

Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X4(...),Y4(...)} -itération 4-.

Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X5(...),Y5(...)} -itération 5-.





Courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 1-.

Courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 2-.

Courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 3-.

Courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 4-.

Courbe de Hilbert tridimensionnelle -itérations 1 à 3-.

Courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 4-.

Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...),Z1(...)} et basé sur un nœud '3-trèfle' torique 'ouvert' -itération 1-.

Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X2(...),Y2(...),Z2(...)} et basé sur un nœud '3-trèfle' torique 'ouvert' -itération 2-.

Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X3(...),Y3(...),Z3(...)} et basé sur un nœud '3-trèfle' torique 'ouvert' -itération 3-.

Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X4(...),Y4(...),Z4(...)} et basé sur un nœud '3-trèfle' torique 'ouvert' -itération 4-.





Une Boule décrite à l'aide d'une courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 4-.





Une sphère décrite à l'aide d'une courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 7-.

Une sphère décrite à l'aide d'une courbe de Peano bidimensionnelle -8 décimales-.

Une sphère décrite à l'aide d'une courbe du type Hilbert bidimensionnelle -itération 6-.

Un tore décrite à l'aide d'une courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 7-.

Un tore décrite à l'aide d'une courbe de Peano bidimensionnelle -8 décimales-.

Un tore décrite à l'aide d'une courbe du type Hilbert bidimensionnelle -itération 6-.

Le ruban de Möbius décrit à l'aide d'une courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 7-.

Le ruban de Möbius décrit à l'aide d'une courbe de Peano bidimensionnelle -8 décimales-.

Le ruban de Möbius décrit à l'aide d'une courbe du type Hilbert bidimensionnelle -itération 6-.

La bouteille de Klein décrite à l'aide d'une courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 7-.

La bouteille de Klein décrite à l'aide d'une courbe de Peano bidimensionnelle -8 décimales-.

La bouteille de Klein décrite à l'aide d'une courbe du type Hilbert bidimensionnelle -itération 6-.

La double bouteille de Bonan-Jeener décrite à l'aide d'une courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 7-.

La double bouteille de Bonan-Jeener décrite à l'aide d'une courbe de Peano bidimensionnelle -8 décimales-.

La double bouteille de Bonan-Jeener décrite à l'aide d'une courbe du type Hilbert bidimensionnelle -itération 6-.

Représentation tridimensionnelle d'une variété quadridimensionnelle de Calabi-Yau décrite à l'aide de 5x5 courbes de Hilbert bidimensionnelle -itération 5-.

Représentation tridimensionnelle d'une variété quadridimensionnelle de Calabi-Yau décrite à l'aide de 5x5 courbes de Hilbert bidimensionnelle -itération 5-.




"EinStein" Tilings [Pavages "EinStein"] :

Alors que cela fut longtemps considéré comme étant impossible, David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig Kaplan et Chaim Goodmann-Strauss découvrirent en 05/2023 une pièce unique (dite EinStein) pavant le plan de façon apériodique.



Le 'Mystique' fait de deux pavés 'Spectre' apériodiques 'EinStein'.

Le 'cluster' de niveau-1 constitué de 8 pavés 'Spectre's incluant un 'Mystique' (rouge et traits gris foncés) avec visualisation des points-clefs regroupés en quadrilatères (7 petits bleus et un grand magenta).

Le 'cluster' de niveau-1 constitué de 9 pavés 'Spectre's incluant un 'Mystique' (rouge et traits gris foncés) avec visualisation des points-clefs regroupés en quadrilatères (8 petits bleus et un grand magenta).

Le 'cluster' de niveau-1 constitué de 8 pavés 'Spectre's avec visualisation des points-clefs regroupés en quadrilatères (7 petits rouges et un grand vert).

Le 'cluster' de niveau-1 constitué de 9 pavés 'Spectre's avec visualisation des points-clefs regroupés en quadrilatères (8 petits rouges et un grand vert).

Le 'cluster' de niveau 2 constitué de 7 'cluster's de niveau 1 de 'Spectre's avec visualisation des points-clefs regroupés en quadrilatères (7 petits et un grand).

Le 'cluster' de niveau 2 constitué de 8 'cluster's de niveau 1 de 'Spectre's avec visualisation des points-clefs regroupés en quadrilatères (8 petits et un grand).

Le 'cluster' de niveau 3 constitué de 7 'cluster's de niveau 2 de 'Spectre's avec visualisation des points-clefs regroupés en quadrilatères (7 petits et un grand).

Le 'cluster' de niveau 3 constitué de 8 'cluster's de niveau 2 de 'Spectre's avec visualisation des points-clefs regroupés en quadrilatères (8 8 petits et un grand).

