Gallery (411 different pictures) :

Numbers and Light (Mathematics as a virtual optical instrument)

[Galerie (411 images différentes) : Les Nombres et la Lumière (Les Mathématiques, un Instrument d'Optique Virtuel)]

Pictures of Mathematics (Numbers and Light) [Images des Mathématiques (Les Nombres et la Lumière)] :

Generalities about Visualization [Généralités sur la Visualisation] :

Les livres de géométrie usuelle sont en général remplis de figures et de dessins présentant des triangles, des carrés, des cercles,... Cela ne doit pas nous surprendre puisque la géométrie est définie comme "la science de l'espace". Ainsi un cercle n'est-il pas le lieu des points du plan situés à égale distance d'un même point appelé centre ? Il est donc facile d'en faire une représentation a priori.



A circle [Un cercle].

A regular 3-gon -an equilateral triangle- [Un 3-gone régulier -un triangle équilatéral-].

A regular 4-gon -a square- [Un 4-gone régulier -un carré-].

A demonstration of the Pythagoras' theorem [Une démonstration du théorème de Pythagore].

Mais ceci est-il bien un "vrai" triangle rectangle ?

et cela un "vrai" triangle équilatéral ?


Dessiner un nombre positif demande un effort d'abstraction supplémentaire : mais l'associer à une longueur parait assez naturel ; cela permettra, par exemple, de comparer facilement deux d'entre-eux. Pour le produit de deux nombres A et B, on pourra utiliser l'aire AxB d'un rectangle de côtés A et B ; mais que faire si A ou B sont négatifs ? Or malheureusement, les "objets", les concepts,... manipulés par les mathématiciens (et par les physiciens) ne sont pas tous aussi faciles à visualiser : les nombres premiers (c'est-à-dire les entiers qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes) ou encore une matrice (un tableau de nombres), pour prendre deux exemples qui, naïvement, pourraient passer pour triviaux... Présentons quelques exemples de ces problèmes et les possibles solutions apportées.

Visualization of Numbers [Visualisation des nombres] :

Nous avons dit que visualiser un nombre positif pouvait se faire en le représentant par une longueur. Mais comment faire avec plusieurs nombres, voire beaucoup de nombres : des milliers, des millions, des milliards,... et signés de plus. Une idée finalement assez naturelle est d'utiliser des points colorés et finalement de faire en quelque sorte de ces ensembles de nombres des "cartes de géographie". Mais pour ce faire, il convient de répondre à une question : quelle est la couleur des nombres et par exemple de 47 ? La question est évidemment stupide, mais il faut malheureusement y répondre et ce de manière arbitraire. Cela paut avoir de graves conséquences comme on le voit dans l'une des figures suivantes -à gauche- où par un choix astucieux des couleurs associées à chaque nombre, il sera possible de cacher ce qui est (la discontinuité verticale) ou de montrer ce qui n'est pas (une périodicité).



The same bidimensional scalar field displayed with 4 different color palettes [Le même champ scalaire bidimensionnel visualisé à l'aide de 4 palettes de couleurs différentes].

Mais peut-on représenter les grands nombres ?




Visualization of Tridimensional Space by means of Stereograms [Visualisation de l'espace tridimensionnel au moyen de stéréogrammes] :

Notre espace semble posséder trois dimensions et nos supports usuels de visualisation (écrans ou feuilles de papier en général) deux seulement. Comment représenter alors des objets à trois dimensions, voire plus ? La solution la plus fréquente consiste à projeter les objets tridimensionnels sur un plan (c'est le principe de la photographie). Nous sommes habitués à ce procédé et cela fonctionne fort bien car, en effet, en général, il est appliqué à des objets que nous connaissons et que nous reconnaissons donc sans difficultés (un paysage, une fleur, un personnage, un visage,...) : nous reconstituons mentalement leurs trois dimensions. Mais que faire dans le cas d'objets inconnus et complexes ? Une solution à ce problème consiste à présenter aux deux yeux de l'observateur deux vues légèrement différentes. Les quelques images suivantes présentent un ensemble de 4x3 couples stéréoscopiques de divers objets mathématiques ou physiques, ainsi que quelques images dites autostéréoscopiques (ou autostéréogrammes) qui demandent plus d'entraînement pour en voir le relief.



Rotation about the Y (vertical) axis of the 3-foil torus knot on its torus, that can also be viewed as a set of 4x3 stereograms [Rotation autour de l'axe Y (vertical) du nœud '3-trèfle' torique sur son tore, qui peut être vue comme un ensemble de 4x3 stéréogrammes].

Rotation about the Y (vertical) axis of the Klein bottle that can also be viewed as a set of 4x3 stereograms [Rotation autour de l'axe Y (vertical) de la bouteille de Klein qui peut être vue comme un ensemble de 4x3 stéréogrammes].

Rotation about the Y (vertical) axis of the Lorenz attractor that can also be viewed as a set of 4x3 stereograms [Rotation autour de l'axe Y (vertical) de l'attracteur de Lorenz qui peut être vue comme un ensemble de 4x3 stéréogrammes].

A set of 4x3 stereograms of a pseudo-quaternionic Mandelbrot set (a 'Mandelbulb') -tridimensional cross-section- [Un ensemble de 4x3 stéréogrammes d'un ensemble de Mandelbrot dans l'ensemble des pseudo-quaternions (un 'Mandelbulb') -section tridimensionnelle-].

A set of 4x3 stereograms of a close-up on a pseudo-quaternionic Mandelbrot set (a 'Mandelbulb') -tridimensional cross-section- [Un ensemble de 4x3 stéréogrammes d'un agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot dans l'ensemble des pseudo-quaternions (un 'Mandelbulb') -section tridimensionnelle-].

A set of 4x3 stereograms of a few Babel Towers [Un ensemble de 4x3 stéréogrammes de quelques Tours de Babel].

Rotation about the Y (vertical) axis of a tridimensional representation of quadridimensional Calabi-Yau manifolds that can also be viewed as a set of 4x3 stereograms -Calabi-Yau manifolds attached to every point of our familiar tridimensional space ?- [Rotation autour de l'axe Y (vertical) d'une représentation tridimensionnelle de variétés quadridimensionnelles de Calabi-Yau qui peut être vue comme un ensemble de 4x3 stéréogrammes -de telles variétés en chaque point de notre espace tridimensionnel familier ?-].

A set of 4x3 stereograms of the Solar System with a green virtual planet -virtual planet point of view- [Un ensemble de 4x3 stéréogrammes du système solaire avec une planète virtuelle verte -point de vue de la planète virtuelle-].

Autostereogram of a quaternionic Julia set -tridimensional cross-section- [Autostéréogramme d'un ensemble de Julia dans le corps des quaternions -section tridimensionnelle-].

True colors autostereogram of a quaternionic Julia set -tridimensional cross-section- [Autostéréogramme en vraies couleurs d'un ensemble de Julia dans le corps des quaternions -section tridimensionnelle-].

The first true colors autostereogram movie about quaternionic Julia sets -tridimensional cross-sections- [Le premier film-autostéreogramme en vraies couleurs relatif aux ensembles de Julia dans le corps des quaternions -coupes tridimensionnelles-].




Visualization of Space by means of Movement [Visualisation de l'espace au moyen du mouvement] :

Lorsque les objets résident dans des espaces à plus de trois dimensions, la solution précédente ne suffit évidemment plus. Il est en fait impossible de voir ces objets dans leur intégralité, mais seulement certains de leurs sous-ensembles et par exemple des sections tridimensionnelles que l'on pourra ensuite changer à volonté par divers mouvements (des rotations ou encore des translations effectuées dans les espaces dans lesquels résident ces objets).



2.pi rotation about Y and Z axes of a quaternionic Julia set -tridimensional cross-sections- [Rotation de 2.pi autour des axes Y et Z d'un ensemble de Julia dans le corps des quaternions -section tridimensionnelle-].

Translation along the fourth axis of a quaternionic Julia set -tridimensional cross-sections- [Translation le long du quatrième axe d'un ensemble de Julia dans le corps des quaternions -section tridimensionnelle-].




Visualization of Time [Visualisation du temps] :

En physique, il est en général une dimension supplémentaire : le temps. Comment donc le représenter ? De nombreuses solutions existent alors : si l'objet est bidimensionnel le temps pourra être visualisé grâce à la troisième dimension. Pour trois dimensions, le procécédé dit de filé en photographie pourra être utilisé, mais la façon la plus simple de procéder consistera évidemment à présenter un film...



Tridimensional display of the dynamics of the bidimensional John Conway's life game [Visualisation tridimensionnelle de la dynamique du jeu de la vie bidimensionnel de John Conway].

Tridimensional display of the particle trajectories of bidimensional fractal aggregates obtained by means of a 100% pasting process during collisions of particles submitted to an attractive central field of gravity [Visualisation tridimensionnelle des trajectoires des particules d'agrégats fractals bidimensionnels obtenus par collage de 100% de celles-ci lors de leurs collisions, dans un champ de gravitation central attractif].

A shell (Jeener surface 1) in motion [Un coquillage (surface de Jeener 1) en mouvement].

Tridimensional display of the dynamics of a linear superposition of 6 eigenstates of the Hydrogen atom (tridimensional computation) [Visualisation tridimensionnelle de la dynamique de la superposition linéaire de 6 états propres de l'atome d'Hydrogène (calcul tridimensionnel)].




Beyond Everyday Space [Au-delà de l'espace familier] :

Mais les Mathématiques et les usages qui en sont fait en Physique, en particulier, amènent à représenter des espaces souvent très éloignés de l'espace tridimensionnel euclidien apparent qui nous est familier. Cela ne va donc pas sans poser de délicats problèmes de représentation dont voici quelques exemples empruntés pour la plupart aux applications des Mathématiques à la Physique.



Comment représenter des objets N-dimensionnels ?

Quelle est la forme, quelle est la couleur d'une particule élémentaire ?

Peut-on toujours respecter les échelles ?

Peut-on visualiser l'Univers ?

==> Comment trouver le bon point de vue ?

==> Comment éviter les mauvais points de vue ?




Optical Illusions and more [Illusions d'optique et autres phénomènes] :

Mais ces images sont évidemment calculées pour être regardées dans l'espoir de mieux comprendre les modèles sous-jacents mais aussi (et surtout...) dans l'espoir d'y découvrir l'inattendu. Or notre système visuel est sujet à des illusions d'optiques et les ignorer peut amener à des observations erronées.



Two identical grey rectangles in front of a grey scale [Deux rectangles gris identiques devant une échelle de gris].

