Les courbes remplissantes et au-delà :
Des carrés et des cubes aux surfaces (variétés bidimensionnelles) et aux variétés tridimensionnelles




La bouteille de Klein décrite à l'aide d'une courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 7-

Jean-François COLONNA
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Contenu :



1-Georg Cantor :

Dans la deuxième moitié du dix-neuvième siècle, Georg Cantor fut l'un des fondateurs de la théorie des ensembles en s'interrogeant en particulier sur l'infini. Grâce à la notion d'ensemble des parties (c'est-à-dire l'ensemble de tous les sous-ensembles d'un ensemble donné), il montra qu'il n'y avait pas un infini, mais une infinité. Le plus petit infini est celui de l'ensemble des nombres entiers (N) : le dénombrable. La notion de bijection entre deux ensembles est alors fondamentale : on dira que deux ensembles ont le même cardinal ("ont la même taille") s'il existe une bijection entre-eux. C'est ainsi que, presque paradoxalement, les ensembles des nombres pairs, des rationnels, des nombres algébriques,... sont en bijection avec N et sont donc dénombrables. Mais par une démonstration par l'absurde d'une étonnante simplicité, il montra qu'il n'en était pas de même avec l'ensemble des nombres réels (R) : R n'est pas dénombrable (le continu). On notera que savoir s'il existe des ensembles de taille intermédiaire entre N et R est (malheureusement...) un indécidable (appelé l'Hypothèse du Continu) de la théorie ZFC (Zermelo, Fraenkel et axiome du Choix) des ensembles... Au-delà de R il y a donc une infinité d'ensembles toujours plus énormes obtenus, par exemple, en itérant la définition P d'ensemble des parties : {E,P(E),P(P(E)),...}. Mais malgré cela, Georg Cantor a démontré que R, R2,... Rn,... avaient même cardinal.





2-David Hilbert, Giuseppe Peano et les autres :

Partant de ce résultat, David Hilbert, Giuseppe Peano et d'autres encore ont imaginé des courbes (paramétrées dans R) remplissant un carré (dans R2). Une façon simple de procéder consiste à partir d'une courbe dite génératrice Courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 1- que l'on réduira et transformera en répétant cela une infinité de fois. Pour illustrer ce processus, voici une une courbe génératrice spécifique Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} -itération 1- et les quatre transformations Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X2(...),Y2(...)} -itération 2- qu'elle doit subir à chaque itération.


Voici les cinq premières courbes bidimensionnelles de Hilbert avec un nombre croissant d'itérations :

Courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 1- Courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 2- Courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 3- Courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 4- Courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 5-

Voir la construction de quelques unes d'entre-d'elles :

Vide Vide La construction de la courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 3- La construction de la courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 4- Vide


Voici quelques exemples de courbes bidimensionnelles de type Hilbert utilisant des courbes génératrices différentes :

Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} -itération 1- Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X2(...),Y2(...)} -itération 2- Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X3(...),Y3(...)} -itération 3- Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X4(...),Y4(...)} -itération 4- Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X5(...),Y5(...)} -itération 5-
Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} -itération 1- Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X2(...),Y2(...)} -itération 2- Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X3(...),Y3(...)} -itération 3- Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X4(...),Y4(...)} -itération 4- Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X5(...),Y5(...)} -itération 5-
Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à la frontière de l'ensemble de Mandelbrot -itération 1- Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à la frontière de l'ensemble de Mandelbrot -itération 2- Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à la frontière de l'ensemble de Mandelbrot -itération 3- Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à la frontière de l'ensemble de Mandelbrot -itération 4- Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à la frontière de l'ensemble de Mandelbrot -itération 5-
Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à la courbe de von Koch -itération 1- Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à la courbe de von Koch -itération 2- Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à la courbe de von Koch -itération 3- Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à la courbe de von Koch -itération 4- Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à la courbe de von Koch -itération 5-
Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à une structure paradoxale périodique -itération 1- Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à une structure paradoxale périodique -itération 2- Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à une structure paradoxale périodique -itération 3- Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à une structure paradoxale périodique -itération 4- Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à une structure paradoxale périodique -itération 5-
Une courbe non continue bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à une structure 'labyrinthique' périodique -itération 1- Une courbe non continue bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à une structure 'labyrinthique' périodique -itération 2- Une courbe non continue bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à une structure 'labyrinthique' périodique -itération 3- Une courbe non continue bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à une structure 'labyrinthique' périodique -itération 4- Une courbe non continue bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à une structure 'labyrinthique' périodique -itération 5-


