Les courbes remplissantes de Hilbert et Peano et au-delà :
Des carrés et des cubes aux surfaces (variétés bidimensionnelles) et aux variétés tridimensionnelles

Jean-François COLONNA
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CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris, CNRS, France

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Contenu :

1-La surjection bidimensionnelle de Peano :
2-La surjection tridimensionnelle de Peano :
3-Les courbes de Hilbert bidimensionnelles :
4-Les courbes de Hilbert tridimensionnelles :
5-Surfaces tridimensionnelles (Variétés bidimensionnelles) :
6-Variétés tridimensionnelles :
7-Au-delà :

1-La surjection bidimensionnelle de Peano :

Giuseppe Peano a défini la surjection suivante :

                    [0,1] --> [0,1]x[0,1]

Soit T un nombre réel défini en base 3 :

                    T    = 0.A₁A₂A₃... ∈ [0,1] with A_i ∈ {0,1,2}

Soient X(T) et Y(T) deux fonctions réelles de T définie par :

                    X(T) = 0.B₁B₂B₃... ∈ [0,1] with B_i ∈ {0,1,2}

                    Y(T) = 0.C₁C₂C₃... ∈ [0,1] with C_i ∈ {0,1,2}

avec :

                    B_n = A_2n-1 if A₂+A₄+...+A_2n-0 is even

                    B_n = 2-A_2n-1 otherwise

                    C_n = A_2n if A₁+A₃+...+A_2n-1 is even

                    C_n = 2-A_2n otherwise

Ces deux fonctions X(T) et Y(T) définissent les coordonnées d'un point P(T) dans le carré [0,1]x[0,1]. La "courbe" visualisée -à l'aide de petites spères- est la trajectoire de P(T) lorsque T varie de 0 (en bas et à gauche) à 1-epsilon (en haut et à droite).

Voici les quatre premières courbes bidimensionnelles de Peano avec un nombre croissant de décimales {2,4,6,8} :

La surjection bidimensionnelle [0,1] --> [0,1]x[0,1] de Peano -T défini avec 2 décimales-

La surjection bidimensionnelle [0,1] --> [0,1]x[0,1] de Peano -T défini avec 4 décimales-

La surjection [0,1] --> [0,1]x[0,1] de Peano -T défini avec 6 décimales-

La surjection bidimensionnelle [0,1] --> [0,1]x[0,1] de Peano -T défini avec 8 décimales-

[Voir les couleurs utilisées pour visualiser le paramètre T]

2-La surjection tridimensionnelle de Peano :

Une surjection tridimensionnelle peut être définie :

                    [0,1] --> [0,1]x[0,1]x[0,1]

comme une généralisation de la version bidimensionnelle.

Soit T un nombre réel défini en base 3 :

                    T    = 0.A₁A₂A₃... ∈ [0,1] with A_i ∈ {0,1,2}

Soient X(T), Y(T) et Z(T) trois fonctions réelles de T définie par :

                    X(T) = 0.B₁B₂B₃... ∈ [0,1] with B_i ∈ {0,1,2}

                    Y(T) = 0.C₁C₂C₃... ∈ [0,1] with C_i ∈ {0,1,2}

                    Y(T) = 0.D₁D₂D₃... ∈ [0,1] with D_i ∈ {0,1,2}

avec :

                    B_n = A_3n-2 if A₃+A₆+...+A_3n-0 is even

                    B_n = 2-A_3n-2 otherwise

                    C_n = A_3n-1 if A₂+A₅+...+A_3n-1 is even

                    C_n = 2-A_3n-1 otherwise

                    D_n = A_3n if A₁+A₄+...+A_3n-2 is even

                    D_n = 2-A_3n otherwise

Ces trois fonctions X(T), Y(T) et Y(T) définissent les coordonnées d'un point P(T) dans le cube [0,1]x[0,1]x[0,1]. La "courbe" visualisée -à l'aide de petites spères- est la trajectoire de P(T) lorsque T varie de 0 (en bas et à gauche) à 1-epsilon (en haut et à droite).