Black dots (inside random white squares) on a square lattice [Points noirs (à l'intérieur de carrés blancs aléatoires) sur un réseau carré].

Three ghost squares [Trois carrés fantômes].

De la connexité de l'ensemble de Mandelbrot (démontrée par Adrien Douady et John Hubbard)...




Pictures of Pure Mathematics [Images des Mathématiques pures] :

Les Mathématiques dites pures sont celles qui traitent en général de problèmes très abstraits et dont l'intérêt n'est pas toujours évident aux non initiés, ni a priori, ni a posteriori. Pour elles, des images sont-elles utiles, voire nécessaires ? Dans les ouvrages de Bourbaki, elles sont absentes ; mais Albert Einstein (physicien) n'a-t-il pas écrit à Jacques Hadamard (mathématicien) : "les mots et le langage, écrits ou parlés, ne semblent pas jouer le moindre rôle dans le mécanisme de ma pensée. Les entités psychiques qui servent d'éléments à la pensée sont certains signes ou des images plus ou moins claires qui peuvent à volonté être reproduits et combinés" ?


Golden Ratio [Le Nombre d'Or] :

Connu et utilisé depuis plus de deux mille ans, le nombre d'or (phi=(1+racine(5))/2) se rencontre aussi bien en architecture que dans la nature. Grace à lui, il est possible de définir deux triangles équilatéraux (un "plat" -de côtés {1,phi,1}- et un "pointu" -de côtés {1,1/phi,1}-) qui permettent ensuite de paver le plan de façons non périodiques (contrairement, par exemple, au carré et à l'hexagone).



Recursive subdivision of the Golden Rectangle by means of the Golden Ratio -phi- [Subdivision récursive du Rectangle d'Or à l'aide du Nombre d'Or -phi-].

One of the two subdivisions of the 'flat' Golden Triangle [L'une des deux subdivisions du Triangle d'Or 'plat'].

One of the two subdivisions of the 'flat' Golden Triangle [L'une des deux subdivisions du Triangle d'Or 'plat'].

One of the two subdivisions of the 'sharp' Golden Triangle [L'une des deux subdivisions du Triangle d'Or 'pointu'].

One of the two subdivisions of the 'sharp' Golden Triangle [L'une des deux subdivisions du Triangle d'Or 'pointu'].

A pseudo-periodical Penrose tiling of the plane [Un pavage de Penrose pseudo-périodique du plan].

A pseudo-periodical Penrose tiling of the plane [Un pavage de Penrose pseudo-périodique du plan].

A pseudo-periodical Penrose tiling of the plane [Un pavage de Penrose pseudo-périodique du plan].

A pseudo-periodical Penrose tiling of the plane [Un pavage de Penrose pseudo-périodique du plan].

The Penrose city [La ville de Penrose].

A pseudo-periodical Penrose tiling of the Golden Decagon [Un pavage de Penrose pseudo-périodique du Décagone d'Or].

A pseudo-periodical Penrose tiling of the Golden Decagon with five hidden cubes [Un pavage de Penrose pseudo-périodique du Décagone d'Or avec cinq cubes cachés].

Artistic view of a pseudo-periodical Penrose tiling of the Golden Decagon [Vue artistique d'un pavage de Penrose pseudo-périodique du Décagone d'Or].




Prime Numbers [Les Nombres Premiers] :

Les nombres premiers sont les nombres entiers strictement supérieurs à 1 qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes. Leur liste commence par 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... et elle se poursuit sans fin. Ils sont aux Mathématiques ce que les atomes sont à la chimie : tout nombre entier peut être obtenu de façon unique (à l'ordre près) par multiplication de nombres premiers (par exemple : 21=3x7). Malgré le fait qu'ils soient connus depuis plus de deux mille ans, ils sont toujours entourés de nombreux mystères : comment sont-ils répartis (Hypothèse de Riemann), les nombres premiers dits jumeaux (c'est-à-dire les couples de deux nombres premiers dont la différence est égale à 2 et dont la liste débute par {3,5},{5,7},{11,13},{17,19},...) sont-ils en nombre infini, tout nombre pair supérieur ou égal à 4 est-il, au moins d'une façon, la somme de deux nombres premiers (conjecture de Goldbach),... ?



The Liouville function displayed as a bidimensional random walk for the integer numbers from 2 to 100001 [La fonction de Liouville visualisée comme une marche aléatoire bidimensionnelle pour les nombres entiers de 2 à 100001].

The Liouville function displayed as a tridimensional random walk for the integer numbers from 2 to 150001 [La fonction de Liouville visualisée comme une marche aléatoire tridimensionnelle pour les nombres entiers de 2 à 150001].

The generalized Ulam spiral displaying 1024 numbers [La spirale d'Ulam généralisée montrant 1024 nombres entiers].

An Archimedes spiral displaying 100000 numbers [Une spirale d'Archimède montrant 100000 nombres entiers].

The Goldbach conjecture -the Goldbach comet or the Goldbach rainbow- for the even numbers from 6 to 411678 [La conjecture de Goldbach -la comète de Goldbach ou l'arc-en ciel de Goldbach- pour les entiers pairs de 6 à 411678].

Tridimensional display of the Riemann Zeta function inside [+0.1,+0.9]x[0,+50] [Visualisation tridimensionnelle de la fonction Zêta de Riemann dans la bande [+0.1,+0.9]x[0,+50]].

Tridimensional display of the Riemann Zeta function inside [-50.0,+50.0]x[-50.0,+50.0] (bird's-eye view) [Visualisation tridimensionnelle de la fonction Zêta de Riemann dans [-50.0,+50.0]x[-50.0,+50.0] (vue aérienne)].




Some more famous Conjectures [Quelques autres Conjectures fameuses] :

Une conjecture est un théorème que l'on croit être vrai, mais que l'on n'a pas encore réussi à démontrer et qui en général résiste. C'est ainsi que la conjecture de Fermat, vaincue en 1994 par Andrew Wiles, a demandé plus de trois siècles d'efforts ininterrompus. Paradoxalement, souvent le problème posé est d'une grande simplicité à énoncer : c'est, par exemple, le cas des conjectures de Syracuse et de la persistance multiplicative.



The Continuum Hypothesis (CH) -an allegory- [L'Hypothèse du Continu (HC) -une allégorie-].

Tridimensional visualization of the ABC conjecture [Visualisation tridimensionnelle de la conjecture ABC].

The Syracuse conjecture for U(0)={1,2,3,4,...,262144} [La conjecture de Syracuse pour U(0)={1,2,3,4,...,262144}].

The Syracuse conjecture for U(0)={5,6,7,8,...,20} -polar coordinates display- [La conjecture de Syracuse pour U(0)={5,6,7,8,...,20} -visualisation en coordonnées polaires-].

The multiplicative persistence of the 65536 first integer numbers for the bases 2 -lower left- to 17 -upper right- [La persistance multiplicative des 65536 premiers nombres entiers pour les bases 2 -en bas et à gauche- à 17 -en haut et à droite-].




Real Numbers [Nombres Réels] :

Définir correctement les nombres réels est chose délicate, mais on pourra se contenter de dire ici qu'il s'agit de tous les nombres usuels : les entiers, les fractions et tous les autres... Ils possèdent une partie entière et en général une partie décimale contenant pour la plupart d'entre-eux une suite infinie non périodique de chiffres. Le plus fameux des nombres réels est certainement le nombre pi (=3,14159265358979323846...), omniprésent en Mathématiques et en Physique. Peut-on visualiser les nombres autrement que par des longueurs ? Peut-on montrer la distribution de leurs décimales ? Mais attention aux pièges tendus par le grand nombre de représentations possibles, comme le montre l'exemple des décimales de pi disposées sur une hélice...



The 1.000 first digits -base 10- of 'pi' displayed on a circle -very bad point of view- [Les 1.000 premières décimales -base 10- de 'pi' visualisées sur un cercle -très mauvais point de vue-].

The 1.000 first digits -base 10- of 'pi' displayed on an helix -good point of view- [Les 1.000 premières décimales -base 10- de 'pi' visualisées sur une hélice -bon point de vue-].

The 126.922 first digits -base 6- of 'e' displayed as an 'absolute' tridimensional random walk [Les 126.922 premières 'décimales' -base 6- de 'e' visualisées comme une marche aléatoire tridimensionnelle 'absolue'].

The 126.646 first digits -base 6- of 'phi' -the golden ratio- displayed as an 'absolute' tridimensional random walk [Les 126.646 premières 'décimales' -base 6- de 'phi' -le nombre d'or- visualisées comme une marche aléatoire tridimensionnelle 'absolue'].

The 126.646 first digits -base 6- of 'pi' displayed as an 'absolute' tridimensional random walk [Les 126.646 premières 'décimales' -base 6- de 'pi' visualisées comme une marche aléatoire tridimensionnelle 'absolue'].

The 126.646 first digits -base 6- of the square root of 2 - displayed as an 'absolute' tridimensional random walk [Les 126.646 premières 'décimales' -base 6- de la racine carrée de 2 visualisées comme une marche aléatoire tridimensionnelle 'absolue'].

The 288.982 first digits of the 'prime' Champernowne number (=0.2 3 5 7 11 13 17 19 23 29...) displayed as an 'absolute' bidimensional random walk using the square root of the distance to the origin [Les 288.982 premières décimales du nombre de Champernowne 'premier' (=0.2 3 5 7 11 13 17 19 23 29...) visualisées comme une marche aléatoire bidimensionnelle 'absolue' en utilisant la racine carrée de la distance à l'origine].

Generation of the 63 first Conway's surreal numbers [Génération des 63 premiers nombres surréels de Conway].

Generation of the 63x63 first Conway's surreal complex numbers [Génération des 63x63 premiers nombres complexes surréels de Conway].




Functions of a Complex Variable [Fonctions d'une Variable Complexe] :

Les nombres réels permettent de repérer un point quelconque sur une droite. Afin que toute équation polynomiale de degré N possèdent N racines, ils furent généralisés : ce sont les nombres complexes qui permettent de plus de repérer un point quelconque sur un plan. Les nombres complexes sont composés de deux nombres réels appelés respectivement partie réelle et partie imaginaire, ou bien, ce qui est équivalent, d'une longueur (le module) et d'un angle (l'argument). De même que l'on définit des fonctions de variables réelles, on peut définir des fonctions de variables complexes.



The relief -modulus- of the function exp(1/z) with argument mapping [Le relief -module- de la fonction exp(1/z) avec 'mapping' des arguments].

The relief -modulus- of the function sin(z) with argument mapping [Le relief -module- de la fonction sin(z) avec 'mapping' des arguments].




