• UNE LISTE DE SYMBOLES :

  • A B C D E F...
  • a b c d e f...
  • α β γ δ ε ζ...
  • 0 1 2 3 4 5...
  • + - * / = ()...
  • etc...






• LA LOGIQUE DES PREDICATS (ou CALCUL DES PREDICATS DU PREMIER ORDRE) :

  • Un langage formalisé universel, simple et suffisant pour permettre l'expression de TOUS les concepts mathématiques.
  
  
  • Des constantes et des variables.
  
  
  • Les foncteurs : "non", "et", "ou", "implique" et "équivalent".
  
  
  • Deux quantificateurs : "il existe" et "pour tout".
  
  
  • Des prédicats, c'est-à-dire des propriétés dont la vérité dépend d'une ou plusieurs variables. Par exemple :

                        PAIR(x) est VRAI si 'x' est un entier pair et FAUX dans les autres cas.
    

  
  
  • Une syntaxe qui permet d'écrire des propositions (VRAIES ou FAUSSES).
  
  
  • Toute proposition est soit VRAIE, soit FAUSSE (principe du tiers exclu -inutilisé en logique intuitionniste-).
  
  
  • Aucune proposition ne peut être à la fois VRAIE et FAUSSE (principe de non contradiction).
  
  
  • etc...






• LES QUATRE TYPES DE PROPOSITIONS :

  • Un petit nombre d'axiomes (des propositions fondamentales et non démontrables, choisies en général pour leur évidence, leur utilité et parce qu'elles sont acceptées par tous) sur lesquels repose la structure "pyramidale" infinie des Mathématiques :
    
    
    
    
    • La théorie des ensembles ZFC -Zermelo, Fraenkel, axiome du choix- :
    
    
    
    
    • L'arithmétique élémentaire de Peano :
    
    
    
    
    • La géométrie euclidienne :
    
    
    
    
    • etc...
    
    
    
    Si le législateur doit écrire la loi d'une main tremblante (Montesquieu, XVIIIe siècle), il en est de même pour le mathématicien avec les axiomes...
  
  
  
  
  
  • Des théorèmes : c'est-à-dire des propositions démontrées comme étant VRAIES.
  
  
  
  
  
  • Des conjectures : c'est-à-dire des propositions en attente de confirmation (par une démonstration) ou de réfutation (par une démonstration ou la mise en évidence d'un contre-exemple).
  
  
  
  
  
  • Des indécidables : c'est-à-dire des propositions dont on ne peut dire ni si elles sont VRAIES, ni si elles sont FAUSSES.

• Une liste de symboles : L'échiquier et les différentes pièces (blanches et noires).



• Une syntaxe et les règles de la logique : Les déplacements autorisés des différents types de pièces.



• Un petit nombre d'axiomes : L'unique configuration initiale possible des pièces sur l'échiquier.



• Des théorèmes : Les configurations possibles (c'est-à-dire accessibles depuis la configuration initiale) des pièces sur l'échiquier.



• Des conjectures : Les configurations (a priori quelconques) des pièces sur l'échiquier (sont-elles accessibles ?).

• Une vérification n'est pas une démonstration !



• Une démonstration "manipule" globalement et implicitement une infinité de cas, alors qu'une vérification ne peut porter que sur un nombre fini d'entre-eux...



• La recherche de contre-exemples, lorsque cela a un sens.



• Voir le Théorème de Pythagore.

 2    2    2
Z  = X  + Y 

figure approximative

tous les autres -une infinité-

• Le théorème de Pythagore.

   2    2    2
  Z  = X  + Y 
  

• Les équations diophantiennes. L'équation :

                       2    2    2
                      X  + Y  = Z
  

  a une infinité de solutions entières {X,Y,Z} et, par exemple, la plus fameuse d'entre-elles :

                       2    2    2
                      3  + 4  = 5
  

  ou encore :

                       2     2     2
                      5  + 12  = 13
  

                       2    2     2
                      6  + 8  = 10
  

                       2     2     2
                      8  + 15  = 17
  

                       2     2     2
                      9  + 12  = 15
  

                        2     2     2
                      12  + 16  = 20
  

                      (...)
  






• Le grand "théorème" de Fermat. L'équation :

                       n    n    n
                      X  + Y  = Z     {X,Y,Z,n} ∈ N     X.Y.Z # 0
  

  n'a pas de solutions entières non triviales {X,Y,Z} pour n=0 et n>2.
  
  Andrew Wiles, aidé par Richard Raylor, démontre en 1994 la conjecture Shimura-Taniyama-Weil dont une conséquence est le grand "théorème" de Fermat comme l'avait montré Gerhard Frey et Kenneth Ribert en 1985.





• Le chemin parcouru peut être plus enrichissant que la destination elle-même.





• Des applications a posteriori : Courbes elliptiques (objets de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil) et cryptographie,...