Voici les trois premières courbes tridimensionnelles de Peano avec un nombre croissant de décimales {3,6,9} :

La surjection tridimensionnelle [0,1] --> [0,1]x[0,1]x[0,1] de Peano -T défini avec 3 décimales-

La surjection tridimensionnelle [0,1] --> [0,1]x[0,1]x[0,1] de Peano -T défini avec 6 décimales-

La surjection tridimensionnelle [0,1] --> [0,1]x[0,1]x[0,1] de Peano -T défini avec 9 décimales-

[Voir les couleurs utilisées pour visualiser le paramètre T]

3-Les courbes de Hilbert bidimensionnelles :

Soit C₁(T) une courbe paramétrique définie à l'aide de 2 fonctions réelles de T (T ∈ [0,1]) X₁(T) ∈ [0,1] et Y₁(T) ∈ [0,1] telles que :

                    X₁(T=0)=0 Y₁(T=0)=0 (coin en bas et à gauche)

                    X₁(T=1)=1 Y₁(T=1)=0 (coin en bas et à droite)

On définit ensuite une suite de courbes C_i(T) (i >= 1) de la façon suivante :

                    C_i(T) = {X_i(T),Y_i(T)} ∈ [0,1]x[0,1] --> C_i+1(T) = {X_i+1(T),Y_i+1(T)} ∈ [0,1]x[0,1]

                    if T ∈ [0,1/4[ :
                              X_i+1(T) =   Y_i(4T-0)
                              Y_i+1(T) =   X_i(4T-0)
                                                   Transformation 1

                    if T ∈ [1/4,2/4[ :
                              X_i+1(T) =   X_i(4T-1)
                              Y_i+1(T) = 1+Y_i(4T-1)
                                                   Transformation 2

                    if T ∈ [2/4,3/4[ :
                              X_i+1(T) = 1+X_i(4T-2)
                              Y_i+1(T) = 1+Y_i(4T-2)
                                                   Transformation 3

                    if T ∈ [3/4,1] :
                              X_i+1(T) = 2-Y_i(4T-3)
                              Y_i+1(T) = 1-X_i(4T-3)
                                                   Transformation 4

Il convient de noter que 4=2^d où d=2 est la dimension de l'espace.

Voir une courbe C₁(T)

Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} -itération 1-

spéciale afin de comprendre la signification géométrique des 4 transformations Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X2(...),Y2(...)} -itération 2-

Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X2(...),Y2(...)} -itération 2-

et de leur ordre Courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 1-

.

Voici les cinq premières courbes bidimensionnelles de Hilbert avec un nombre croissant d'itérations :

Courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 2-

Courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 3-

Courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 4-

Courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 5-

[Voir les couleurs utilisées pour visualiser le paramètre T]

Voir la construction de quelques unes d'entre-d'elles :

La construction de la courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 3-

La construction de la courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 4-

Voici quelques exemples de courbes bidimensionnelles de type Hilbert utilisant des courbes génératrices différentes :

Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X3(...),Y3(...)} -itération 3-

Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X4(...),Y4(...)} -itération 4-

Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X5(...),Y5(...)} -itération 5-

Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à la frontière de l'ensemble de Mandelbrot -itération 1-

Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à la frontière de l'ensemble de Mandelbrot -itération 2-

Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à la frontière de l'ensemble de Mandelbrot -itération 3-

Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à la frontière de l'ensemble de Mandelbrot -itération 4-

Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à la frontière de l'ensemble de Mandelbrot -itération 5-

Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à la courbe de von Koch -itération 1-

Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à la courbe de von Koch -itération 2-

Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à la courbe de von Koch -itération 3-

Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à la courbe de von Koch -itération 4-

Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à la courbe de von Koch -itération 5-

Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à une structure paradoxale périodique -itération 1-

Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à une structure paradoxale périodique -itération 2-

Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à une structure paradoxale périodique -itération 3-

Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à une structure paradoxale périodique -itération 4-

Une courbe bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à une structure paradoxale périodique -itération 5-

