Géométrie Fractale et Phénomènes Naturels






Jean-François COLONNA
www.lactamme.polytechnique.fr
jean-francois.colonna@polytechnique.edu
CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, Ecole Polytechnique, CNRS, 91128 Palaiseau Cedex, France

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(Site WWW CMAP28 : cette page a été créée le 09/02/2013 et mise à jour le 08/03/2014 12:26:26 -CET-)




Résumé : Le concept mathématique de fractal est apparu récemment. Il caractérise des objets possédant des détails à toutes les échelles d'observation, dont certaines mesures peuvent diverger et dont la dimension peut être non entière. De nombreux objets naturels possèdent ces propriétés.


Mots-Clefs : Anaglyphes, Art et Science, Autostéréogrammes, Chaos Déterministe, Création Artistique, Entrelacs, Erreurs d'arrondi, Expérimentation Virtuelle, Génie Logiciel, Géométrie Fractale, Infographie, Mathématiques, Mécanique Céleste, Mécanique Quantique, Physique, Sensibilité aux Erreurs d'Arrondi, Simulation Numérique, Stéréogrammes, Synthèse de Phénomènes Naturels, Synthèse de Texture, Visualisation Scientifique, Voyage Virtuel dans l'Espace-Temps.




1-De Euclide à Mandelbrot :

En 1960, Eugène Wigner s'interrogeait sur la redoutable efficacité des Mathématiques, en particulier en tant que langage de la Physique. Malgré ces succès, des "choses" bien quotidiennes échappaient à une description en terme de Mathématiques "classiques" : quelle est, en effet, la forme d'un nuage, d'une montagne, d'un arbre ou encore des ramifications des bronches en terme d'"atomes" euclidiens ?

Or à la fin du dix-neuvième siècle, des mathématiciens (Weierstrass -peut-être le pionnier-, Cantor, Peano, Lebesgue, Hausdorff, Besicovitch, von Koch, Sierpinski,...) s'intéressèrent un temps à des "monstres", et par exemple à des courbes continues mais non différentiables (et n'ayant donc de tangente en aucun point), dont la longueur était infinie bien que leur domaine soit limité ; certaines réussissaient même à remplir fort bien des espaces de dimensions supérieures. Charles Hermite y voyait là une plaie lamentable...

Ces courbes sont définies comme étant la limite à l'infini d'un certain processus itératif de construction et ne sont donc jamais visualisables exactement (tout comme il est impossible de voir "toutes" les décimales de pi), mais seulement de façon (très) approchée.

Voici certainement l'exemple le plus simple à définir et à appréhender : celui de la courbe de von Koch . Nous voyons ici les trois premières itérations de sa construction : partant d'un segment (bleu en bas), nous substituons à son tiers central les deux côtés supérieurs d'un triangle équilatéral ; cette procédure est ensuite répétée pour chacun des 4 segments plus petits (dans un rapport égal à 3) obtenus. Il est évident qu'à chaque itération la longueur totale est mutipliée par 4/3 (puiqu'en fait 3 petits segments ont été remplacés par 4 de même taille), ce qui fait que, par exemple, en quatre-vingt dix itérations, partant d'un unique segment d'un mètre, nous voici face à une "courbe" dont la longueur (175x10^6 Kms) est supérieure à la distance de la Terre au Soleil (150x10^6 Kms) ! Cela défie l'intuition, tout en mettant en évidence une première propriété fondamentale : un objet fractal permet au fini (dans le cas présent, le domaine de définition de cette courbe) et a l'infini (sa longueur) de coexister. Une seconde propriété essentielle, parfaitement visible ici, est celle d'autosimilarité. Elle indique que les parties sont identiques au tout, à un facteur d'échelle près : ainsi, le tiers gauche de la courbe verte est une copie réduite (dans un rapport égal à 3) de la courbe rouge entière.