Ce procédé se généralise et il est ainsi possible de remplir un cube (dans R3) à l'aide de courbes (toujours paramétrées dans R). Voici l'une des courbes génératrices Courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 1- et de nouveau, une courbe génératrice spécifique Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...),Z1(...)} -itération 1- permet de comprendre les huit transformations Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X2(...),Y2(...),Z2(...)} -itération 2- subies à chaque itération.


Voici les quatre premières courbes tridimensionnelles de Hilbert avec un nombre croissant d'itérations :

Courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 1- Courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 2- Courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 3- Courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 4-

Voir la construction de l'une d'elles :

Vide Vide La construction de la courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 3- Vide


Voici quelques exemples de courbes tridimensionnelles de type Hilbert utilisant des courbes génératrices différentes et en particulier des nœuds "ouverts" :

Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...),Z1(...)} -itération 1- Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X2(...),Y2(...),Z2(...)} -itération 2- Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X3(...),Y3(...),Z3(...)} -itération 3- Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X4(...),Y4(...),Z4(...)} -itération 4-
Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...),Z1(...)} -itération 1- Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X2(...),Y2(...),Z2(...)} -itération 2- Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X3(...),Y3(...),Z3(...)} -itération 3- Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X4(...),Y4(...),Z4(...)} -itération 4-
Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...),Z1(...)} -itération 1- Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X2(...),Y2(...),Z2(...)} -itération 2- Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X3(...),Y3(...),Z3(...)} -itération 3- Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X4(...),Y4(...),Z4(...)} -itération 4-
Vide Vide La construction d'une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X3(...),Y3(...),Z3(...)} et basé sur un nœud '3-trèfle' torique 'ouvert' -itération 3- Vide
Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...),Z1(...)} et basé sur un nœud '3-trèfle' torique 'ouvert' -itération 1- Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X2(...),Y2(...),Z2(...)} et basé sur un nœud '3-trèfle' torique 'ouvert' -itération 2- Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X3(...),Y3(...),Z3(...)} et basé sur un nœud '3-trèfle' torique 'ouvert' -itération 3- Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X4(...),Y4(...),Z4(...)} et basé sur un nœud '3-trèfle' torique 'ouvert' -itération 4-
Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...),Z1(...)} et basé sur un nœud '3-trèfle' torique 'ouvert' -itération 1- Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X2(...),Y2(...),Z2(...)} et basé sur un nœud '3-trèfle' torique 'ouvert' -itération 2- Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X3(...),Y3(...),Z3(...)} et basé sur un nœud '3-trèfle' torique 'ouvert' -itération 3- Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X4(...),Y4(...),Z4(...)} et basé sur un nœud '3-trèfle' torique 'ouvert' -itération 4-
Vide Vide La construction d'une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X3(...),Y3(...),Z3(...)} et basé sur un nœud '3-trèfle' torique 'ouvert' -itération 3- Vide
Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...),Z1(...)} et basé sur un nœud '5-trèfle' torique 'ouvert' -itération 1- Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X2(...),Y2(...),Z2(...)} et basé sur un nœud '5-trèfle' torique 'ouvert' -itération 2- Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X3(...),Y3(...),Z3(...)} et basé sur un nœud '5-trèfle' torique 'ouvert' -itération 3- Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X4(...),Y4(...),Z4(...)} et basé sur un nœud '5-trèfle' torique 'ouvert' -itération 4-
Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...),Z1(...)} et basé sur un nœud '7-trèfle' torique 'ouvert' -itération 1- Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X2(...),Y2(...),Z2(...)} et basé sur un nœud '7-trèfle' torique 'ouvert' -itération 2- Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X3(...),Y3(...),Z3(...)} et basé sur un nœud '7-trèfle' torique 'ouvert' -itération 3- Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X4(...),Y4(...),Z4(...)} et basé sur un nœud '7-trèfle' torique 'ouvert' -itération 4-