Conformal Transformations [Transformations Conformes] :

Dans un espace, il est possible de définir des transformations des coordonnées. Parmi celles-ci, les transformations conformes (c'est-à-dire celles qui conservent les angles) jouent un rôle privilégié.



1/Z conformal transformation of concentric circles in the complex plane [Transformation conforme 1/Z de cercles concentriques dans le plan complexe].

Z2 conformal transformation of concentric circles in the complex plane [Transformation conforme Z2 de cercles concentriques dans le plan complexe].

A truncated tridimensional torus with a 1/O conformal transformation in the octonionic space -tridimensional cross-section- [Un tore tridimensionnel tronqué avec une transformation conforme 1/O dans l'ensemble des octonions -section tridimensionnelle-].

A truncated tridimensional torus with a 1/O conformal transformation in the octonionic space -tridimensional cross-section- [Un tore tridimensionnel tronqué avec une transformation conforme 1/O dans l'ensemble des octonions -section tridimensionnelle-].

A truncated tridimensional sphere with a (4xO+1)/(1xO-1) conformal transformation in the octonionic space -tridimensional cross-section- [Une sphère tridimensionnelle tronquée avec une transformation conforme (4xO+1)/(1xO-1) dans l'ensemble des octonions -section tridimensionnelle-].

A truncated tridimensional sphere with a 1/O conformal transformation in the octonionic space -tridimensional cross-section- [Une sphère tridimensionnelle tronquée avec une transformation conforme 1/O dans l'ensemble des octonions -section tridimensionnelle-].

A truncated tridimensional sphere with a 1/O conformal transformation in the octonionic space -tridimensional cross-section- [Une sphère tridimensionnelle tronquée avec une transformation conforme 1/O dans l'ensemble des octonions -section tridimensionnelle-].

Close-up on a pseudo-octonionic Mandelbrot set (a 'Mandelbulb') with a 1/Z conformal transformation in the complex plane -tridimensional cross-section- [Agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot dans l'ensemble des pseudo-octonions (un 'Mandelbulb') avec une transformation conforme 1/Z dans le plan complexe -section tridimensionnelle-].	Close-up on a pseudo-octonionic Mandelbrot set (a 'Mandelbulb') with a 1/Z conformal transformation in the complex plane -tridimensional cross-section- [Agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot dans l'ensemble des pseudo-octonions (un 'Mandelbulb') avec une transformation conforme 1/Z dans le plan complexe -section tridimensionnelle-].	Close-up on a pseudo-octonionic Mandelbrot set (a 'Mandelbulb') with a 1/O conformal transformation in the pseudo-octonionic space -tridimensional cross-section- [Agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot dans l'ensemble des pseudo-octonions (un 'Mandelbulb') avec une transformation conforme 1/O dans l'ensemble des pseudo-octonions -section tridimensionnelle-].	Close-up on a pseudo-octonionic Mandelbrot set (a 'Mandelbulb') with a 1/O conformal transformation in the pseudo-octonionic space -tridimensional cross-section- [Agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot dans l'ensemble des pseudo-octonions (un 'Mandelbulb') avec une transformation conforme 1/O dans l'ensemble des pseudo-octonions -section tridimensionnelle-].	Close-up on a pseudo-octonionic Mandelbrot set (a 'Mandelbulb') with a (4xO+1)/(1xO-1) conformal transformation in the pseudo-octonionic space -tridimensional cross-section- [Agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot dans l'ensemble des pseudo-octonions (un 'Mandelbulb') avec une transformation conforme (4xO+1)/(1xO-1) dans l'ensemble des pseudo-octonions -section tridimensionnelle-].
Close-up on a pseudo-octonionic Mandelbrot set (a 'Mandelbulb') with a (4xO+1)/(1xO-1) conformal transformation in the pseudo-octonionic space -tridimensional cross-section- [Agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot dans l'ensemble des pseudo-octonions (un 'Mandelbulb') avec une transformation conforme (4xO+1)/(1xO-1) dans l'ensemble des pseudo-octonions -section tridimensionnelle-].	Close-up on a pseudo-octonionic Mandelbrot set (a 'Mandelbulb') with a O2 conformal transformation in the pseudo-octonionic space -tridimensional cross-section- [Agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot dans l'ensemble des pseudo-octonions (un 'Mandelbulb') avec une transformation conforme O2 dans l'ensemble des pseudo-octonions -section tridimensionnelle-].	Close-up on a pseudo-octonionic Mandelbrot set (a 'Mandelbulb') with a O2 conformal transformation in the pseudo-octonionic space -tridimensional cross-section- [Agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot dans l'ensemble des pseudo-octonions (un 'Mandelbulb') avec une transformation conforme O2 dans l'ensemble des pseudo-octonions -section tridimensionnelle-].	Close-up on a foggy pseudo-quaternionic Mandelbrot set with a 1/O conformal transformation in the octonionic space -tridimensional cross-section- [Agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot brumeux dans l'ensemble des pseudo-quaternions avec une transformation conforme 1/O dans l'ensemble des octonions -section tridimensionnelle-].	Close-up on a foggy pseudo-quaternionic Mandelbrot set with a 1/O conformal transformation in the octonionic space -tridimensional cross-section- [Agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot brumeux dans l'ensemble des pseudo-quaternions avec une transformation conforme 1/O dans l'ensemble des octonions -section tridimensionnelle-].
Close-up on a foggy pseudo-quaternionic Mandelbrot set with a (1/O)2 conformal transformation in the octonionic space -tridimensional cross-section- [Agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot brumeux dans l'ensemble des pseudo-quaternions avec une transformation conforme (1/O)2 dans l'ensemble des octonions -section tridimensionnelle-].	Close-up on a foggy pseudo-quaternionic Mandelbrot set with a 1/O conformal transformation in the octonionic space -tridimensional cross-section- [Agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot brumeux dans l'ensemble des pseudo-quaternions avec une transformation conforme 1/O dans l'ensemble des octonions -section tridimensionnelle-].




Space Filling Curves, Snowflakes and more [Courbes remplissant l'Espace, Flocons de neige et plus] :

Au cours du XIXe siècle furent découvertes de "monstrueuses" courbes sans tangente. Parmi celles-ci, le flocon de neige de von Kock ou encore les courbes de Hilbert qui, dans le plan, peuvent passer par tous les points intérieurs à un carré (et de même pour le cube dans l'espace). Bien évidemment elles ne peuvent être dessinées exactement : seules des approximations, de plus en plus précises, peuvent être visualisées ce qui permet simultanément de présenter les règles de construction.



The first four iterations of the construction of the von Koch snowflake [Les quatre premières itérations de la construction du flocon de neige de von Koch].

Bidimensional Hilbert Curve -iteration 1- [Courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 1-].

Bidimensional Hilbert Curve -iteration 2- [Courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 2-].

Bidimensional Hilbert Curve -iteration 3- [Courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 3-].

Bidimensional Hilbert Curve -iteration 4- [Courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 4-].

Bidimensional Hilbert Curve -iteration 5- [Courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 5-].

Bidimensional Hilbert Curve -iterations 1 to 5- [Courbe de Hilbert bidimensionnelle -itérations 1 à 5-].

A bidimensional Hilbert-like curve defined with {X1(...),Y1(...)} -iteration 1- [Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} -itération 1-].

A bidimensional Hilbert-like curve defined with {X2(...),Y2(...)} -iteration 2- [Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X2(...),Y2(...)} -itération 2-].

A bidimensional Hilbert-like curve defined with {X3(...),Y3(...)} -iteration 3- [Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X3(...),Y3(...)} -itération 3-].

A bidimensional Hilbert-like curve defined with {X4(...),Y4(...)} -iteration 4- [Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X4(...),Y4(...)} -itération 4-].

A bidimensional Hilbert-like curve defined with {X5(...),Y5(...)} -iteration 5- [Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X5(...),Y5(...)} -itération 5-].

Tridimensional Hilbert Curve -iteration 1- [Courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 1-].

Tridimensional Hilbert Curve -iteration 2- [Courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 2-].

Tridimensional Hilbert Curve -iteration 3- [Courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 3-].

Tridimensional Hilbert Curve -iteration 4- [Courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 4-].

Tridimensional Hilbert Curve -iterations 1 to 3- [Courbe de Hilbert tridimensionnelle -itérations 1 à 3-].

Tridimensional Hilbert Curve -iteration 4- [Courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 4-].

A tridimensional Hilbert-like curve defined with {X1(...),Y1(...),Z1(...)} and based on an 'open' 3-foil torus knot -iteration 1- [Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...),Z1(...)} et basé sur un nœud '3-trèfle' torique 'ouvert' -itération 1-].

A tridimensional Hilbert-like curve defined with {X2(...),Y2(...),Z2(...)} and based on an 'open' 3-foil torus knot -iteration 2- [Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X2(...),Y2(...),Z2(...)} et basé sur un nœud '3-trèfle' torique 'ouvert' -itération 2-].

A tridimensional Hilbert-like curve defined with {X3(...),Y3(...),Z3(...)} and based on an 'open' 3-foil torus knot -iteration 3- [Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X3(...),Y3(...),Z3(...)} et basé sur un nœud '3-trèfle' torique 'ouvert' -itération 3-].

A tridimensional Hilbert-like curve defined with {X4(...),Y4(...),Z4(...)} and based on an 'open' 3-foil torus knot -iteration 4- [Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X4(...),Y4(...),Z4(...)} et basé sur un nœud '3-trèfle' torique 'ouvert' -itération 4-].

A sphere described by means of a bidimensional Hilbert Curve -iteration 7- [Une sphère décrite à l'aide d'une courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 7-].

A sphere described by means of a bidimensional Peano Curve -8 digits- [Une sphère décrite à l'aide d'une courbe de Peano bidimensionnelle -8 décimales-].

A sphere described by means of a bidimensional Hilbert-like Curve -iteration 6- [Une sphère décrite à l'aide d'une courbe du type Hilbert bidimensionnelle -itération 6-].

A torus described by means of a bidimensional Hilbert Curve -iteration 7- [Un tore décrite à l'aide d'une courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 7-].

A torus described by means of a bidimensional Peano Curve -8 digits- [Un tore décrite à l'aide d'une courbe de Peano bidimensionnelle -8 décimales-].

A torus described by means of a bidimensional Hilbert-like Curve -iteration 6- [Un tore décrite à l'aide d'une courbe du type Hilbert bidimensionnelle -itération 6-].