Par la suite, nous passerons sous silence la délicate notion de dimension dite fractale en général non entière. Notons seulement qu'elle est fondamentale et en quelque sorte, pour les objets fractals, une mesure de leur "rugosité", de leur irrégularité,... et de leur "taux" d'occupation de l'espace dans lequel ils existent.

Puis ces monstres restèrent assoupis plusieurs dizaines années jusqu'à ce que la curiosité, l'intuition et le génie de Benoît Mandelbrot (à l'origine du mot fractal et "père" de l'ensemble éponyme ), aidés par les progrès étonnants des technologies informatiques, les réveillent. C'était, dans les années soixante/soixante-dix, la [re-]naissance des fractales.



2-Retour sur l'Autosimilarité :

L'autosimilarité (néologisme issu de l'anglais self-similarity ; autosimilitude aurait certainement été préférable comme traduction...) semble être une propriété possédée par de très nombreux objets naturels : un nuage, une montagne,... Voici une branche de fougère : la forme de l'un de ses détails est très proche de celle de la branche entière. Nous nous contenterons ici de cette propriété pour définir un objet fractal, notant cependant qu'il peut être défini d'une façon plus générale, comme possédant des structures (alors non nécessairement identiques au facteur d'échelle près) à toutes les échelles d'observation. Cette propriété permet de comprendre que certaines de leurs mesures puissent diverger (c'est le cas de la longueur de la courbe de von Koch) et que communiquer celles-ci sans indiquer simultanément l'étalon utilisé, n'a pas de sens.



3-L'Universalité de la Géométrie Fractale :

La question se pose alors de savoir pourquoi tant d'objets naturels sont fractals. L'examen d'un exemple particulier, celui de la structure des alvéoles pulmonaires (ou acinus) , peut nous fournir la piste d'une réponse possible. En effet, cet organe situé à l'extrémité de l'arbre bronchique (lui-même fractal) est destiné à assurer des échanges gazeux à travers une surface dont l'aire doit être la plus grande possible, alors que son encombrement (et donc son volume) est limité. Si la géométrie utilisée était, par exemple, celle d'une sphère, pour augmenter l'aire il conviendrait d'augmenter le rayon et donc concomitamment le volume, ce qui serait contraire à la contrainte imposée (notons, au passage, que chez l'adulte la surface d'échange est de l'ordre de 100 mètres carrés, ce qui correspondrait à une sphère peu viable de 5.6 mètres de diamètre !). Une structure fractale semble être la réponse à ce problème d'optimisation : les alvéoles pulmonaires ont ainsi une surface énorme à l'intérieur du volume restreint d'une petite partie de la cage thoracique.

La géométrie fractale a rapidement conquis ses galons d'outil mathématique fondamental en réussissant à réunir alors des domaines jusqu'alors disjoints. Les cours de la bourse et le mouvement brownien , le chaos déterministe , les feux de forêts et les fronts de diffusion , les agrégats , les systèmes de pagination mémoire,... autant de domaines de recherche où elle s'est imposée et d'où la "fractalité" émerge spontanément. Des structures fractales sont ainsi repérées des plus petites aux plus grandes échelles et certains vont même jusqu'à attribuer à l'espace-temps une structure fractale, le rendant ainsi continu et non différentiable. Et la Science elle-même, avec les structures sans fin qu'elle nous dévoile, ne serait-elle pas l'ultime "objet" fractal ?



4-Géométrie Fractale et Synthèse de Phénomènes Naturels :

Examinons attentivement un exemple particulier : celui de la synthèse de phénomènes naturels -paysages et nuages-. Remarquons que la première itération de la construction de la courbe de von Koch ressemble de façon très grossière (et évidemment trop parfaite) à la ligne de crête d'une montagne. En introduisant un peu d'aléatoire, cette courbe pourra prendre une forme moins régulière et donc plus naturelle ; cette courbe sera alors qualifiée de fractale non déterministe. L'auteur de ce texte a généralisé cette procédure à des espaces à N dimensions ; cela permet, par exemple, pour N=3 de produire des paysages extrêmement variés et pour N=4, de les animer .