Une vue rapprochée du pavage 'Spectre' apériodique 'EinStein'.

Une vue rapprochée du pavage 'Spectre' apériodique 'EinStein'.

Une vue rapprochée du pavage 'Spectre' apériodique 'EinStein'.




Distribution of N Points on a Sphere [Répartition de N Points sur une Sphère] :

Les Mathématiques ne sont pas toujours capables de répondre aux questions posées et cela peut même parfois se démontrer. Dans ces circonstances, elles pourront donner malgré tout, de temps en temps, des réponses partielles ou bien encore approchées. C'est le cas du problème dit des dictateurs qui consiste à placer N points sur une sphère de façon à ce que la distance minimale entre deux points quelconques soit la plus grande possible. C'est un problème que l'on rencontre, par exemple, lors de la fabrication des balles de golf. La solution exacte n'est connue que dans très peu de cas et toujours pour un nombre N de points très petits. Pour les autres valeurs de N, il faut utiliser des méthodes approximatives. Parmi elles, celles qui sont dites itératives et qui consistent à placer les N points au hasard, puis à les déplacer aléatoirement en essayant de maximiser progressivement le minimum des distances des points pris deux à deux.



8 points répartis équitablement sur une sphère par recuit simulé.




Knots [Nœuds] :

Dans l'espace tridimensionnel, un nœud est une courbe fermée qui ne se recoupe pas et qui ne peut être ramené à un cercle (ou "nœud trivial") par des transformations et des déformations, en excluant bien évidemment les découpages et les collages...



Nœud '1-trèfle' torique -nœud trivial- sur son tore avec son ruban de Möbius associé.

Nœud '3-trèfle' torique sur son tore.

Nœud '5-trèfle' torique sur son tore.

Nœud '7-trèfle' torique sur son tore.




Cellular Automata [Automates Cellulaires] :

Dans les années quarante, en parallèle au développement des premiers ordinateurs électroniques, des chercheurs tels Stanislaw Ulam et John von Neumann imaginèrent des systèmes abstraits auto-réplicatifs extrémement simples. Ils reposent en général sur des ensembles mono- ou bidimensionnels de "cellules" ne pouvant prendre qu'un nombre fini (en général petit, par exemple deux) d'états. Au cours du temps, l'état de chaque cellule évolue en fonction de son état courant et de celui des cellules voisines. Ces expériences à une dimension (horizontale, le temps étant représenté par l'axe vertical) montrent que du simple peut émerger le complexe.



Un automate cellulaire binaire monodimensionnel élémentaire -110- avec 49 points de départ blancs -sur la ligne du bas-.	Un automate cellulaire binaire monodimensionnel élémentaire -184- avec des points aléatoires de départ blancs -sur la ligne du bas-.	Un automate cellulaire binaire monodimensionnel élémentaire -110- avec 1 point de départ blanc -en bas et à droite-.	L'usage alternatif de deux automates cellulaires binaires monodimensionnels élémentaires -168,165- avec des points de départ aléatoires blancs -sur la ligne du bas-.	Un automate cellulaire 'quasi-continu' monodimensionnel.
Deux automates cellulaires 'quasi-continus' monodimensionnels alternatifs.	Un automate cellulaire 'quasi-continu' monodimensionnel avec une perturbation aléatoire des règles.





Visualisation tridimensionnelle de la dynamique du jeu de la vie bidimensionnel de John Conway.	Le jeu de la vie tridimensionnel de John Conway avec des conditions initiales aléatoires -1.0% de cellules occupées-.	Le jeu de la vie tridimensionnel de John Conway avec des conditions initiales aléatoires -1.2% de cellules occupées-.	Le jeu de la vie tridimensionnel de John Conway avec des conditions initiales aléatoires -1.4% de cellules occupées-.	Le jeu de la vie tridimensionnel de John Conway avec des conditions initiales aléatoires -1.6% de cellules occupées-.
Le jeu de la vie tridimensionnel de John Conway avec des conditions initiales aléatoires -1.8% de cellules occupées-.	Le jeu de la vie tridimensionnel de John Conway avec des conditions initiales aléatoires -2.0% de cellules occupées-.