3-Surfaces tridimensionnelles (Variétés bidimensionnelles) :

De nombreuses surfaces -variétés bidimensionnelles- dans un espace tridimensionnel peuvent être définies à l'aide d'un ensemble de trois équations : 
                    X = Fx(u,v)

                    Y = Fy(u,v)

                    Z = Fz(u,v)
avec : 
                    u ∈ [Umin,Umax]

                    v ∈ [Vmin,Vmax]
Par exemple : 
                    Fx(u,v) = R.sin(u).cos(v)

                    Fy(u,v) = R.sin(u).sin(v)

                    Fz(u,v) = R.cos(u)
avec : 
                     u ∈ [0,pi]

                     v ∈ [0,2.pi]
définit une sphère de rayon R centrée à l'origine.


[Umin,Umax]*[Vmin,Vmax] définit alors un domaine bidimensionnel rectangulaire D. 
                       v ^
                         |
                    V    |...... ---------------------------
                     max |      |+++++++++++++++++++++++++++|
                         |      |+++++++++++++++++++++++++++|
                         |      |+++++++++++++++++++++++++++|
                         |      |+++++++++++++++++++++++++++|
                         |      |+++++++++++++++++++++++++++|
                         |      |+++++++++++++++++++++++++++|
                         |      |+++++++++++++++++++++++++++|
                         |      |+++++++++++++++++++++++++++|
                         |      |+++++++++++++++++++++++++++|
                    V    |...... ---------------------------
                     min |      :                           :
                         |      :                           :
                         O------------------------------------------------->
                                U                           U              u
                                 min                         max



Définissons une courbe qui remplit le carré [0,1]x[0,1] : 
                         ^
                         |
                       1 |---------------
                         | +++++   +++++ |
                         | +   +   +   + |
                         | +   +++++   + |
                         | +           + |
                         | +++++   +++++ |
                         |     +   +     |
                         | +++++   +++++ |
                       0 O------------------------>
                         0               1


Il est trivial de définir une correspondance entre le carré [0,1]x[0,1] et le domaine [Umin,Umax]*[Vmin,Vmax] : 
                       v ^
                         |
                    V    |...... ---------------------------
                     max |      | ++++++++         ++++++++ |
                         |      | +      +         +      + |
                         |      | +      +         +      + |
                         |      | +      +++++++++++      + |
                         |      | +           C           + |
                         |      | ++++++++         ++++++++ |
                         |      |        +         +        |
                         |      |        +         +        |
                         |      | ++++++++         ++++++++ |
                    V    |...... ---------------------------
                     min |      :                           :
                         |      :                           :
                         O------------------------------------------------->
                                U                           U              u
                                 min                         max
Il suffit alors de ne visualiser que les points {Fx(u,v),Fy(u,v),Fz(u,v)} pour les couples {u,v} qui sont sur la courbe précédente C pour recouvrir la surface avec C....


