Bidimensional visualization of the Verhulst dynamics -(grey,orange,red) display negative Lyapunov exponents, (yellow,green,blue) display positive Lyapunov exponents- (Visualisation bidimensionnelle de la dynamique de Verhulst -(gris,orange,rouge) montrent les exposants de Lyapunov negatifs, (jaune,vert,bleu) montrent les exposants de Lyapunov positifs-) {a chapter of 'Mathematics - A Virtual Instrument For Exploring Space Time And Beyond'}

Bidimensional visualization of the Verhulst dynamics -(grey,orange,red) display negative Lyapunov exponents, (yellow,green,blue) display positive Lyapunov exponents- [Visualisation bidimensionnelle de la dynamique de Verhulst -(gris,orange,rouge) montrent les exposants de Lyapunov négatifs, (jaune,vert,bleu) montrent les exposants de Lyapunov positifs-].

Etude de la dynamique de Verhulst définie par l'itération suivante:

                    X  = 0.5
                     0

                    X  = RX   (1 - X   )
                     n     n-1      n-1

Ici, dans ce calcul, le taux de croissance 'R' n'est plus constant mais évolue de façon cyclique en prenant la suite (arbitraire) de valeurs suivantes:

                    R1  ==>  R1  ==>  R1  ==>  R1


                    /\                         ||
                    ||                         \/


                    R2                         R1


                    /\                         ||
                    ||                         \/


                    R2                         R1


                    /\                         ||
                    ||                         \/


                    R2  <==  R2  <==  R2  <==  R2

où {R1,R2} désignent respectivement l'abscisse et l'ordonnée du point courant de l'image qui correspond au domaine [2.763,3.587]x[3.500,3.850] du plan. La couleur de chaque point {R1,R2} est alors fonction de l'exposant de Lyapunov du système dynamique auquel il est associé:


{gris,orange,rouge} : exposants de Lyapunov négatifs,


{jaune,vert,bleu}   : exposants de Lyapunov positifs,

ce qui permet de distinguer respectivement les systèmes dynamiques stables de ceux qui sont chaotiques.

[See the associated mosaic]

See some tridimensionnal dynamics: