AUJOURD'HUI, LES MATHEMATIQUES PURES SEMBLENT PUISER QUASIMENT TOUTE LEUR INSPIRATION DANS DES PROBLEMES DECONNECTES DU "REEL" :

Faire de la recherche (en Mathématiques) : C'est se poser de bonnes questions puis tenter d'y répondre...

Quelques problèmes "élémentaires" (à formuler...) dits ouverts et donc à l'état de conjectures :

La conjecture de Goldbach (Christian Goldbach et Leonhard Euler -1742-, fait partie du huitième problème de Hilbert -1900-).

La conjecture de Gilbreath (François Proth -1878- et Norman L. Gilbreath -1958-).

La conjecture des nombres premiers jumeaux (fait partie du huitième problème de Hilbert -1900-) :

Les vingt-trois problèmes de David Hilbert (second Congrès International des Mathématiciens, Paris, août 1900). Des problèmes "plus difficiles" (à expliquer), plusieurs d'entre-eux n'étant toujours pas résolus et par exemple :

L'hypothèse de Riemann (Bernhard Riemann 1859, fait partie du huitième problème de Hilbert).

HC, l'Hypothèse du Continu (Georg Cantor ~1890, premier problème de Hilbert) :

De PYTHAGORE (-VIe siècle) à SIR ANDREW WILES (1994), en passant par DIOPHANTE d'ALEXANDRIE (IIIe siècle), CLAUDE GASPARD BACHET de MEZIRIAC et PIERRE de FERMAT (XVIIe siècle)

Les équations diophantiennes. L'équation :

                     2    2    2
                    X  + Y  = Z

a une infinité de solutions entières {X,Y,Z} et, par exemple, la plus fameuse d'entre-elles :

                     2    2    2
                    3  + 4  = 5

ou encore :

                     2     2     2
                    5  + 12  = 13

                     2    2     2
                    6  + 8  = 10

                     2     2     2
                    8  + 15  = 17

                     2     2     2
                    9  + 12  = 15

                      2     2     2
                    12  + 16  = 20

                    (...)

Le grand "théorème" de Fermat (XVIIe siècle). L'équation :
```
                     n    n    n
                    X  + Y  = Z     {X,Y,Z,n} ∈ N     X.Y.Z # 0
```
n'a pas de solutions entières non triviales {X,Y,Z} pour n=0 et n>2.

Andrew Wiles, aidé par Richard Raylor, démontre en 1994 la conjecture Shimura-Taniyama-Weil dont une conséquence est le grand "théorème" de Fermat comme l'avait montré Gerhard Frey et Kenneth Ribert en 1985.

Le chemin parcouru peut être plus enrichissant que la destination elle-même.

Une application a posteriori : Courbes elliptiques (objets de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil) et cryptographie,...

Les équations de Navier-Stokes de la Mécanique des fluides (Henri Navier et George Stokes, XIXe siècle) figurent parmi les sept problèmes du millénaire de la Fondation Clay (2000).

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