Voici quelques exemples de ce processus :


Surface==>Courbe C==>Courbe recouvrant la surface


Une sphère -courbure positive- ==> Courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 7- ==> Une sphère décrite à l'aide d'une courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 7-
Une sphère -courbure positive- ==> La surjection bidimensionnelle [0,1] --> [0,1]x[0,1] de Peano -T défini avec 8 décimales- ==> Une sphère décrite à l'aide d'une courbe de Peano bidimensionnelle -8 décimales-
Une sphère -courbure positive- ==> Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X6(...),Y6(...)} -itération 6- ==> Une sphère décrite à l'aide d'une courbe du type Hilbert bidimensionnelle -itération 6-


Une sphère 'froissée' définie à l'aide de trois champs bidimensionnels ==> Courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 7- ==> Une sphère 'froissée' décrite à l'aide d'une courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 7-


Un tore ==> Courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 7- ==> Un tore décrite à l'aide d'une courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 7-
Un tore ==> La surjection bidimensionnelle [0,1] --> [0,1]x[0,1] de Peano -T défini avec 8 décimales- ==> Un tore décrite à l'aide d'une courbe de Peano bidimensionnelle -8 décimales-
Un tore ==> Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X6(...),Y6(...)} -itération 6- ==> Un tore décrite à l'aide d'une courbe du type Hilbert bidimensionnelle -itération 6-


Le ruban de Möbius ==> Courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 7- ==> Le ruban de Möbius décrit à l'aide d'une courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 7-
Le ruban de Möbius ==> La surjection bidimensionnelle [0,1] --> [0,1]x[0,1] de Peano -T défini avec 8 décimales- ==> Le ruban de Möbius décrit à l'aide d'une courbe de Peano bidimensionnelle -8 décimales-
Le ruban de Möbius ==> Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X6(...),Y6(...)} -itération 6- ==> Le ruban de Möbius décrit à l'aide d'une courbe du type Hilbert bidimensionnelle -itération 6-


La bouteille de Klein ==> Courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 7- ==> La bouteille de Klein décrite à l'aide d'une courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 7-
La bouteille de Klein ==> La construction de la courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 4- ==> La construction de la bouteille de Klein décrite à l'aide d'une courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 7-
La bouteille de Klein ==> La surjection bidimensionnelle [0,1] --> [0,1]x[0,1] de Peano -T défini avec 8 décimales- ==> La bouteille de Klein décrite à l'aide d'une courbe de Peano bidimensionnelle -8 décimales-
La bouteille de Klein ==> Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X6(...),Y6(...)} -itération 6- ==> La bouteille de Klein décrite à l'aide d'une courbe du type Hilbert bidimensionnelle -itération 6-
La bouteille de Klein ==> Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à la frontière de l'ensemble de Mandelbrot -itération 6- ==> La bouteille de Klein décrite à l'aide d'une courbe du type Hilbert bidimensionnelle -itération 6-
La bouteille de Klein ==> Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à la courbe de von Koch -itération 6- ==> La bouteille de Klein décrite à l'aide d'une courbe du type Hilbert bidimensionnelle -itération 6-
La bouteille de Klein ==> Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à la courbe de von Koch -itération 7- ==> La bouteille de Klein décrite à l'aide d'une courbe du type Hilbert bidimensionnelle -itération 7-
La bouteille de Klein ==> Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à une structure paradoxale périodique -itération 5- ==> La bouteille de Klein décrite à l'aide d'une courbe du type Hilbert bidimensionnelle -itération 5-
La bouteille de Klein ==> Une courbe non continue bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à une structure 'labyrinthique' périodique -itération 5- ==> La bouteille de Klein décrite à l'aide d'une courbe du type Hilbert non continue bidimensionnelle -itération 5-


La double bouteille de Bonan-Jeener ==> Courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 7- ==> La double bouteille de Bonan-Jeener décrite à l'aide d'une courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 7-
La double bouteille de Bonan-Jeener ==> La surjection bidimensionnelle [0,1] --> [0,1]x[0,1] de Peano -T défini avec 8 décimales- ==> La double bouteille de Bonan-Jeener décrite à l'aide d'une courbe de Peano bidimensionnelle -8 décimales-
La double bouteille de Bonan-Jeener ==> Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X6(...),Y6(...)} -itération 6- ==> La double bouteille de Bonan-Jeener décrite à l'aide d'une courbe du type Hilbert bidimensionnelle -itération 6-