Deterministic Fractal Geometry [Géométrie Fractale Déterministe] :

Les "monstrueuses" courbes du XIXe siècle étaient continues et non différentiables. Pour dire les choses simplement cela signifie qu'elles pourraient être obtenues en théorie sans lever le crayon de la feuille de papier et que malgré tout elles n'auraient de tangente en aucun point. Cela était inacceptable pour certains et du coup elles furent oubliées jusqu'aux années 1960, lorsque Benoît Mandelbrot les tira de leur sommeil et trouva grâce à elles une définition géométrique de nombreux objets naturels. Cette nouvelle géométrie (dite fractale) contient à la fois des objets dont la définition ne laisse aucune place au hasard et d'autres où il intervient. Dans la première catégorie se trouve tout un bestiaire de formes infiniment riches et complexes que des mathématiciens tels Pierre Fatou et Gaston Julia avaient pressenties au début du XXe siècle, sans pouvoir les révéler faute de moyens de calculs et de visualisation.



Le tapis de Sierpinski -itération 1 à 5-.





Sans Titre 0194.





L'éponge de Menger -itération 5-.

L'éponge de Menger -itération 5- avec une transformation non linéaire tridimensionnelle.

Une coupe très étonnante dans l'éponge de Menger -itération 5-.

Une coupe très étonnante dans l'éponge de Menger -itération 5- avec une transformation conforme (4xO+1)/(1xO-1) dans l'ensemble des octonions -section tridimensionnelle-.

Une coupe généralisée très étonnante dans l'éponge de Menger -itération 5-.

Une coupe généralisée très étonnante dans l'éponge de Menger -itération 5- avec une transformation conforme (4xO+1)/(1xO-1) dans l'ensemble des octonions -section tridimensionnelle-.

Une coupe 'pyramidale' dans l'éponge de Menger -itération 5-, 'Ô temps tes pyramides' -La bibliothèque de Babel (Fictions), un hommage à Jorge Luis Borges-.

Une coupe 'pyramidale' dans l'éponge de Menger -itération 5- avec une transformation conforme (4xO+1)/(1xO-1) dans l'ensemble des octonions -section tridimensionnelle-, 'Ô temps tes pyramides' -La bibliothèque de Babel (Fictions), un hommage à Jorge Luis Borges-.

Une coupe 'doublement conique' dans l'éponge de Menger -itération 5-, 'Ô temps tes pyramides' -La bibliothèque de Babel (Fictions), un hommage à Jorge Luis Borges-.

Une coupe 'doublement conique' dans l'éponge de Menger -itération 5- avec une transformation conforme (4xO+1)/(1xO-1) dans l'ensemble des octonions -section tridimensionnelle-.

Une coupe 'conique' dans l'éponge de Menger -itération 5-, 'Ô temps tes pyramides' -La bibliothèque de Babel (Fictions), un hommage à Jorge Luis Borges-.

Une coupe 'conique' dans l'éponge de Menger -itération 5- avec une transformation conforme (4xO+1)/(1xO-1) dans l'ensemble des octonions -section tridimensionnelle-.

Une coupe sphérique dans l'éponge de Menger -itération 5-.

Une coupe sphérique double dans l'éponge de Menger -itération 5-.

Une mince coupe sphérique double dans l'éponge de Menger -itération 5-.

Une coupe sphérique dans l'éponge de Menger -itération 5- avec une transformation conforme (4xO+1)/(1xO-1) dans l'ensemble des octonions -section tridimensionnelle-.

L'érosion de l'éponge de Menger -itération 5-.





Visualisation de la méthode de Newton lors du calcul des racines de Z3=1.

Visualisation de la méthode de Newton lors du calcul des racines de Z4=1.

Visualisation de la méthode de Newton lors du calcul des racines de Z5=1.





Le long de la frontière de l'ensemble de Mandelbrot.

Un hommage à Benoît Mandelbrot (1924-2010) : zoom sur une représentation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments.	Visualisation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments.	Visualisation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments.	Visualisation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments.	Visualisation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments.
Visualisation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments.	Visualisation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments.	Visualisation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments.	Visualisation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments.	Visualisation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments.

Un hommage à Benoît Mandelbrot (1924-2010) : zoom sur une représentation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments.

Visualisation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments.

Visualisation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments.

Visualisation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments.





L'ensemble fractal dans les quaternions obtenu lors du calcul des racines de Q3=1 grâce à la méthode de Newton avec translation le long du troisième axe de l'espace des quaternions -section tridimensionnelle-.