The Möbius strip described by means of a bidimensional Hilbert Curve -iteration 7- [Le ruban de Möbius décrit à l'aide d'une courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 7-].

The Möbius strip described by means of a bidimensional Peano Curve -8 digits- [Le ruban de Möbius décrit à l'aide d'une courbe de Peano bidimensionnelle -8 décimales-].

The Möbius strip described by means of a bidimensional Hilbert-like Curve -iteration 6- [Le ruban de Möbius décrit à l'aide d'une courbe du type Hilbert bidimensionnelle -itération 6-].

The Klein bottle described by means of a bidimensional Hilbert Curve -iteration 7- [La bouteille de Klein décrite à l'aide d'une courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 7-].

The Klein bottle described by means of a bidimensional Peano Curve -8 digits- [La bouteille de Klein décrite à l'aide d'une courbe de Peano bidimensionnelle -8 décimales-].

The Klein bottle described by means of a bidimensional Hilbert-like Curve -iteration 6- [La bouteille de Klein décrite à l'aide d'une courbe du type Hilbert bidimensionnelle -itération 6-].

The Bonan-Jeener double bottle described by means of a bidimensional Hilbert Curve -iteration 7- [La double bouteille de Bonan-Jeener décrite à l'aide d'une courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 7-].

The Bonan-Jeener double bottle described by means of a bidimensional Peano Curve -8 digits- [La double bouteille de Bonan-Jeener décrite à l'aide d'une courbe de Peano bidimensionnelle -8 décimales-].

The Bonan-Jeener double bottle described by means of a bidimensional Hilbert-like Curve -iteration 6- [La double bouteille de Bonan-Jeener décrite à l'aide d'une courbe du type Hilbert bidimensionnelle -itération 6-].

Tridimensional representation of a quadridimensional Calabi-Yau manifold described by means of 5x5 bidimensional Hilbert Curves -iteration 5- [Représentation tridimensionnelle d'une variété quadridimensionnelle de Calabi-Yau décrite à l'aide de 5x5 courbes de Hilbert bidimensionnelle -itération 5-].




Distribution of N Points on a Sphere [Répartition de N Points sur une Sphère] :

Les Mathématiques ne sont pas toujours capables de répondre aux questions posées et cela peut même parfois se démontrer. Dans ces circonstances, elles pourront donner malgré tout, de temps en temps, des réponses partielles ou bien encore approchées. C'est le cas du problème dit des dictateurs qui consiste à placer N points sur une sphère de façon à ce que la distance minimale entre deux points quelconques soit la plus grande possible. C'est un problème que l'on rencontre, par exemple, lors de la fabrication des balles de golf. La solution exacte n'est connue que dans très peu de cas et toujours pour un nombre N de points très petits. Pour les autres valeurs de N, il faut utiliser des méthodes approximatives. Parmi elles, celles qui sont dites itératives et qui consistent à placer les N points au hasard, puis à les déplacer aléatoirement en essayant de maximiser progressivement le minimum des distances des points pris deux à deux.



8 evenly distributed points on a sphere by means of simulated annealing [8 points répartis équitablement sur une sphère par recuit simulé].




Knots [Nœuds] :

Dans l'espace tridimensionnel, un nœud est une courbe fermée qui ne se recoupe pas et qui ne peut être ramené à un cercle (ou "nœud trivial") par des transformations et des déformations, en excluant bien évidemment les découpages et les collages...



1-foil torus knot -obvious knot- on its torus and its asociated Möbius strip [Nœud '1-trèfle' torique -nœud trivial- sur son tore avec son ruban de Möbius associé].

3-foil torus knot on its torus [Nœud '3-trèfle' torique sur son tore].

5-foil torus knot on its torus [Nœud '5-trèfle' torique sur son tore].

7-foil torus knot on its torus [Nœud '7-trèfle' torique sur son tore].




Cellular Automata [Automates Cellulaires] :

Dans les années quarante, en parallèle au développement des premiers ordinateurs électroniques, des chercheurs tels Stanislaw Ulam et John von Neumann imaginèrent des systèmes abstraits auto-réplicatifs extrémement simples. Ils reposent en général sur des ensembles mono- ou bidimensionnels de "cellules" ne pouvant prendre qu'un nombre fini (en général petit, par exemple deux) d'états. Au cours du temps, l'état de chaque cellule évolue en fonction de son état courant et de celui des cellules voisines. Ces expériences à une dimension (horizontale, le temps étant représenté par l'axe vertical) montrent que du simple peut émerger le complexe.



An elementary monodimensional binary cellular automaton -110- with 49 white starting points -on the bottom line- [Un automate cellulaire binaire monodimensionnel élémentaire -110- avec 49 points de départ blancs -sur la ligne du bas-].	An elementary monodimensional binary cellular automaton -184- with random white starting points -on the bottom line- [Un automate cellulaire binaire monodimensionnel élémentaire -184- avec des points aléatoires de départ blancs -sur la ligne du bas-].	An elementary monodimensional binary cellular automaton -110- with 1 white starting point -bottom right- [Un automate cellulaire binaire monodimensionnel élémentaire -110- avec 1 point de départ blanc -en bas et à droite-].	The alternative use of two elementary monodimensional binary cellular automata -168,165- with random white starting points -on the bottom line- [L'usage alternatif de deux automates cellulaires binaires monodimensionnels élémentaires -168,165- avec des points de départ aléatoires blancs -sur la ligne du bas-].	A monodimensional 'quasi-continuous' cellular automaton [Un automate cellulaire 'quasi-continu' monodimensionnel].
Two alternative monodimensional 'quasi-continuous' cellular automata [Deux automates cellulaires 'quasi-continus' monodimensionnels alternatifs].	A monodimensional 'quasi-continuous' cellular automaton with random perturbation of the rules [Un automate cellulaire 'quasi-continu' monodimensionnel avec une perturbation aléatoire des règles].

Tridimensional display of the dynamics of the bidimensional John Conway's life game [Visualisation tridimensionnelle de la dynamique du jeu de la vie bidimensionnel de John Conway].	The tridimensional John Conway's life game with random initial conditions -1.0% of occupied cells- [Le jeu de la vie tridimensionnel de John Conway avec des conditions initiales aléatoires -1.0% de cellules occupées-].	The tridimensional John Conway's life game with random initial conditions -1.2% of occupied cells- [Le jeu de la vie tridimensionnel de John Conway avec des conditions initiales aléatoires -1.2% de cellules occupées-].	The tridimensional John Conway's life game with random initial conditions -1.4% of occupied cells- [Le jeu de la vie tridimensionnel de John Conway avec des conditions initiales aléatoires -1.4% de cellules occupées-].	The tridimensional John Conway's life game with random initial conditions -1.6% of occupied cells- [Le jeu de la vie tridimensionnel de John Conway avec des conditions initiales aléatoires -1.6% de cellules occupées-].
The tridimensional John Conway's life game with random initial conditions -1.8% of occupied cells- [Le jeu de la vie tridimensionnel de John Conway avec des conditions initiales aléatoires -1.8% de cellules occupées-].	The tridimensional John Conway's life game with random initial conditions -2.0% of occupied cells- [Le jeu de la vie tridimensionnel de John Conway avec des conditions initiales aléatoires -2.0% de cellules occupées-].




Deterministic Fractal Geometry [Géométrie Fractale Déterministe] :

Les "monstrueuses" courbes du XIXe siècle étaient continues et non différentiables. Pour dire les choses simplement cela signifie qu'elles pourraient être obtenues en théorie sans lever le crayon de la feuille de papier et que malgré tout elles n'auraient de tangente en aucun point. Cela était inacceptable pour certains et du coup elles furent oubliées jusqu'aux années 1960, lorsque Benoît Mandelbrot les tira de leur sommeil et trouva grâce à elles une définition géométrique de nombreux objets naturels. Cette nouvelle géométrie (dite fractale) contient à la fois des objets dont la définition ne laisse aucune place au hasard et d'autres où il intervient. Dans la première catégorie se trouve tout un bestiaire de formes infiniment riches et complexes que des mathématiciens tels Pierre Fatou et Gaston Julia avaient pressenties au début du XXe siècle, sans pouvoir les révéler faute de moyens de calculs et de visualisation.



The Sierpinski carpet -iteration 1 to 5- [Le tapis de Sierpinski -itération à 5-].

The Menger sponge -iteration 5- [L'éponge de Menger -itération 5-].	An amazing cross-section inside the Menger sponge -iteration 5- [Une coupe très étonnante dans l'éponge de Menger -itération 5-].	The Menger sponge -iteration 5- with a tridimensional non linear transformation [L'éponge de Menger -itération 5- avec une transformation non linéaire tridimensionnelle].	An amazing cross-section inside the Menger sponge -iteration 5- with a (4xO+1)/(1xO-1) conformal transformation in the octonionic space -tridimensional cross-section- [Une coupe très étonnante dans l'éponge de Menger -itération 5- avec une transformation conforme (4xO+1)/(1xO-1) dans l'ensemble des octonions -section tridimensionnelle-].	An amazing generalized cross-section inside the Menger sponge -iteration 5- [Une coupe généralisée très étonnante dans l'éponge de Menger -itération 5-].
An amazing generalized cross-section inside the Menger sponge -iteration 5- with a (4xO+1)/(1xO-1) conformal transformation in the octonionic space -tridimensional cross-section- [Une coupe généralisée très étonnante dans l'éponge de Menger -itération 5- avec une transformation conforme (4xO+1)/(1xO-1) dans l'ensemble des octonions -section tridimensionnelle-].	A 'pyramidal' cross-section inside the Menger sponge -iteration 5-, 'O temps tes pyramides' -a Tribute to Jorge Luis Borges- [Une coupe 'pyramidale' dans l'éponge de Menger -itération 5-, 'O temps tes pyramides' -La bibliothèque de Babel (Fictions), un hommage à Jorge Luis Borges-].	A 'pyramidal' cross-section inside the Menger sponge -iteration 5- with a (4xO+1)/(1xO-1) conformal transformation in the octonionic space -tridimensional cross-section-, 'O temps tes pyramides' -a Tribute to Jorge Luis Borges- [Une coupe 'pyramidale' dans l'éponge de Menger -itération 5- avec une transformation conforme (4xO+1)/(1xO-1) dans l'ensemble des octonions -section tridimensionnelle-, 'O temps tes pyramides' -La bibliothèque de Babel (Fictions), un hommage à Jorge Luis Borges-].	A 'double conic' cross-section inside the Menger sponge -iteration 5-, 'O temps tes pyramides' -a Tribute to Jorge Luis Borges- [Une coupe 'doublement conique' dans l'éponge de Menger -itération 5-, 'O temps tes pyramides' -La bibliothèque de Babel (Fictions), un hommage à Jorge Luis Borges-].	A 'double conic' cross-section inside the Menger sponge -iteration 5- with a (4xO+1)/(1xO-1) conformal transformation in the octonionic space -tridimensional cross-section- [Une coupe 'doublement conique' dans l'éponge de Menger -itération 5- avec une transformation conforme (4xO+1)/(1xO-1) dans l'ensemble des octonions -section tridimensionnelle-].
A 'conic' cross-section inside the Menger sponge -iteration 5-, 'O temps tes pyramides' -a Tribute to Jorge Luis Borges- [Une coupe 'conique' dans l'éponge de Menger -itération 5-, 'O temps tes pyramides' -La bibliothèque de Babel (Fictions), un hommage à Jorge Luis Borges-].	A 'conic' cross-section inside the Menger sponge -iteration 5- with a (4xO+1)/(1xO-1) conformal transformation in the octonionic space -tridimensional cross-section- [Une coupe 'conique' dans l'éponge de Menger -itération 5- avec une transformation conforme (4xO+1)/(1xO-1) dans l'ensemble des octonions -section tridimensionnelle-].	A spherical cross-section inside the Menger sponge -iteration 5- [Une coupe sphérique dans l'éponge de Menger -itération 5-].	A spherical cross-section inside the Menger sponge -iteration 5- with a (4xO+1)/(1xO-1) conformal transformation in the octonionic space -tridimensional cross-section- [Une coupe sphérique dans l'éponge de Menger -itération 5- avec une transformation conforme (4xO+1)/(1xO-1) dans l'ensemble des octonions -section tridimensionnelle-].	A double spherical cross-section inside the Menger sponge -iteration 5- [Une coupe sphérique double dans l'éponge de Menger -itération 5-].
A thin double spherical cross-section inside the Menger sponge -iteration 5- [Une mince coupe sphérique double dans l'éponge de Menger -itération 5-].