Un 'plan fractal' avec surplombs défini à l'aide de trois champs bidimensionnels ==> Courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 7- ==> Un 'plan fractal' avec surplombs décrit à l'aide d'une courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 7-


Un 'plan fractal' avec surplombs défini à l'aide de trois champs bidimensionnels ==> Courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 7- ==> Un 'plan fractal' avec surplombs décrit à l'aide d'une courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 7-


Un 'plan fractal' avec surplombs défini à l'aide de trois champs bidimensionnels ==> Courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 7- ==> Un 'plan fractal' avec surplombs décrit à l'aide d'une courbe du type Hilbert bidimensionnelle -itération 6-


Représentation tridimensionnelle d'une variété quadridimensionnelle de Calabi-Yau ==> Courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 5- ==> Représentation tridimensionnelle d'une variété quadridimensionnelle de Calabi-Yau décrite à l'aide de 5x5 courbes de Hilbert bidimensionnelle -itération 5-






4-Variétés tridimensionnelles :

De nombreuses variétés tridimensionnelles dans un espace tridimensionnel peuvent être définies à l'aide d'un ensemble de trois équations : 
                    X = Fx(u,v,w)

                    Y = Fy(u,v,w)

                    Z = Fz(u,v,w)
avec : 
                    u ∈ [Umin,Umax]

                    v ∈ [Vmin,Vmax]

                    w ∈ [Wmin,Wmax]
[Umin,Umax]*[Vmin,Vmax]*[Wmin,Wmax] définit alors un domaine tridimensionnel rectangulaire D.


Il est trivial de généraliser le processus bidimensionnel précédent dans l'espace tridimensionnel...


Voici quelques exemples de ce processus :


Variété tridimensionnelle==>Courbe C==>Courbe remplissant la variété tridimensionnelle


Une Boule ==> Courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 2- ==> Une Boule décrite à l'aide d'une courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 2-
Une Boule ==> Courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 3- ==> Une Boule décrite à l'aide d'une courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 3-
Une Boule ==> Courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 4- ==> Une Boule décrite à l'aide d'une courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 4-
Une Boule ==> Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...),Z1(...)} -itération 1- ==> Une Boule décrite à l'aide d'une courbe tridimensionnelle du type Hilbert -itération 1-
Une Boule ==> Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X2(...),Y2(...),Z2(...)} -itération 2- ==> Une Boule décrite à l'aide d'une courbe tridimensionnelle du type Hilbert -itération 2-
Une Boule ==> Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X3(...),Y3(...),Z3(...)} -itération 3- ==> Une Boule décrite à l'aide d'une courbe tridimensionnelle du type Hilbert -itération 3-
Une Boule ==> Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X4(...),Y4(...),Z4(...)} -itération 4- ==> Une Boule décrite à l'aide d'une courbe tridimensionnelle du type Hilbert -itération 4-
Une Boule ==> Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...),Z1(...)} -itération 1- ==> Une Boule décrite à l'aide d'un hypercube -itération 1-
Une Boule ==> Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X2(...),Y2(...),Z2(...)} -itération 2- ==> Une Boule décrite à l'aide d'un hypercube -itération 2-
Une Boule ==> Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X3(...),Y3(...),Z3(...)} -itération 3- ==> Une Boule décrite à l'aide d'un hypercube -itération 3-
Une Boule ==> Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X4(...),Y4(...),Z4(...)} -itération 4- ==> Une Boule décrite à l'aide d'un hypercube -itération 4-
Une Boule ==> Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X2(...),Y2(...),Z2(...)} et basé sur un nœud '3-trèfle' torique 'ouvert' -itération 2- ==> Une Boule décrite à l'aide d'un nœud '3-trèfle' torique 'ouvert' -itération 2-
Une Boule ==> Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X3(...),Y3(...),Z3(...)} et basé sur un nœud '3-trèfle' torique 'ouvert' -itération 3- ==> Une Boule décrite à l'aide d'un nœud '3-trèfle' torique 'ouvert' -itération 3-
Une Boule ==> Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X4(...),Y4(...),Z4(...)} et basé sur un nœud '3-trèfle' torique 'ouvert' -itération 4- ==> Une Boule décrite à l'aide d'un nœud '3-trèfle' torique 'ouvert' -itération 4-