L'ensemble de Julia dans le corps des quaternions calculé pour A=(0,1,0,0) -ou 'la danseuse d'Yr'- -section tridimensionnelle-.	L'ensemble de Julia dans le corps des quaternions calculé pour A=(0,1,0,0) -section tridimensionnelle-.	Un ensemble de Julia brumeux dans l'ensemble des pseudo-octonions (comme un 'MandelBulb' : un 'JuliaBulb') calculé pour A=(-0.581514...,+0.635888...,0,0,0,0,0,0) -section tridimensionnelle-.	Un ensemble de Julia brumeux dans l'ensemble des pseudo-octonions (comme un 'MandelBulb' : un 'JuliaBulb') calculé pour A=(-0.581514...,+0.635888...,0,0,0,0,0,0) -section tridimensionnelle-.	Premier contact -un hommage au film de Denis Villeneuve de 2016 rendu grâce à un ensemble de Julia dans l'ensemble des pseudo-quaternions-.
Un ensemble de Julia brumeux dans l'ensemble des pseudo-octonions (comme un 'MandelBulb' : un 'JuliaBulb') calculé pour A=(-0.581514...,+0.635888...,0,0,0,0,0,0) -section tridimensionnelle-.	Un ensemble de Julia brumeux dans l'ensemble des pseudo-octonions (comme un 'MandelBulb' : un 'JuliaBulb') calculé pour A=(-0.581514...,+0.635888...,0,0,0,0,0,0) -section tridimensionnelle-.	Un ensemble de Julia brumeux dans l'ensemble des pseudo-octonions (comme un 'MandelBulb' : un 'JuliaBulb') calculé pour A=(-0.581514...,+0.635888...,0,0,0,0,0,0) -section tridimensionnelle-.	Un ensemble de Julia brumeux dans l'ensemble des pseudo-octonions (comme un 'MandelBulb' : un 'JuliaBulb') calculé pour A=(-0.581514...,+0.635888...,0,0,0,0,0,0) et avec une rotation autour de l'axe X -section tridimensionnelle-.

Un ensemble de Mandelbrot dans l'ensemble des pseudo-octonions (un 'MandelBulb') -'le coin des enfants' ou 'la conscience émergeant des Mathématiques'- -section tridimensionnelle-.

Un ensemble de Mandelbrot dans l'ensemble des pseudo-octonions (un 'MandelBulb') -section tridimensionnelle-.

Agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot dans l'ensemble des pseudo-octonions (un 'Mandelbulb') -section tridimensionnelle-.

Un ensemble de Mandelbrot brumeux dans l'ensemble des pseudo-quaternions (un 'MandelBulb') -section tridimensionnelle-.

Agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot brumeux dans l'ensemble des pseudo-quaternions (un 'MandelBulb') -section tridimensionnelle-.

Agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot brumeux dans l'ensemble des pseudo-quaternions (un 'MandelBulb') -section tridimensionnelle-.

Agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot brumeux dans l'ensemble des pseudo-quaternions (un 'MandelBulb') -section tridimensionnelle-.





Un détail d'un 'MandelBox' brumeux -ou 'Sous la coupole'-, -section tridimensionnelle-.





Croix fractale tridimensionnelle -itération 5-.




Intertwinings [Entrelacs] :

Faire de la recherche, c'est se poser des questions, puis tenter d'y répondre. Ainsi, peut-on produire mathématiquement des entrelacs, les animer et aller au-delà ?



Entrelacs.	Structure paradoxale.	Entrelacs.	Entrelacs.	Entrelacs.
Les Mathématiques sont la clef du Multivers.	Structure paradoxale basée sur la géométrie de la sphère.	Entrelacs basé sur la géométrie de la sphère.	Structure paradoxale basée sur la géométrie de la triple bouteille de Bonan-Jeener-Klein.	Entrelacs basé sur la géométrie de la triple bouteille de Bonan-Jeener-Klein.
Structure paradoxale basée sur la géométrie de la surface de Boy.	Entrelacs basé sur la géométrie de la surface de Boy.





Un entrelacs tridimensionnel à l'intérieur d'une sphère.	Un entrelacs tridimensionnel à l'intérieur d'un tore.	Un entrelacs tridimensionnel à l'intérieur de la triple bouteille de Bonan-Jeener-Klein.	Un entrelacs tridimensionnel à l'intérieur d'un pseudo-tore 'épicycloïdal tridimensionnel'.	Un entrelacs tridimensionnel à l'intérieur d'un entrelacs de Jeener.
Un entrelacs tridimensionnel à l'intérieur du triton de Jeener.

'Corps céleste' fractal basé sur un tore et un entrelacs tridimensionnel à l'intérieur d'une sphère.

'Corps céleste' fractal basé sur un tore et un entrelacs tridimensionnel à l'intérieur d'un tore.

'Corps céleste' fractal basé sur un tore et un entrelacs tridimensionnel à l'intérieur de la triple bouteille de Bonan-Jeener-Klein.