Il convient de noter que la simplicité conceptuelle de cet algorithme (et de ceux qui permettent de calculer les ensembles dits de Julia et de Mandelbrot , par exemple) est pratiquement en opposition avec l'infinie richesse visuelle des structures obtenues. Ainsi, la géométrie fractale est l'occasion de [re-]découvrir que du simple peut naître le complexe...



5-Géométrie Fractale et Art :

La géométrie fractale est connue du public par les images qu'elle permet donc de produire et qui font dire bien souvent qu'elle est un pont entre l'Art et la Science. S'il est vrai qu'elle a introduit des formes nouvelles , le créateur reste le maître et l'initiateur de la composition .

Paraphrasant Heinrich Hertz, il est possible d'affirmer : on ne peut échapper au sentiment que ces algorithmes ont une existence qui leur est propre, qu'ils sont plus performants que ceux qui les ont réalisés, et que nous pouvons en extraire plus de science (et d'Art ?) qu'il n'en a été mis à l'origine.

Alors, l'œuvre ne doit plus être vue dans le résultat (une image par exemple), mais dans le programme qui lui a donné naissance, introduisant ainsi le concept "borgésien" d'œuvre potentielle (c'est-à-dire contenant en elle -et de façon presque utopique- une quasi-infinité d'œuvres du même type, prêtes à émerger du néant)...



6-Ordinateur et Géométrie Fractale :

Le rôle joué par l'ordinateur semble avoir été décisif dans ces progrès. Simultanément, il s'est imposé dans toutes nos activités et bien évidemment dans la recherche scientifique. Grâce a lui, une approche expérimentale nouvelle, celle de l'Expérimentation Virtuelle, associant l'étude informatique du modèle mathématique d'un système associé à la mise en images interactives des résultats produits, a pu voir le jour au cours de ces dernières années.

La géométrie fractale nous a montré que la différentiabilité n'était pas nécessairement une propriété naturelle et universelle ; y renoncer s'est alors avéré une idée fructueuse ne demandant pas l'introduction d'une hypothèse nouvelle en physique, bien au contraire...

Qu'en est-il aujourd'hui de la continuité ? L'ordinateur, de par sa structure même, nous contraint à y renoncer bien involontairement. Mais évidemment il ne s'agit pas ici, du moins pas encore, de la continuité supposée de la nature, mais bien de celle des modèles ! Les nombres réels, essentiels aux Mathématiques et à la Physique, en particulier pour l'obtention d'équations différentielles via des passages à la limite, sont impossibles à représenter dans nos calculateurs, machines "discrètes" par définition.

Cette impossibilité peut conduire très facilement à des résultats faux .

Enfin, une dernière difficulté, généralement passée sous silence, vient de la notion de nombre d'itérations. En effet, la plupart des objets fractals sont obtenus en répétant une certaine transformation T tant qu'une certaine condition C est vérifiée (et supposée vraie par la suite) : le nombre N d'itérations varie en général d'un point à l'autre. Dès que C devient fausse, les choses sont déclarées (de façon parfois présomptueuse) sûres : le point courant n'appartient pas à l'ensemble. Par contre tant que C reste vraie, la situation est plus incertaine : en effet, pour des raisons pratiques évidentes, il est impossible d'itérer indéfiniment ; il faut bien s'arrêter pour une valeur de N fixée arbitrairement à l'avance (par exemple 1000), mais qui sait ce qu'il adviendrait si une itération de plus était effectuée ? De plus, les problèmes de calcul évoquées précedemment ajoutent une nouvelle source d'ambiguité : la valeur logique de C calculée numériquement peut être différente de ce qu'elle est en réalité (avec les nombres réels) mais qui reste malheureusement inaccessible.

Les limites inhérentes de l'informatique doivent donc être connues et si possible maitrisées, afin de tirer le meilleur parti des outils fondamentaux qu'elle nous offre, pour aller toujours plus loin sur la voie de la Connaissance.



Et maintenant, visitez les galeries d'images fractales déterministes, non déterministes et artistiques.


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