Along the border of the Mandelbrot set [Le long de la frontière de l'ensemble de Mandelbrot].

A Tribute to Benoît Mandelbrot (1924-2010) : tridimensional zoom in on the Mandelbrot set with mapping of the arguments [Un hommage à Benoît Mandelbrot (1924-2010) : zoom sur une représentation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments].	Tridimensional visualization of the Mandelbrot set with mapping of the arguments [Visualisation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments].	Tridimensional visualization of the Mandelbrot set with mapping of the arguments [Visualisation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments].	Tridimensional visualization of the Mandelbrot set with mapping of the arguments [Visualisation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments].	Tridimensional visualization of the Mandelbrot set with mapping of the arguments [Visualisation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments].
Tridimensional visualization of the Mandelbrot set with mapping of the arguments [Visualisation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments].	Tridimensional visualization of the Mandelbrot set with mapping of the arguments [Visualisation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments].	Tridimensional visualization of the Mandelbrot set with mapping of the arguments [Visualisation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments].	Tridimensional visualization of the Mandelbrot set with mapping of the arguments [Visualisation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments].	Tridimensional visualization of the Mandelbrot set with mapping of the arguments [Visualisation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments].

A Tribute to Benoît Mandelbrot (1924-2010) : tridimensional zoom in on the Mandelbrot set with mapping of the arguments [Un hommage à Benoît Mandelbrot (1924-2010) : zoom sur une représentation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments].	Tridimensional visualization of the Mandelbrot set with mapping of the arguments [Visualisation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments].	Tridimensional visualization of the Mandelbrot set with mapping of the arguments [Visualisation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments].	Tridimensional visualization of the Mandelbrot set with mapping of the arguments [Visualisation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments].	Tridimensional visualization of the Mandelbrot set with mapping of the arguments [Visualisation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments].
Tridimensional visualization of the Mandelbrot set with mapping of the arguments [Visualisation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments].	Tridimensional visualization of the Mandelbrot set with mapping of the arguments [Visualisation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments].	Tridimensional visualization of the Mandelbrot set with mapping of the arguments [Visualisation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments].	Tridimensional visualization of the Mandelbrot set with mapping of the arguments [Visualisation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments].	Tridimensional visualization of the Mandelbrot set with mapping of the arguments [Visualisation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments].

A Tribute to Benoît Mandelbrot (1924-2010) : tridimensional zoom in on the Mandelbrot set with mapping of the arguments [Un hommage à Benoît Mandelbrot (1924-2010) : zoom sur une représentation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments].

Tridimensional visualization of the Mandelbrot set with mapping of the arguments [Visualisation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments].

Tridimensional visualization of the Mandelbrot set with mapping of the arguments [Visualisation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments].

Tridimensional visualization of the Mandelbrot set with mapping of the arguments [Visualisation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments].

The quaternionic fractal set obtained when computing the roots of Q3=1 using Newton's method with translation along the third axis of the quaternionic space -tridimensional cross-section- [L'ensemble fractal dans les quaternions obtenu lors du calcul des racines de Q3=1 grâce à la méthode de Newton avec translation le long du troisième axe de l'espace des quaternions -section tridimensionnelle-].

The quaternionic Julia set computed with A=(0,1,0,0) -tridimensional cross-section- [L'ensemble de Julia dans le corps des quaternions calculé pour A=(0,1,0,0) -ou 'la danseuse d'Yr'- -section tridimensionnelle-].	The quaternionic Julia set computed with A=(0,1,0,0) -tridimensional cross-section- [L'ensemble de Julia dans le corps des quaternions calculé pour A=(0,1,0,0) -section tridimensionnelle-].	Arrival -a Tribute to the 2016 Denis Villeneuve's movie thanks to a pseudo-quaternionic Julia set- [Premier contact -un hommage au film de Denis Villeneuve de 2016 rendu grâce à un ensemble de Julia dans l'ensemble des pseudo-quaternions-].	Artistic view of a pseudo-quaternionic Julia set ('MandelBulb' like : a 'JuliaBulb') computed with A=(-0.58...,+0.63...,0,0) -a Tribute to José Hernández- -tridimensional cross-section- [Vue artistique d'un ensemble de Julia dans l'ensemble des pseudo-quaternions (comme un 'MandelBulb' : un 'JuliaBulb') calculé pour A=(-0.58...,+0.63...,0,0) -un hommage à José Hernández- -section tridimensionnelle-].	A foggy pseudo-octonionic Julia set ('MandelBulb' like : a 'JuliaBulb') computed with A=(-0.58...,+0.63...,0,0,0,0,0,0) -tridimensional cross-section- [Un ensemble de Julia brumeux dans l'ensemble des pseudo-octonions (comme un 'MandelBulb' : un 'JuliaBulb') calculé pour A=(-0.58...,+0.63...,0,0,0,0,0,0) -section tridimensionnelle-].
A foggy pseudo-octonionic Julia set ('MandelBulb' like : a 'JuliaBulb') computed with A=(-0.58...,+0.63...,0,0,0,0,0,0) -tridimensional cross-section- [Un ensemble de Julia brumeux dans l'ensemble des pseudo-octonions (comme un 'MandelBulb' : un 'JuliaBulb') calculé pour A=(-0.58...,+0.63...,0,0,0,0,0,0) -section tridimensionnelle-].	A foggy pseudo-octonionic Julia set ('MandelBulb' like : a 'JuliaBulb') computed with A=(-0.58...,+0.63...,0,0,0,0,0,0) -tridimensional cross-section- [Un ensemble de Julia brumeux dans l'ensemble des pseudo-octonions (comme un 'MandelBulb' : un 'JuliaBulb') calculé pour A=(-0.58...,+0.63...,0,0,0,0,0,0) -section tridimensionnelle-].	A foggy pseudo-octonionic Julia set ('MandelBulb' like : a 'JuliaBulb') computed with A=(-0.58...,+0.63...,0,0,0,0,0,0) -tridimensional cross-section- [Un ensemble de Julia brumeux dans l'ensemble des pseudo-octonions (comme un 'MandelBulb' : un 'JuliaBulb') calculé pour A=(-0.58...,+0.63...,0,0,0,0,0,0) -section tridimensionnelle-].	A foggy pseudo-octonionic Julia set ('MandelBulb' like : a 'JuliaBulb') computed with A=(-0.58...,+0.63...,0,0,0,0,0,0) -tridimensional cross-section- [Un ensemble de Julia brumeux dans l'ensemble des pseudo-octonions (comme un 'MandelBulb' : un 'JuliaBulb') calculé pour A=(-0.58...,+0.63...,0,0,0,0,0,0) -section tridimensionnelle-].	A foggy pseudo-octonionic Julia set ('MandelBulb' like : a 'JuliaBulb') computed with A=(-0.58...,+0.63...,0,0,0,0,0,0) and with a rotation about the X axis -tridimensional cross-section- [Un ensemble de Julia brumeux dans l'ensemble des pseudo-octonions (comme un 'MandelBulb' : un 'JuliaBulb') calculé pour A=(-0.58...,+0.63...,0,0,0,0,0,0) et avec une rotation autour de l'axe X -section tridimensionnelle-].
A foggy pseudo-octonionic Julia set ('MandelBulb' like : a 'JuliaBulb') computed with A=(-0.58...,+0.63...,0,0,0,0,0,0) -tridimensional cross-section- [Un ensemble de Julia brumeux dans l'ensemble des pseudo-octonions (comme un 'MandelBulb' : un 'JuliaBulb') calculé pour A=(-0.58...,+0.63...,0,0,0,0,0,0) -section tridimensionnelle-].	A foggy pseudo-octonionic Julia set ('MandelBulb' like : a 'JuliaBulb') computed with A=(-0.58...,+0.63...,0,0,0,0,0,0) -tridimensional cross-section- [Un ensemble de Julia brumeux dans l'ensemble des pseudo-octonions (comme un 'MandelBulb' : un 'JuliaBulb') calculé pour A=(-0.58...,+0.63...,0,0,0,0,0,0) -section tridimensionnelle-].

A pseudo-octonionic Mandelbrot set (a 'MandelBulb') -'children's corner' or 'the consciousness emerging from Mathematics'- -tridimensional cross-section- [Un ensemble de Mandelbrot dans l'ensemble des pseudo-octonions (un 'MandelBulb') -'le coin des enfants' ou 'la conscience émergeant des Mathématiques'- -section tridimensionnelle-].

A pseudo-octonionic Mandelbrot set (a 'MandelBulb') -tridimensional cross-section- [Un ensemble de Mandelbrot dans l'ensemble des pseudo-octonions (un 'MandelBulb') -section tridimensionnelle-].