Sans Titre 0312.	Sans Titre 0315.	Sans Titre 0316.	Sans Titre 0319.	Sans Titre 0320.
Sans Titre 0323.	Sans Titre 0324.	Sans Titre 0331.	Sans Titre 0332.	Sans Titre 0335.
Sans Titre 0339.	Sans Titre 0341.	Sans Titre 0336.





Une animation d'entrelacs.

Une animation d'entrelacs.

Une interpolation entre deux entrelacs.





Structure paradoxale basée sur la géométrie du plan.

Structure paradoxale basée sur la géométrie de la surface de Boy.





Sans Titre 0116.

Sans Titre 0128.

Les Nymphéas -un hommage à Claude Monet-.




Miscellaneous [Divers] :

Juste pour le plaisir...



Un pavage aléatoire d'un domaine carré utilisant des dominos (rectangles 1x2) -parcours ligne après ligne- avec visualisation des amas de rectangles horizontaux et verticaux utilisant la 4-connexité.





Distorsion de la triple bouteille de Bonan-Jeener-Klein.

Distorsion de la double bouteille de Bonan-Jeener-Klein.

Vue impressioniste de l'escargot hypocycloïdal de Jeener.





Un 4-cube -un hypercube-.





Les anneaux borroméens.

Seize tores entrelacés.





Une interpolation entre deux ensembles de tores entrelacés -quatre et seize respectivement- définie à l'aide de trois ensembles de champs bidimensionnels.

Une interpolation entre seize tores entrelacés et la quadruple bouteille de Jeener définie à l'aide de trois ensembles de champs bidimensionnels.

Evolution de la bouteille de Klein à l'aide de l'attracteur de Lorenz.





Ensemble causal obtenu grâe au maillage aléatoire homogène d'un cube.

Maillage aléatoire hétérogène -champ fractal tridimensionnel- d'un cube.

Maillage aléatoire hétérogène -champ gaussien tridimensionnel- d'un cube.

Maillage aléatoire hétérogène -champ anti-gaussien tridimensionnel- d'un cube.

Maillage aléatoire homogène d'un cube.

Maillage aléatoire hétérogène -champ fractal tridimensionnel- d'un cube.

Maillage aléatoire hétérogène -champ gaussien tridimensionnel- d'un cube.

Maillage aléatoire hétérogène -champ anti-gaussien tridimensionnel- d'un cube.

Complexité, connectivité et conscience -64 nœuds.	Réseau 'organique' -64 nœuds.	Réseau 'organique' -64 nœuds.	Réseau 'organique' -64 nœuds.	Complexité, connectivité et conscience -512 nœuds.
Complexité, connectivité et conscience -4096 nœuds.

Maillage aléatoire homogène et non linéaire d'un cube.

Maillage aléatoire hétérogène -champ fractal tridimensionnel- et non linéaire d'un cube.

Maillage aléatoire hétérogène -champ gaussien tridimensionnel- et non linéaire d'un cube.

Maillage aléatoire hétérogène -champ anti-gaussien tridimensionnel- et non linéaire d'un cube.

Maillage aléatoire homogène et non linéaire d'un cube.

Maillage aléatoire hétérogène -champ fractal tridimensionnel- et non linéaire d'un cube.

Maillage aléatoire hétérogène -champ gaussien tridimensionnel- et non linéaire d'un cube.

Maillage aléatoire hétérogène -champ anti-gaussien tridimensionnel- et non linéaire d'un cube.







Pictures of Applied Mathematics [Images des Mathématiques appliquées] :

Bien que plusieurs points de vue sur les Mathématiques puissent être adoptés, c'est ici celui de Galiée (XVI-XVIIe siècles) qui sera choisi : pour lui, le grand livre de la Nature était écrit en langage mathématique. Leur redoutable efficacité (Eugène Wigner, Prix Nobel de Physique 1963) doit nous interpeler quant à leur nature profonde : ne sont-elles que ce "simple" langage qu'il faut apprendre pour comprendre ou ne seraient-elles pas la Réalité, toute la Réalité ? Quoi qu'il en soit, ses succès sont incontestables, de l'infiment petit à l'infiniment grand et ils font d'elles un véritable instrument d'optique qui chaque jour nous révèle de nouveaux et mystérieux aspects de la Réalité. Les ordinateurs, l'image de synthèse et nos yeux jouent alors un rôle privilégié...

Quantum Mechanics [Mécanique Quantique] :

La Mécanique Quantique est la théorie décrivant les états et les évolutions des systèmes à l'échelle des molécules, des atomes et des particules élémentaires. Ses prédictions, toujours vérifiées jusqu'à présent, sont bien souvent contraires à nos intuitions et à nos expériences du quotidien.