Une courbe non continue bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à une structure 'labyrinthique' périodique -itération 1-

Une courbe non continue bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à une structure 'labyrinthique' périodique -itération 2-

Une courbe non continue bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à une structure 'labyrinthique' périodique -itération 3-

Une courbe non continue bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à une structure 'labyrinthique' périodique -itération 4-

Une courbe non continue bidimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...)} liées à une structure 'labyrinthique' périodique -itération 5-

Voici le "mapping" de quelques images à l'aide d'une courbe bidimensionnelle de Hilbert : :

Sans Titre 0598 -un hommage à Robert & Sonia Delaunay-

==>
[itération 11]

==>
[itération 10]

==>
[itération 9]

Sans Titre 0265 -un hommage à Vassily Kandinsky-

==>
[itération 10]

4-Les courbes de Hilbert tridimensionnelles :

Soit C₁(T) une courbe paramétrique définie à l'aide de 3 fonctions réelles de T (T ∈ [0,1]) X₁(T) ∈ [0,1], Y₁(T) ∈ [0,1] et Z₁(T) ∈ [0,1] telles que :

                    X₁(T=0)=0 Y₁(T=0)=0 Z₁(T=0)=0 (coin en bas et à gauche au premier plan)

                    X₁(T=1)=1 Y₁(T=1)=0 Z₁(T=1)=0 (coin en bas et à droite au premier plan)

On définit ensuite une suite de courbes C_i(T) (i >= 1) de la façon suivante :

                    C_i(T) = {X_i(T),Y_i(T),Z_i(T)} ∈ [0,1]x[0,1]x[0,1] --> C_i+1(T) = {X_i+1(T),Y_i+1(T),Z_i+1(T)} ∈ [0,1]x[0,1]x[0,1]

                    if T ∈ [0,1/8[ :
                              X_i+1(T) =   X_i(8T-0)
                              Y_i+1(T) =   Z_i(8T-0)
                              Z_i+1(T) =   Y_i(8T-0)
                                                   Transformation 1

                    if T ∈ [1/8,2/8[ :
                              X_i+1(T) =   Z_i(8T-1)
                              Y_i+1(T) = 1+Y_i(8T-1)
                              Z_i+1(T) =   X_i(8T-1)
                                                   Transformation 2

                    if T ∈ [2/8,3/8[ :
                              X_i+1(T) = 1+X_i(8T-2)
                              Y_i+1(T) = 1+Y_i(8T-2)
                              Z_i+1(T) =   Z_i(8T-2)
                                                   Transformation 3

                    if T ∈ [3/8,4/8[ :
                              X_i+1(T) = 1+Z_i(8T-3)
                              Y_i+1(T) = 1-X_i(8T-3)
                              Z_i+1(T) = 1-Y_i(8T-3)
                                                   Transformation 4

                    if T ∈ [4/8,5/8[ :
                              X_i+1(T) = 2-Z_i(8T-4)
                              Y_i+1(T) = 1-X_i(8T-4)
                              Z_i+1(T) = 1+Y_i(8T-4)
                                                   Transformation 5

                    if T ∈ [5/8,6/8[ :
                              X_i+1(T) = 1+X_i(8T-5)
                              Y_i+1(T) = 1+Y_i(8T-5)
                              Z_i+1(T) = 1+Z_i(8T-5)
                                                   Transformation 6

                    if T ∈ [6/8,7/8[ :
                              X_i+1(T) = 1-Z_i(8T-6)
                              Y_i+1(T) = 1+Y_i(8T-6)
                              Z_i+1(T) = 2-X_i(8T-6)
                                                   Transformation 7

                    if T ∈ [7/8,1] :
                              X_i+1(T) =   X_i(8T-7)
                              Y_i+1(T) = 1-Z_i(8T-7)
                              Z_i+1(T) = 2-Y_i(8T-7)
                                                   Transformation 8

Il convient de noter que 8=2^d où d=3 est la dimension de l'espace.

Voir une courbe C₁(T)

Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...),Z1(...)} -itération 1-

spéciale afin de comprendre la signification géométrique des 8 transformations Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X2(...),Y2(...),Z2(...)} -itération 2-

Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X2(...),Y2(...),Z2(...)} -itération 2-

et de leur ordre Courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 1-

.

Voici les quatre premières courbes tridimensionnelles de Hilbert avec un nombre croissant d'itérations :

Courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 2-

Courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 3-

Courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 4-

[Voir les couleurs utilisées pour visualiser le paramètre T]

Voir la construction de l'une d'elles :

La construction de la courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 3-

Voici quelques exemples de courbes tridimensionnelles de type Hilbert utilisant des courbes génératrices différentes et en particulier des nœuds "ouverts" :

Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X3(...),Y3(...),Z3(...)} -itération 3-

Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X4(...),Y4(...),Z4(...)} -itération 4-

La construction d'une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X3(...),Y3(...),Z3(...)} et basé sur un nœud '3-trèfle' torique 'ouvert' -itération 3-

Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...),Z1(...)} et basé sur un nœud '3-trèfle' torique 'ouvert' -itération 1-

Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X2(...),Y2(...),Z2(...)} et basé sur un nœud '3-trèfle' torique 'ouvert' -itération 2-

Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X3(...),Y3(...),Z3(...)} et basé sur un nœud '3-trèfle' torique 'ouvert' -itération 3-

Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X4(...),Y4(...),Z4(...)} et basé sur un nœud '3-trèfle' torique 'ouvert' -itération 4-

Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...),Z1(...)} et basé sur un nœud '5-trèfle' torique 'ouvert' -itération 1-

Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X2(...),Y2(...),Z2(...)} et basé sur un nœud '5-trèfle' torique 'ouvert' -itération 2-

Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X3(...),Y3(...),Z3(...)} et basé sur un nœud '5-trèfle' torique 'ouvert' -itération 3-

Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X4(...),Y4(...),Z4(...)} et basé sur un nœud '5-trèfle' torique 'ouvert' -itération 4-

Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X1(...),Y1(...),Z1(...)} et basé sur un nœud '7-trèfle' torique 'ouvert' -itération 1-

Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X2(...),Y2(...),Z2(...)} et basé sur un nœud '7-trèfle' torique 'ouvert' -itération 2-

Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X3(...),Y3(...),Z3(...)} et basé sur un nœud '7-trèfle' torique 'ouvert' -itération 3-

Une courbe tridimensionnelle du type Hilbert définie avec {X4(...),Y4(...),Z4(...)} et basé sur un nœud '7-trèfle' torique 'ouvert' -itération 4-

[More information about Peano Curves and Infinite Knots -in english/en anglais-]
[Plus d'informations à propos des Courbes de Peano et des Nœuds Infinis -en français/in french-]

5-Surfaces tridimensionnelles (Variétés bidimensionnelles) :

De nombreuses surfaces -variétés bidimensionnelles- dans un espace tridimensionnel peuvent être définies à l'aide d'un ensemble de trois équations :

                    X = F_x(u,v)

                    Y = F_y(u,v)

                    Z = F_z(u,v)

avec :

                    u ∈ [U_min,U_max]

                    v ∈ [V_min,V_max]

Par exemple :

                    F_x(u,v) = R.sin(u).cos(v)

                    F_y(u,v) = R.sin(u).sin(v)

                    F_z(u,v) = R.cos(u)

avec :

                     u ∈ [0,pi]

                     v ∈ [0,2.pi]

définit une sphère de rayon R centrée à l'origine.