Close-up on a pseudo-octonionic Mandelbrot set (a 'Mandelbulb') -tridimensional cross-section- [Agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot dans l'ensemble des pseudo-octonions (un 'Mandelbulb') -section tridimensionnelle-].

Close-up on a pseudo-octonionic Mandelbrot set (a 'Mandelbulb') -tridimensional cross-section- [Agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot dans l'ensemble des pseudo-octonions (un 'Mandelbulb') -section tridimensionnelle-].

Close-up on a pseudo-octonionic Mandelbrot set (a 'Mandelbulb') -tridimensional cross-section- [Agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot dans l'ensemble des pseudo-octonions (un 'Mandelbulb') -section tridimensionnelle-].

A foggy pseudo-quaternionic Mandelbrot set (a 'MandelBulb') -tridimensional cross-section- [Un ensemble de Mandelbrot brumeux dans l'ensemble des pseudo-quaternions (un 'MandelBulb') -section tridimensionnelle-].

Close-up on a foggy pseudo-quaternionic Mandelbrot set (a 'MandelBulb') -tridimensional cross-section- [Agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot brumeux dans l'ensemble des pseudo-quaternions (un 'MandelBulb') -section tridimensionnelle-].

Close-up on a foggy pseudo-quaternionic Mandelbrot set (a 'MandelBulb') -tridimensional cross-section- [Agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot brumeux dans l'ensemble des pseudo-quaternions (un 'MandelBulb') -section tridimensionnelle-].

Close-up on a foggy pseudo-quaternionic Mandelbrot set (a 'MandelBulb') -tridimensional cross-section- [Agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot brumeux dans l'ensemble des pseudo-quaternions (un 'MandelBulb') -section tridimensionnelle-].

Close-up on a foggy 'MandelBox' -tridimensional cross-section- [Un détail d'un 'MandelBox' brumeux -ou 'Sous la coupole'-, -section tridimensionnelle-].

Tridimensional fractal cross -iteration 5- [Croix fractale tridimensionnelle -itération 5-].

Untitled 0194 [Sans Titre 0194].




Intertwinings [Entrelacs] :

Faire de la recherche, c'est se poser des questions, puis tenter d'y répondre. Ainsi, peut-on produire mathématiquement des entrelacs, les animer et aller au-delà ?



Intertwining [Entrelacs].	Paradoxal structure [Structure paradoxale].	Intertwining [Entrelacs].	Intertwining [Entrelacs].	Intertwining [Entrelacs].
The Mathematics are the key of the Multiverse [Les Mathématiques sont la clef du Multivers].	Paradoxal structure based on the geometry of the sphere [Structure paradoxale basée sur la géométrie de la sphère].	Intertwining based on the geometry of the sphere [Entrelacs basé sur la géométrie de la sphère].	Paradoxal structure based on the geometry of the Bonan-Jeener-Klein triple bottle [Structure paradoxale basée sur la géométrie de la triple bouteille de Bonan-Jeener-Klein].	Intertwining based on the geometry of the Bonan-Jeener-Klein triple bottle [Entrelacs basé sur la géométrie de la triple bouteille de Bonan-Jeener-Klein].
Paradoxal structure based on the geometry of the Boy surface [Structure paradoxale basée sur la géométrie de la surface de Boy].	Intertwining based on the geometry of the Boy surface [Entrelacs basé sur la géométrie de la surface de Boy].

A tridimensional intertwining inside a sphere [Un entrelacs tridimensionnel à l'intérieur d'une sphère].	A tridimensional intertwining inside a torus [Un entrelacs tridimensionnel à l'intérieur d'un tore].	A tridimensional intertwining inside the Bonan-Jeener-Klein triple bottle [Un entrelacs tridimensionnel à l'intérieur de la triple bouteille de Bonan-Jeener-Klein].	A tridimensional intertwining inside a 'tridimensional epicycloïdal' pseudo-torus [Un entrelacs tridimensionnel à l'intérieur d'un pseudo-tore 'épicycloïdal tridimensionnel'].	A tridimensional intertwining inside a Jeener intertwining [Un entrelacs tridimensionnel à l'intérieur d'un entrelacs de Jeener].
A tridimensional intertwining inside the Jeener triton [Un entrelacs tridimensionnel à l'intérieur du triton de Jeener].

Fractal 'celestial body' based on a torus and a tridimensional intertwining inside a sphere ['Corps céleste' fractal basé sur un tore et un entrelacs tridimensionnel à l'intérieur d'une sphère].

Fractal 'celestial body' based on a torus and a tridimensional intertwining inside a torus ['Corps céleste' fractal basé sur un tore et un entrelacs tridimensionnel à l'intérieur d'un tore].

Fractal 'celestial body' based on a torus and a tridimensional intertwining inside the Bonan-Jeener-Klein triple bottle ['Corps céleste' fractal basé sur un tore et un entrelacs tridimensionnel à l'intérieur de la triple bouteille de Bonan-Jeener-Klein].

Untitled 0312 [Sans Titre 0312].	Untitled 0315 [Sans Titre 0315].	Untitled 0316 [Sans Titre 0316].	Untitled 0319 [Sans Titre 0319].	Untitled 0320 [Sans Titre 0320].
Untitled 0323 [Sans Titre 0323].	Untitled 0324 [Sans Titre 0324].	Untitled 0331 [Sans Titre 0331].	Untitled 0332 [Sans Titre 0332].	Untitled 0335 [Sans Titre 0335].
Untitled 0339 [Sans Titre 0339].	Untitled 0341 [Sans Titre 0341].	Untitled 0336 [Sans Titre 0336].

An intertwining animation [Une animation d'entrelacs].

An intertwining animation [Une animation d'entrelacs].

An interpolation between two intertwinings [Une interpolation entre deux entrelacs].

Paradoxal structure based on the geometry of the plane [Structure paradoxale basée sur la géométrie du plan].

Paradoxal structure based on the geometry of the Boy surface [Structure paradoxale basée sur la géométrie de la surface de Boy].

Untitled 0116 [Sans Titre 0116].

Untitled 0128 [Sans Titre 0128].

The Nympheas -a Tribute to Claude Monet- [Les Nymphéas -un hommage à Claude Monet-].




Miscellaneous [Divers] :

Juste pour le plaisir...



A 4-cube -an hypercube- [Un 4-cube -un hypercube-].

The Borromean Rings [Les anneaux borroméens].

Sixteen interlaced torus [Seize tores entrelacés].

An interpolation between two sets of interlaced torus -four and sixteen respectively- defined by means of three sets of bidimensional fields [Une interpolation entre deux ensembles de tores entrelacés -quatre et seize respectivement- définie à l'aide de trois ensembles de champs bidimensionnels].

An interpolation between sixteen interlaced torus and the quadruple Jeener bottle defined by means of three sets of bidimensional fields [Une interpolation entre seize tores entrelacés et la quadruple bouteille de Jeener définie à l'aide de trois ensembles de champs bidimensionnels].

The evolution of the Klein bottle using the Lorenz attractor [Evolution de la bouteille de Klein à l'aide de l'attracteur de Lorenz].

Causal set obtained by means of an homogeneous random meshing of a cube [Ensemble causal obtenu grâe au maillage aléatoire homogène d'un cube].

Heterogeneous -tridimensional fractal field- random meshing of a cube [Maillage aléatoire hétérogène -champ fractal tridimensionnel- d'un cube].

Heterogeneous -tridimensional gaussian field- random meshing of a cube [Maillage aléatoire hétérogène -champ gaussien tridimensionnel- d'un cube].

Heterogeneous -tridimensional anti-gaussian field- random meshing of a cube [Maillage aléatoire hétérogène -champ anti-gaussien tridimensionnel- d'un cube].

Homogeneous random meshing of a cube [Maillage aléatoire homogène d'un cube].

Heterogeneous -tridimensional fractal field- random meshing of a cube [Maillage aléatoire hétérogène -champ fractal tridimensionnel- d'un cube].

Heterogeneous -tridimensional gaussian field- random meshing of a cube [Maillage aléatoire hétérogène -champ gaussien tridimensionnel- d'un cube].

Heterogeneous -tridimensional anti-gaussian field- random meshing of a cube [Maillage aléatoire hétérogène -champ anti-gaussien tridimensionnel- d'un cube].

Complexity, Connectivity and Consciousness -64 nodes- [Complexité, connectivité et conscience -64 nœuds].	'Organic' network -64 nodes- [Réseau 'organique' -64 nœuds].	'Organic' network -64 nodes- [Réseau 'organique' -64 nœuds].	'Organic' network -64 nodes- [Réseau 'organique' -64 nœuds].	Complexity, Connectivity and Consciousness -512 nodes- [Complexité, connectivité et conscience -512 nœuds].
Complexity, Connectivity and Consciousness -4096 nodes- [Complexité, connectivité et conscience -4096 nœuds].

Homogeneous random non linear meshing of a cube [Maillage aléatoire homogène et non linéaire d'un cube].

Heterogeneous -tridimensional fractal field- random non linear meshing of a cube [Maillage aléatoire hétérogène -champ fractal tridimensionnel- et non linéaire d'un cube].

Heterogeneous -tridimensional gaussian field- random non linear meshing of a cube [Maillage aléatoire hétérogène -champ gaussien tridimensionnel- et non linéaire d'un cube].

Heterogeneous -tridimensional anti-gaussian field- random non linear meshing of a cube [Maillage aléatoire hétérogène -champ anti-gaussien tridimensionnel- et non linéaire d'un cube].

Homogeneous random non linear meshing of a cube [Maillage aléatoire homogène et non linéaire d'un cube].

Heterogeneous -tridimensional fractal field- random non linear meshing of a cube [Maillage aléatoire hétérogène -champ fractal tridimensionnel- et non linéaire d'un cube].

Heterogeneous -tridimensional gaussian field- random non linear meshing of a cube [Maillage aléatoire hétérogène -champ gaussien tridimensionnel- et non linéaire d'un cube].

Heterogeneous -tridimensional anti-gaussian field- random non linear meshing of a cube [Maillage aléatoire hétérogène -champ anti-gaussien tridimensionnel- et non linéaire d'un cube].







Pictures of Applied Mathematics [Images des Mathématiques appliquées] :

Bien que plusieurs points de vue sur les Mathématiques puissent être adoptés, c'est ici celui de Galiée (XVI-XVIIe siècles) qui sera choisi : pour lui, le grand livre de la Nature était écrit en langage mathématique. Leur redoutable efficacité (Eugène Wigner, Prix Nobel de Physique 1963) doit nous interpeler quant à leur nature profonde : ne sont-elles que ce "simple" langage qu'il faut apprendre pour comprendre ou ne seraient-elles pas la Réalité, toute la Réalité ? Quoi qu'il en soit, ses succès sont incontestables, de l'infiment petit à l'infiniment grand et ils font d'elles un véritable instrument d'optique qui chaque jour nous révèle de nouveaux et mystérieux aspects de la Réalité. Les ordinateurs, l'image de synthèse et nos yeux jouent alors un rôle privilégié...

Quantum Mechanics [Mécanique Quantique] :

La Mécanique Quantique est la théorie décrivant les états et les évolutions des systèmes à l'échelle des molécules, des atomes et des particules élémentaires. Ses prédictions, toujours vérifiées jusqu'à présent, sont bien souvent contraires à nos intuitions et à nos expériences du quotidien.



Tridimensional representation of a quadridimensional Calabi-Yau manifold [Représentation tridimensionnelle d'une variété quadridimensionnelle de Calabi-Yau].

Tridimensional representation of quadridimensional Calabi-Yau manifolds -Calabi-Yau manifolds attached to every point of our familiar tridimensional space ?- [Représentation tridimensionnelle de variétés quadridimensionnelles de Calabi-Yau -de telles variétés en chaque point de notre espace tridimensionnel familier ?-].

Quantum vacuum fluctuations [Fluctuations quantiques du vide].

Quark and gluon structure of the nucleon [Structure en quarks et gluons du nucléon].

Tridimensional display of a linear superposition of 6 eigenstates of the Hydrogen atom (tridimensional computation) [Visualisation tridimensionnelle de la superposition linéaire de 6 états propres de l'atome d'Hydrogène (calcul tridimensionnel)].




Deterministic Chaos [Chaos Déterministe] :

Un système relève du chaos déterministe lorsqu'il est régi par des équations dans lesquelles le hasard n'intervient pas (il est donc déterministe) mais que des prédictions à long terme quant à son devenir sont impossibles. Cette circonstance se rencontre lorsque ses équations sont sensibles à la précision des conditions initiales (forcément toujours limitée) et donc aux erreurs dites d'arrondi (il est ainsi de plus chaotique).



Bidimensional visualization of the Verhulst dynamics -(grey,orange,red) display negative Lyapunov exponents, (yellow,green,blue) display positive Lyapunov exponents- [Visualisation bidimensionnelle de la dynamique de Verhulst -(gris,orange,rouge) montrent les exposants de Lyapunov négatifs, (jaune,vert,bleu) montrent les exposants de Lyapunov positifs-].

Tridimensional high resolution visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter- [Visualisation tridimensionnelle haute résolution de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-].

Tridimensional high resolution visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter- [Visualisation tridimensionnelle haute résolution de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-].

Tridimensional high resolution visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter- [Visualisation tridimensionnelle haute résolution de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-].

Tridimensional high resolution visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter- [Visualisation tridimensionnelle haute résolution de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-].

Tridimensional high resolution visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter- [Visualisation tridimensionnelle haute résolution de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-].

Tridimensional high resolution visualization of an extended Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter- [Visualisation tridimensionnelle haute résolution d'une dynamique de Verhulst étendue -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-].

Tridimensional high resolution visualization of an extended Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter- [Visualisation tridimensionnelle haute résolution d'une dynamique de Verhulst étendue -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-].

Tridimensional high resolution visualization of an extended Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter- [Visualisation tridimensionnelle haute résolution d'une dynamique de Verhulst étendue -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-].

Tridimensional high resolution visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter- [Visualisation tridimensionnelle haute résolution de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-].

Tridimensional high resolution visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter- [Visualisation tridimensionnelle haute résolution de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-].

Tridimensional high resolution visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter- [Visualisation tridimensionnelle haute résolution de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-].

Tridimensional high resolution visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter- [Visualisation tridimensionnelle haute résolution de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-].

The Lorenz attractor [L'attracteur de Lorenz].

A pyramidal Menger sponge computed by means of an 'Iterated Function System' -IFS- [Une éponge pyramidale de Menger obtenue à l'aide de la méthode des 'Iterated Function Systems' -IFS-].




Statistical Mechanics and Particle Systems [Mécanique Statistique et Systèmes de Particules] :

L'étude des systèmes de particules en interaction entre-elles et avec le milieu dans lequel elles baignent est fondamental car, en effet, de là émergent, par exemple, les grandes lois de la thermodynamique ou encore les principes du phénomène de la diffusion.



The random walk of photons escaping the Sun [La marche aléatoire des photons produits au cœur du Soleil].

Bidimensional brownian motion -the colors used (magenta,red,yellow,green,cyan) are an increasing function of the time- and its 'external border' -white- [Mouvement brownien bidimensionnel -la palette de couleurs (magenta,rouge,jaune,vert,cyan) est une fonction croissante du temps- et sa 'frontière extérieure' (ou enveloppe) -blanche-].

Tridimensional accumulation of 512 correlated bidimensional brownian motions -50000 time steps- [Accumulation tridimensionnelle de 512 mouvements browniens bidimensionnels corrélés -50000 pas de temps-].

Tridimensional brownian motion [Mouvement brownien tridimensionnel].

The particle trajectories of bidimensional fractal aggregates obtained by means of a 100% pasting process during collisions of particles submitted to an attractive central field of gravity [Les trajectoires des particules d'agrégats fractals bidimensionnels obtenus par collage de 100% de celles-ci lors de leurs collisions, dans un champ de gravitation central attractif].

The particle trajectories of bidimensional fractal aggregates obtained by means of a 50% pasting process during collisions of particles submitted to an attractive central field of gravity [Les trajectoires des particules d'agrégats fractals bidimensionnels obtenus par collage de 50% de celles-ci lors de leurs collisions, dans un champ de gravitation central attractif].

The trajectories of bidimensional fractal aggregates obtained by means of a 50% pasting process during collisions of particles submitted to a vertical field of gravity [Les trajectoires des particules d'agrégats fractals bidimensionnels obtenus par collage de 50% de celles-ci lors de leurs collisions, dans un champ de gravitation vertical].

Fractal diffusion front in a bidimensional medium obtained by means of a random walk process [Front fractal de diffusion dans un milieu bidimensionnel obtenu grâce à un processus de marche aléatoire].

The 'island-peninsula' phenomenon of the fractal diffusion front in a bidimensional medium obtained by means of a random walk process [Le phénomène 'île-presqu'île' du front fractal de diffusion dans un milieu bidimensionnel obtenu grâce à un processus de marche aléatoire].

The tridimensional Ising Model with 2-state spins, temperature=0.2, random initial conditions and an increasing number of iterations -from 100 to 4000- [Le modèle d'Ising tridimensionnel avec des spins à 2 états, température=0.2, des conditions initiales aléatoires et un nombre croissant d'itérations -de 100 à 4000-].




Non Deterministic Fractal Geometry and Natural Phenomenon Synthesis [Géométrie Fractale Non Déterministe et Synthèse de Phénomènes Naturels] :

Lorsque le hasard intervient dans la géométrie fractale, elle fournit alors de nouveaux outils permettant de décrire mathématiquement de nombreux objets de la nature caractérisés par une forte irrégularité. Il devient alors possible de répondre à des questions ("quel est la forme d'un nuage ?") pour lesquelles les mathématiques "des siècles passés" restaient muettes...



Light clouds at sunset [Nuages légers au coucher du Soleil].

Light clouds [Nuages légers].

Mountains at sunrise [Montagnes au lever du Soleil].

Fractal synthesis of mountains with vegetation and stormy clouds [Synthèse fractale de montagnes avec de la végétation et des nuages d'orage].

Mountains and fog [Montagnes et brouillard].

Snowy day [Jour de neige].

Mountains and fog [Montagnes et brouillard].

The foggy Babel Tower -a Tribute to Brueghel the Elder- [La Tour de Babel dans le brouillard -un hommage à Bruegel l'Ancien-].

Sunny Monument Valley [Monument Valley ensoleillée].

Snowy Monument Valley [Monument Valley sous la neige].

Monument Valley at sunrise [Monument Valley au lever du Soleil].

Botticelli anomaly on the Moon [L'anomalie de Botticelli sur la Lune].

Tridimensional fractal structure [Structure fractale tridimensionnelle].	Tridimensional fractal structure -the space-time foam ?- [Structure fractale tridimensionnelle -la 'mousse' de l'espace-temps ?-].	Sixteen interlaced fractal torus [Seize tores fractals entrelacés].	A fractal Möbius strip [Un ruban de Möbius fractal].	Tridimensional representation of a fractal quadridimensional Calabi-Yau manifold [Représentation tridimensionnelle d'une variété quadridimensionnelle de Calabi-Yau fractale].
A fractal pyramidal Menger sponge computed by means of an 'Iterated Function System' -IFS- [Une éponge pyramidale de Menger fractale obtenue à l'aide de la méthode des 'Iterated Function Systems' -IFS- fractal].

Animation of a natural form [Animation d'une forme naturelle].

Cauliflowers, seaweeds, shells,... with fog [Choux-fleurs, algues, coquillages,... dans le brouillard].




Signal Processing [Traitement du Signal] :

Aujourd'hui tout signal (son, image,...) se présente sous forme numérique et c'est bien ainsi que fonctionnent les appareils photographiques, les téléphones portables, la télévision ou encore le GPS (Global Positionning System). Des traitements complexes leur sont appliqués afin, par exemple, d'en réduire l'encombrement sans nuire à leur compréhension.



Wavelet transform of a bidimensional fractal field (bird's-eye view) [Transformée en ondelettes d'un champ fractal bidimensionnel (vue aérienne)].

Phase rotation of the wavelet transform of a bidimensional fractal field [Rotation de la phase de la transformée en ondelettes d'un champ fractal bidimensionnel].

Artistic view of the tridimensional integration of the phase rotation of the wavelet transform of a bidimensional fractal field [Vue artistique de l'intégration tridimensionnelle de la rotation de la phase de la transformée en ondelettes d'un champ fractal bidimensionnel].

Anisotropic gaussian Fourier filtering of a random field with a 2.pi rotation of the kernel [Filtrage gaussien anisotrope de Fourier d'un champ aléatoire avec rotation de 2.pi du noyau].

Tridimensional integration of the anisotropic gaussian Fourier filtering of a random field with a 2.pi rotation of the kernel [Intégration tridimensionnelle du filtrage gaussien anisotrope de Fourier d'un champ aléatoire avec rotation de 2.pi du noyau].