Représentation tridimensionnelle d'une variété quadridimensionnelle de Calabi-Yau.

Représentation tridimensionnelle de variétés quadridimensionnelles de Calabi-Yau -de telles variétés en chaque point de notre espace tridimensionnel familier ?-.

Représentation tridimensionnelle de variétés quadridimensionnelles de Calabi-Yau -de telles variétés en chaque point de notre espace tridimensionnel familier ?-.

Représentation tridimensionnelle de variétés quadridimensionnelles de Calabi-Yau -des variétés de Calabi-Yau en chaque point d'un espace fractal tridimensionnel-.





Fluctuations quantiques du vide.

Structure en quarks et gluons du nucléon.





Visualisation tridimensionnelle de la superposition linéaire de 6 états propres de l'atome d'Hydrogène (calcul tridimensionnel).




Deterministic Chaos [Chaos Déterministe] :

Un système relève du chaos déterministe lorsqu'il est régi par des équations dans lesquelles le hasard n'intervient pas (il est donc déterministe) mais que des prédictions à long terme quant à son devenir sont impossibles. Cette circonstance se rencontre lorsque ses équations sont sensibles à la précision des conditions initiales (forcément toujours limitée) et donc aux erreurs dites d'arrondi (il est ainsi de plus chaotique).



Visualisation bidimensionnelle de la dynamique de Verhulst -(gris,orange,rouge) montrent les exposants de Lyapunov négatifs, (jaune,vert,bleu) montrent les exposants de Lyapunov positifs-.





Visualisation tridimensionnelle haute résolution de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-.

Visualisation tridimensionnelle haute résolution de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-.

Visualisation tridimensionnelle haute résolution de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-.

Visualisation tridimensionnelle haute résolution de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-.

Visualisation tridimensionnelle haute résolution de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-.

Visualisation tridimensionnelle haute résolution d'une dynamique de Verhulst étendue -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-.

Visualisation tridimensionnelle haute résolution d'une dynamique de Verhulst étendue -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-.

Visualisation tridimensionnelle haute résolution d'une dynamique de Verhulst étendue -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-.

Visualisation tridimensionnelle haute résolution de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-.

Visualisation tridimensionnelle haute résolution de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-.

Visualisation tridimensionnelle haute résolution de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-.

Visualisation tridimensionnelle haute résolution de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-.





L'attracteur de Lorenz.





Une éponge pyramidale de Menger obtenue à l'aide de la méthode des 'Iterated Function Systems' -IFS-.




Statistical Mechanics and Particle Systems [Mécanique Statistique et Systèmes de Particules] :

L'étude des systèmes de particules en interaction entre-elles et avec le milieu dans lequel elles baignent est fondamental car, en effet, de là émergent, par exemple, les grandes lois de la thermodynamique ou encore les principes du phénomène de la diffusion.



La marche aléatoire des photons produits au cœur du Soleil.





Mouvement brownien bidimensionnel -la palette de couleurs (magenta,rouge,jaune,vert,cyan) est une fonction croissante du temps- et sa 'frontière extérieure' (ou enveloppe) -blanche-.

Accumulation tridimensionnelle de 512 mouvements browniens bidimensionnels corrélés -50000 pas de temps-.

Mouvement brownien tridimensionnel.





Les trajectoires des particules d'agrégats fractals bidimensionnels obtenus par collage de 100% de celles-ci lors de leurs collisions, dans un champ de gravitation central attractif.

Les trajectoires des particules d'agrégats fractals bidimensionnels obtenus par collage de 50% de celles-ci lors de leurs collisions, dans un champ de gravitation central attractif.

Les trajectoires des particules d'agrégats fractals bidimensionnels obtenus par collage de 50% de celles-ci lors de leurs collisions, dans un champ de gravitation vertical.





Front fractal de diffusion dans un milieu bidimensionnel obtenu grâce à un processus de marche aléatoire.

Le phénomène 'île-presqu'île' du front fractal de diffusion dans un milieu bidimensionnel obtenu grâce à un processus de marche aléatoire.





Le modèle d'Ising tridimensionnel avec des spins à 2 états, température=0.2, des conditions initiales aléatoires et un nombre croissant d'itérations -de 100 à 4000-.




Non Deterministic Fractal Geometry and Natural Phenomenon Synthesis [Géométrie Fractale Non Déterministe et Synthèse de Phénomènes Naturels] :

Lorsque le hasard intervient dans la géométrie fractale, elle fournit alors de nouveaux outils permettant de décrire mathématiquement de nombreux objets de la nature caractérisés par une forte irrégularité. Il devient alors possible de répondre à des questions ("quel est la forme d'un nuage ?") pour lesquelles les mathématiques "des siècles passés" restaient muettes...