[U_min,U_max]*[V_min,V_max] définit alors un domaine bidimensionnel rectangulaire D.

                       v ^
                         |
                    V    |...... ---------------------------
                     max |      |+++++++++++++++++++++++++++|
                         |      |+++++++++++++++++++++++++++|
                         |      |+++++++++++++++++++++++++++|
                         |      |+++++++++++++++++++++++++++|
                         |      |+++++++++++++++++++++++++++|
                         |      |+++++++++++++++++++++++++++|
                         |      |+++++++++++++++++++++++++++|
                         |      |+++++++++++++++++++++++++++|
                         |      |+++++++++++++++++++++++++++|
                    V    |...... ---------------------------
                     min |      :                           :
                         |      :                           :
                         O------------------------------------------------->
                                U                           U              u
                                 min                         max

Définissons une courbe qui remplit le carré [0,1]x[0,1] :

                         ^
                         |
                       1 |---------------
                         | +++++   +++++ |
                         | +   +   +   + |
                         | +   +++++   + |
                         | +           + |
                         | +++++   +++++ |
                         |     +   +     |
                         | +++++   +++++ |
                       0 O------------------------>
                         0               1

Il est trivial de définir une correspondance entre le carré [0,1]x[0,1] et le domaine [U_min,U_max]*[V_min,V_max] :

                       v ^
                         |
                    V    |...... ---------------------------
                     max |      | ++++++++         ++++++++ |
                         |      | +      +         +      + |
                         |      | +      +         +      + |
                         |      | +      +++++++++++      + |
                         |      | +           C           + |
                         |      | ++++++++         ++++++++ |
                         |      |        +         +        |
                         |      |        +         +        |
                         |      | ++++++++         ++++++++ |
                    V    |...... ---------------------------
                     min |      :                           :
                         |      :                           :
                         O------------------------------------------------->
                                U                           U              u
                                 min                         max

Il suffit alors de ne visualiser que les points {F_x(u,v),F_y(u,v),F_z(u,v)} pour les couples {u,v} qui sont sur la courbe précédente C pour recouvrir la surface avec C....

Voici quelques exemples de ce processus :

Surface

==>

Courbe C

==>

Courbe recouvrant la surface

	==>		==>
	==>		==>
	==>		==>

Une sphère 'froissée' définie à l'aide de trois champs bidimensionnels

==>

Courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 7-

==>

Une sphère 'froissée' décrite à l'aide d'une courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 7-

	==>		==>
	==>		==>
	==>		==>

	==>		==>
	==>		==>
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	==>		==>
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	==>		==>
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	==>		==>

$Un 'plan fractal' avec surplombs défini à l'aide de trois champs bidimensionnels$

==>

$Un 'plan fractal' avec surplombs décrit à l'aide d'une courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 7-$

$Un 'plan fractal' avec surplombs défini à l'aide de trois champs bidimensionnels$

==>

$Un 'plan fractal' avec surplombs décrit à l'aide d'une courbe de Hilbert bidimensionnelle -itération 7-$

$Un 'plan fractal' avec surplombs défini à l'aide de trois champs bidimensionnels$

==>

$Un 'plan fractal' avec surplombs décrit à l'aide d'une courbe du type Hilbert bidimensionnelle -itération 6-$

Représentation tridimensionnelle d'une variété quadridimensionnelle de Calabi-Yau

==>

Représentation tridimensionnelle d'une variété quadridimensionnelle de Calabi-Yau décrite à l'aide de 5x5 courbes de Hilbert bidimensionnelle -itération 5-

6-Variétés tridimensionnelles :

De nombreuses variétés tridimensionnelles dans un espace tridimensionnel peuvent être définies à l'aide d'un ensemble de trois équations :

                    X = F_x(u,v,w)

                    Y = F_y(u,v,w)

                    Z = F_z(u,v,w)

avec :

                    u ∈ [U_min,U_max]

                    v ∈ [V_min,V_max]

                    w ∈ [W_min,W_max]

[U_min,U_max]*[V_min,V_max]*[W_min,W_max] définit alors un domaine tridimensionnel rectangulaire D.

Il est trivial de généraliser le processus bidimensionnel précédent dans l'espace tridimensionnel...