Texture Synthesis [Synthèse de Textures] :

La perception du relief utilise la vision stéréoscopique, mais aussi la déformation des textures des objets à cause des effets de la perspective. Il est donc essentiel de les comprendre et les Mathématiques nous permettent de les analyser, mais aussi d'en produire de nouvelles.



Synthesis of bidimensional geometrical textures [Synthèse de textures bidimensionnelles géométriques].	Synthesis of bidimensional symmetrical geometrical textures [Synthèse de textures bidimensionnelles symétriques géométriques].	Animation of bidimensional symmetrical geometrical textures [Animation de textures bidimensionnelles symétriques géométriques].	Birds and fishes [Oiseaux et poissons].	Pterodactyl [Ptérodactyle].
Pegasus [Pégase].	Untitled 0347 [Sans Titre 0347].	Untitled 0369 [Sans Titre 0369].	Untitled 0348 [Sans Titre 0348].	Untitled 0101 [Sans Titre 0101].
Quaternionic lion [Lion quaternionique].	Quaternionic cat [Chat quaternionique].	Quaternionic shell [Coquillage quaternionique].	Quaternionic shell [Coquillage quaternionique].	Artistic view of a bidimensional texture obtained by means of the self-transformation of a fractal process [Vue artistique d'une texture bidimensionnelle obtenue grâce à l'auto-transformation d'un processus fractal].




Celestial Mechanics, Astrophysics and Cosmology [Mécanique Céleste, Astrophysique et Cosmologie] :

La mécanique céleste est la théorie qui étudie la trajectoire des corps célestes et en particulier celle des planètes autour de leurs étoiles. L'astrophysique et la Cosmologie s'intéressent quand à elles à des structures plus vastes, voire à l'Univers entier et au-delà.



The Ptolemaic system -without equant- with a small light grey circle -the epicycle- whose center describes a larger dark grey circle -the deferend- centered on the Earth -blue sphere- [Le système de Ptolémée -sans équant- avec un petit cercle gris clair -l'épicycle- dont le centre décrit un cercle plus grand gris sombre -le déférend- dont le centre est la Terre -sphère bleue-].

N-body problem integration (N=10) displaying the actual Solar System during one marsian year -Earth point of view and zoom on the four first planets- [Intégration du problème des N-corps (N=10) montrant le véritable système solaire pendant une année marsienne -point de vue de la Terre avec zoom sur les quatre premiers planètes-].





The journey of an Earth-like virtuel planet (green) from Pluto (grey) to the Sun (yellow) -heliocentric view- [Le voyage d'une planète virtuelle identique à la Terre (verte) de Pluton (grise) au Soleil (jaune) -point de vue héliocentrique-].

The journey of an Earth-like virtuel planet (green) from Pluto (grey) to the Sun (yellow) -point of view of the virtual planet- [Le voyage d'une planète virtuelle identique à la Terre (verte) de Pluton (grise) au Soleil (jaune) -point de vue de la planète virtuelle-].

The journey of an Earth-like virtuel planet (green) in the Solar System -heliocentric view- [Le voyage d'une planète virtuelle identique à la Terre (verte) dans le système solaire -point de vue héliocentrique-].

The journey of an Earth-like virtuel planet (green) in the Solar System -point of view of the virtual planet- [Le voyage d'une planète virtuelle identique à la Terre (verte) dans le système solaire -point de vue de la planète virtuelle-].

The journey of an Earth-like virtuel planet (green) in the Solar System -heliocentric view- [Le voyage d'une planète virtuelle identique à la Terre (verte) dans le système solaire -point de vue héliocentrique-].

The journey of an Earth-like planet (green) in the Solar System -point of view of the virtual planet- [Le voyage d'une planète virtuelle identique à la Terre (verte) dans le système solaire -point de vue de la planète virtuelle-].

The random walk of photons escaping the Sun [La marche aléatoire des photons produits au cœur du Soleil].

Kasner billiard : Time-dependent billiard (from negative curvatures to positive curvature) with one particle [Billard de Kasner : Billard à géométrie variable (de courbures négatives à une courbure positive) avec une particule].	Tridimensional display of the inflationary Universe [Visualisation tridimensionnelle de l'Univers inflationnaire].	Artistic view of the Big Bang [Vue artistique du 'Big Bang'].	Artistic view of gravitational waves [Vue artistique des ondes gravitationnelles].	Artistic view of the Cosmic Web (nodes, galaxy clusters, filaments,... including 1.083.984 galaxies) obtained by means of a non deterministic fractal process [Vue artistique du Réseau Cosmique (nœuds, amas de galaxies, filaments,... incluant 1.083.984 galaxies) obtenu grâce à un processus fractal non déterministe].
Artistic view of a fractal Multiverse [Vue artistique d'un Multivers fractal].	Where is the Universe ? [Où est l'Univers ?].







Mathematics and Art [Mathématiques et Art] :

Les voies qui mènent à la démonstration d'un théorème sont en général aussi mystérieuses que celles qui conduisent à la création d'une nouvelle œuvre d'art. Il n'est donc pas surprenant que les Mathématiques et l'Art entretiennent d'étroites relations. Et si l'Art peut être au service des Mathématiques, par exemple, en participant aux choix de la couleur des nombres, les Mathématiques peuvent offrir aux créateurs tout à la fois de nouveaux d'outils d'expression, mais aussi de nouvelles "natures mortes"...



A fractal vegetal structure -'the Knowledge Tree'- [Une structure végétale fractale -'l'arbre de la connaissance'-].	Untitled 0232 [Sans Titre 0232].	Untitled 0231 -a Tribute to Philippe Druillet- [Sans Titre 0231 -un hommage à Philippe Druillet-].	Close-up on a foggy pseudo-octonionic Julia set ('MandelBulb' like : a 'JuliaBulb') computed with A=(-0.58...,+0.63...,0,0,0,0,0,0) and with a rotation about the X axis and with a tridimensional non linear transformation in the pseudo-octonionic space -tridimensional cross-section- [Agrandissement d'un ensemble de Julia brumeux dans l'ensemble des pseudo-octonions (comme un 'MandelBulb' : un 'JuliaBulb') calculé pour A=(-0.58...,+0.63...,0,0,0,0,0,0) et avec une rotation autour de l'axe X et avec une transformation non linéaire tridimensionnelle dans l'ensemble des pseudo-octonions -section tridimensionnelle-].	Tridimensional visualization of the Verhulst dynamics with a tridimensional non linear transformation of the coordinates [Visualisation tridimensionnelle de la dynamique de Verhulst avec une transformation non linéaire tridimensionnelle des coordonnées].
Untitled 0155 -a Tribute to Yves Tanguy- [Sans Titre 0155 -un hommage à Yves Tanguy-].	Untitled 0195 [Sans Titre 0195].	Untitled 0253 [Sans Titre 0253].	Untitled 0202 -a Tribute to Henri Matisse- [Sans Titre 0202 -un hommage à Henri Matisse-].	Untitled 0239 [Sans Titre 0239].
Isle of the Dead -a Tribute to Arnold Böcklin- [L'île des morts -un hommage à Arnold Böcklin-].	Quaternionic butterfly with extended arithmetics -a Tribute to Laurent Schwartz- [Papillon quaternionique avec arithmétique étendue -un hommage à Laurent Schwartz-].	Untitled 0150 [Sans Titre 0150].	Untitled 0180 [Sans Titre 0180].	Intertwining [Entrelacs].
The Mathematics are the key of the Multiverse [Les Mathématiques sont la clef du Multivers].	Untitled 0207 [Sans Titre 0207].	Untitled 0208 [Sans Titre 0208].	The Nympheas -a Tribute to Claude Monet- [Les Nymphéas -un hommage à Claude Monet-].	Close-up on a foggy 'MandelBox' -tridimensional cross-section- [Un détail d'un 'MandelBox' brumeux -ou 'Sous la coupole'-, -section tridimensionnelle-].
Quadruple impossible staircase built by means of a paradoxal structure -a Tribute to Maurits Cornelis Escher- [Escalier quadruplement impossible construit à l'aide d'une structure paradoxale -un hommage à Maurits Cornelis Escher-].	Periodical impossible structure [Structure paradoxale périodique].	Paradoxal structure based on the geometry of the Boy surface [Structure paradoxale basée sur la géométrie de la surface de Boy].	Untitled 0205 [Sans Titre 0205].	'There is a war' -a Tribute to Leonard Cohen- ['There is a war' -un hommage à Leonard Cohen-].
Fractal Self-Portrait -'Décalcomanie', a Tribute to René Magritte- [Auto-Portrait fractal -'Décalcomanie', un hommage à René Magritte-].	A pseudo-periodical Penrose tiling of the plane -a Tribute to Piet Mondrian and Roger Penrose- [Un pavage de Penrose pseudo-périodique du plan -un hommage à Piet Mondrian et Roger Penrose-].	The Scream -a Tribute to Edvard Munch- [Le cri -un hommage à Edvard Munch-].	Untitled 0265 -a Tribute to Vassily Kandinsky- [Sans Titre 0265 -un hommage à Vassily Kandinsky-].	Untitled 0344 -a Tribute to Vassily Kandinsky- [Sans Titre 0344 -un hommage à Vassily Kandinsky-].
Untitled 0266 -a Tribute to Vassily Kandinsky- [Sans Titre 0266 -un hommage à Vassily Kandinsky-].	Untitled 0345 -a Tribute to Vassily Kandinsky- [Sans Titre 0345 -un hommage à Vassily Kandinsky-].	Untitled 0271 -a Tribute to Vassily Kandinsky- [Sans Titre 0271 -un hommage à Vassily Kandinsky-].	Untitled 0346 -a Tribute to Vassily Kandinsky- [Sans Titre 0346 -un hommage à Vassily Kandinsky-].	Tridimensional fractal Self-Portrait [Auto-Portrait fractal tridimensionnel].
Untitled 0294 -a Tribute to Victor Vasarely [Sans Titre 0294 -un hommage à Victor Vasarely].	Tridimensional self-Portrait -a Tribute to Victor Vasarely- [Auto-Portrait tridimensionnel -un hommage à Victor Vasarely-].	Untitled 0293 -a Tribute to Pierre Soulages [Sans Titre 0293 -un hommage à Pierre Soulages].	A blue sponge-tree -a Tribute to Yves Klein- [Un arbre-éponge bleu -un hommage à Yves Klein-].	Dissonance chaude/Dissonance froide -a Tribute to Paul Sérusier- [Dissonance chaude/Dissonance froide -un hommage à Paul Sérusier-].

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