Nuages légers au coucher du Soleil.

Montagnes et dynamique de nuages légers -cette séquence étant périodique-.

Nuages légers.

Montagnes au lever du Soleil.

Synthèse fractale de montagnes avec de la végétation et des nuages d'orage.

Montagnes et brouillard.

Montagnes et brouillard.

Jour de neige.

Monument Valley sous la neige.

Monument Valley au lever du Soleil.

Monument Valley ensoleillée.

La Tour de Babel dans le brouillard -un hommage à Bruegel l'Ancien-.

L'anomalie de Botticelli sur la Lune.

Côte maritime dans la brume.

Ile dans la brume.





Structure fractale tridimensionnelle.	Structure fractale tridimensionnelle -la 'mousse' de l'espace-temps ?-.	Seize tores fractals entrelacés.	Un ruban de Möbius fractal.	Représentation tridimensionnelle d'une variété quadridimensionnelle de Calabi-Yau fractale.
Une éponge pyramidale de Menger fractale obtenue à l'aide de la méthode des 'Iterated Function Systems' -IFS- fractal.





Animation d'une forme naturelle.

Choux-fleurs, algues, coquillages,... dans le brouillard.




Signal Processing [Traitement du Signal] :

Aujourd'hui tout signal (son, image,...) se présente sous forme numérique et c'est bien ainsi que fonctionnent les appareils photographiques, les téléphones portables, la télévision ou encore le GPS (Global Positionning System). Des traitements complexes leur sont appliqués afin, par exemple, d'en réduire l'encombrement sans nuire à leur compréhension.



Transformée en ondelettes d'un champ fractal bidimensionnel (vue aérienne).





Rotation de la phase de la transformée en ondelettes d'un champ fractal bidimensionnel.

Vue artistique de l'intégration tridimensionnelle de la rotation de la phase de la transformée en ondelettes d'un champ fractal bidimensionnel.

Filtrage gaussien anisotrope de Fourier d'un champ aléatoire avec rotation de 2.pi du noyau.

Intégration tridimensionnelle du filtrage gaussien anisotrope de Fourier d'un champ aléatoire avec rotation de 2.pi du noyau.




Texture Synthesis [Synthèse de Textures] :

La perception du relief utilise la vision stéréoscopique, mais aussi la déformation des textures des objets à cause des effets de la perspective. Il est donc essentiel de les comprendre et les Mathématiques nous permettent de les analyser, mais aussi d'en produire de nouvelles.



Synthèse de textures bidimensionnelles géométriques.	Synthèse de textures bidimensionnelles symétriques géométriques.	Animation de textures bidimensionnelles symétriques géométriques.	Oiseaux et poissons.	Ptérodactyle.
Pégase.	Sans Titre 0347.	Sans Titre 0369.	Sans Titre 0348.	Sans Titre 0101.
Lion quaternionique.	Chat quaternionique.	Coquillage quaternionique.	Coquillage quaternionique.	Vue artistique d'une texture bidimensionnelle obtenue grâce à l'auto-transformation d'un processus fractal.




Celestial Mechanics, Astrophysics and Cosmology [Mécanique Céleste, Astrophysique et Cosmologie] :

La mécanique céleste est la théorie qui étudie la trajectoire des corps célestes et en particulier celle des planètes autour de leurs étoiles. L'astrophysique et la Cosmologie s'intéressent quand à elles à des structures plus vastes, voire à l'Univers entier et au-delà.



Le système de Ptolémée -sans équant- avec un petit cercle gris clair -l'épicycle- dont le centre décrit un cercle plus grand gris sombre -le déférend- dont le centre est la Terre -sphère bleue-.

Intégration du problème des N-corps (N=10) montrant le véritable système solaire pendant une année martienne -point de vue de la Terre avec zoom sur les quatre premiers planètes-.





Le voyage d'une planète virtuelle identique à la Terre (verte) de Pluton (grise) au Soleil (jaune) -point de vue héliocentrique-.

Le voyage d'une planète virtuelle identique à la Terre (verte) de Pluton (grise) au Soleil (jaune) -point de vue de la planète virtuelle-.

Le voyage d'une planète virtuelle identique à la Terre (verte) dans le système solaire -point de vue héliocentrique-.

Le voyage d'une planète virtuelle identique à la Terre (verte) dans le système solaire -point de vue de la planète virtuelle-.

Le voyage d'une planète virtuelle identique à la Terre (verte) dans le système solaire -point de vue héliocentrique-.

Le voyage d'une planète virtuelle identique à la Terre (verte) dans le système solaire -point de vue de la planète virtuelle-.





La marche aléatoire des photons produits au cœur du Soleil.





Billard de Kasner : Billard à géométrie variable (de courbures négatives à une courbure positive) avec une particule.	Visualisation tridimensionnelle de l'Univers inflationnaire.	Vue artistique du 'Big Bang'.	Vue artistique des ondes gravitationnelles.	Gravitation et courbure de l'espace-temps.
Coalescence de 40832 particules -trous noirs ?- à l'intérieur d'un billard tridimensionnel parallélépipédique -un univers statique, non relativiste et limité- avec visualisation de la dynamique de l'histogramme des masses, durant 204.8 unités de temps.	Vue artistique du Réseau Cosmique (nœuds, amas de galaxies, filaments,... incluant 1.083.984 galaxies) obtenu grâce à un processus fractal non déterministe.	Vue artistique d'un Multivers fractal.	Où est l'Univers ?.







Mathematics and Art [Mathématiques et Art] :

Les voies qui mènent à la démonstration d'un théorème sont en général aussi mystérieuses que celles qui conduisent à la création d'une nouvelle œuvre d'art. Il n'est donc pas surprenant que les Mathématiques et l'Art entretiennent d'étroites relations. Et si l'Art peut être au service des Mathématiques, par exemple, en participant aux choix de la couleur des nombres, les Mathématiques peuvent offrir aux créateurs tout à la fois de nouveaux d'outils d'expression, mais aussi de nouvelles "natures mortes"...



La forêt magique.

Les Mathématiques sont la clef du Multivers.

Sans Titre 0208.

Un détail d'un 'MandelBox' brumeux -ou 'Sous la coupole'-, -section tridimensionnelle-.

Sans Titre 0205.

Papillon quaternionique avec arithmétique étendue -un hommage à Laurent Schwartz-.	Sans Titre 0231 -un hommage à Philippe Druillet-.	Une structure végétale fractale -'l'arbre de la connaissance'-.	Sans Titre 0232.	Sans Titre 0239.
Sans Titre 0150.	Sans Titre 0180.	Entrelacs.	Sans Titre 0207.

Escalier quadruplement impossible construit à l'aide d'une structure paradoxale -un hommage à Maurits Cornelis Escher-.

Structure paradoxale périodique.

Structure paradoxale basée sur la géométrie de la surface de Boy.

Sans Titre 0155 -un hommage à Yves Tanguy-.

Sans Titre 0195.

Sans Titre 0253.

Sans Titre 0625.

L'île des morts -un hommage à Arnold Böcklin-.

Sans Titre 0344 -un hommage à Vassily Kandinsky-.	Sans Titre 0266 -un hommage à Vassily Kandinsky-.	Sans Titre 0345 -un hommage à Vassily Kandinsky-.	Sans Titre 0271 -un hommage à Vassily Kandinsky-.	Sans Titre 0346 -un hommage à Vassily Kandinsky-.
Sans Titre 0202 -un hommage à Henri Matisse-.	Les Nymphéas -un hommage à Claude Monet-.	'There is a war' -un hommage à Leonard Cohen-.	Le cri -un hommage à Edvard Munch-.	Sans Titre 0293 -un hommage à Pierre Soulages.
Un arbre-éponge bleu -un hommage à Yves Klein-.	Sans Titre 0265 -un hommage à Vassily Kandinsky-.	Un pavage de Penrose apériodique du plan -un hommage à Piet Mondrian et Roger Penrose-.	Dissonance chaude/Dissonance froide -un hommage à Paul Sérusier-.	Sans Titre 0294 -un hommage à Victor Vasarely.

Auto-Portrait fractal -'Décalcomanie', un hommage à René Magritte-.

Auto-Portrait -'Ceci n'est pas une pomme', un hommage à René Magritte-.

Auto-Portrait tridimensionnel -un hommage à Victor Vasarely-.

Auto-Portrait fractal tridimensionnel.

Agrandissement d'un ensemble de Julia brumeux dans l'ensemble des pseudo-octonions (comme un 'MandelBulb' : un 'JuliaBulb') calculé pour A=(-0.581514...,+0.635888...,0,0,0,0,0,0) et avec une rotation autour de l'axe X et avec une transformation non linéaire tridimensionnelle dans l'ensemble des pseudo-octonions -section tridimensionnelle-.

Visualisation tridimensionnelle de la dynamique de Verhulst avec une transformation non linéaire tridimensionnelle des coordonnées.

Copyright © Jean-François COLONNA, 2014-2026.
Copyright © CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641 / École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris, 2014-2026.