Voici quelques exemples de ce processus :

Variété tridimensionnelle

==>

Courbe C

==>

Courbe remplissant la variété tridimensionnelle

==>

Une Boule décrite à l'aide d'une courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 2-

==>

Une Boule décrite à l'aide d'une courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 3-

==>

Une Boule décrite à l'aide d'une courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 4-

==>

Une Boule décrite à l'aide d'une courbe tridimensionnelle du type Hilbert -itération 1-

==>

Une Boule décrite à l'aide d'une courbe tridimensionnelle du type Hilbert -itération 2-

==>

Une Boule décrite à l'aide d'une courbe tridimensionnelle du type Hilbert -itération 3-

==>

Une Boule décrite à l'aide d'une courbe tridimensionnelle du type Hilbert -itération 4-

==>

Une Boule décrite à l'aide d'un hypercube -itération 1-

==>

Une Boule décrite à l'aide d'un hypercube -itération 2-

==>

Une Boule décrite à l'aide d'un hypercube -itération 3-

==>

Une Boule décrite à l'aide d'un hypercube -itération 4-

==>

Une Boule décrite à l'aide d'un nœud '3-trèfle' torique 'ouvert' -itération 2-

==>

Une Boule décrite à l'aide d'un nœud '3-trèfle' torique 'ouvert' -itération 3-

==>

Une Boule décrite à l'aide d'un nœud '3-trèfle' torique 'ouvert' -itération 4-

==>

Un Tore parallélépipédique décrit à l'aide d'une courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 4-

==>

Un Tore parallélépipédique décrit à l'aide d'un nœud '3-trèfle' torique 'ouvert' -itération 4-

==>

Un Tore parallélépipédique décrit à l'aide d'un hypercube -itération 4-

Une variété tridimensionnelle de Jeener-Möbius

==>

Une variété tridimensionnelle de Jeener-Möbius décrite à l'aide d'une courbe de Hilbert tridimensionnelle -itération 4-

==>

Une variété tridimensionnelle de Jeener-Möbius décrite à l'aide d'un nœud '3-trèfle' torique 'ouvert' -itération 4-

7-Au-delà :

Au lieu d'utiliser les courbes remplissantes pour remplir les domaines {u,v} et {u,v,w}, bi- et tridimensionnels, on peut évidemment utiliser n'importe quelle autre méthode et, par exemple, les mouvements browniens bi- et tridimensionnel respectivement....

Voici quelques exemples de ces processus généralisés :

Mouvement brownien bidimensionnel sur une sphère

Mouvement brownien bidimensionnel sur un tore

Mouvement brownien bidimensionnel sur le ruban de Möbius

Mouvement brownien bidimensionnel sur la bouteille de Klein

Mouvement brownien bidimensionnel sur la triple bouteille de Bonan-Jeener-Klein

Mouvement brownien bidimensionnel sur la surface de Boy

Mouvement brownien bidimensionnel auto-évitant fermé sur une sphère

Mouvement brownien bidimensionnel auto-évitant fermé sur un tore

Mouvement brownien bidimensionnel auto-évitant fermé sur le ruban de Möbius

Mouvement brownien bidimensionnel pseudo-auto-évitant fermé sur la bouteille de Klein

Mouvement brownien bidimensionnel pseudo-auto-évitant fermé sur la triple bouteille de Bonan-Jeener-Klein

Mouvement brownien bidimensionnel pseudo-auto-évitant fermé sur la surface de Boy

Les courbes remplissantes de Hilbert et Peano et au-delà : Des carrés et des cubes aux surfaces (variétés bidimensionnelles) et aux variétés tridimensionnelles

Jean-François COLONNA [Contact me]

www.lactamme.polytechnique.fr

CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris, CNRS, France

1-La surjection bidimensionnelle de Peano :

2-La surjection tridimensionnelle de Peano :

3-Les courbes de Hilbert bidimensionnelles :

4-Les courbes de Hilbert tridimensionnelles :

5-Surfaces tridimensionnelles (Variétés bidimensionnelles) :

6-Variétés tridimensionnelles :

7-Au-delà :

Copyright © Jean-François COLONNA, 2023-2026. Copyright © CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641 / École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris, 2023-2026.

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