Un Hyper-Tore parallélépipédique ==> Courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 4- ==> Un Tore parallélépipédique décrit à l'aide d'une courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 4-
Un Hyper-Tore parallélépipédique ==> Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X4(...),Y4(...),Z4(...)} et basé sur un nœud '3-trèfle' torique 'ouvert' -itération 4- ==> Un Tore parallélépipédique décrit à l'aide d'un nœud '3-trèfle' torique 'ouvert' -itération 4-
Un Hyper-Tore parallélépipédique ==> Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X4(...),Y4(...),Z4(...)} -itération 4- ==> Un Tore parallélépipédique décrit à l'aide d'un hypercube -itération 4-


Une variété tridimensionnelle de Jeener-Möbius ==> Courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 4- ==> Une variété tridimensionnelle de Jeener-Möbius décrite à l'aide d'une courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 4-


Une variété tridimensionnelle de Jeener-Möbius ==> Courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 4- ==> Une variété tridimensionnelle de Jeener-Möbius décrite à l'aide d'une courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 4-
Une variété tridimensionnelle de Jeener-Möbius ==> Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X4(...),Y4(...),Z4(...)} et basé sur un nœud '3-trèfle' torique 'ouvert' -itération 4- ==> Une variété tridimensionnelle de Jeener-Möbius décrite à l'aide d'un nœud '3-trèfle' torique 'ouvert' -itération 4-






5-Au-delà :

Au lieu d'utiliser les courbes remplissantes pour remplir les domaines {u,v} et {u,v,w}, bi- et tridimensionnels, on peut évidemment utiliser n'importe quelle autre méthode et, par exemple, les mouvements browniens bi- et tridimensionnel respectivement....


Voici quelques exemples de ces processus généralisés :


Mouvement brownien bidimensionnel sur une sphère Mouvement brownien bidimensionnel sur un tore Mouvement brownien bidimensionnel sur le ruban de Möbius Mouvement brownien bidimensionnel sur la bouteille de Klein Mouvement brownien bidimensionnel sur la triple bouteille de Bonan-Jeener-Klein Mouvement brownien bidimensionnel sur la surface de Boy


Mouvement brownien bidimensionnel auto-évitant fermé sur une sphère Mouvement brownien bidimensionnel auto-évitant fermé sur un tore Mouvement brownien bidimensionnel auto-évitant fermé sur le ruban de Möbius Mouvement brownien bidimensionnel pseudo-auto-évitant fermé sur la bouteille de Klein Mouvement brownien bidimensionnel pseudo-auto-évitant fermé sur la triple bouteille de Bonan-Jeener-Klein Mouvement brownien bidimensionnel pseudo-auto-évitant fermé sur la surface de Boy
Mouvement brownien bidimensionnel auto-évitant fermé sur une sphère Mouvement brownien bidimensionnel auto-évitant fermé sur un tore Mouvement brownien bidimensionnel auto-évitant fermé sur le ruban de Möbius Mouvement brownien bidimensionnel pseudo-auto-évitant fermé sur la bouteille de Klein Mouvement brownien bidimensionnel pseudo-auto-évitant fermé sur la triple bouteille de Bonan-Jeener-Klein Mouvement brownien bidimensionnel pseudo-auto-évitant fermé sur la surface de Boy





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