De la Dénombrabilité des Nombres Algébriques

(Polynômes à coefficients entiers, Nombres Premiers, Nombres Rationnels et Nombres Transcendants)






Jean-François COLONNA

www.lactamme.polytechnique.fr

jean-francois.colonna@polytechnique.edu
CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris, CNRS, 91120 Palaiseau, France

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Résumé : Comment "compter" les polynômes à coefficients entiers. Une relation entre les nombres premiers et les nombres transcendants.


Mots-Clefs : Polynomials, Polynômes, Prime Numbers, Nombres Premiers, Rational Numbers, Nombres Rationnels, Algebraic Numbers, Nombres Algébriques, Transcendent Numbers, Nombres Transcendants.



Soit P(X) un polynôme de degré n à coefficients entiers : 
                    P(X) = An*Xn + An-1*Xn-1 + An-2*Xn-2 + (...) + A2*X2 + A1*X1 + A0*X0

                    Ai ∈ Z ∀ i

                    An # 0


Ensuite, en utilisant les n+1 coefficients du polynôme, définissons le nombre rationnel unique (et "irréductible", c'est-à-non dire non simplifiable de par la définition même des nombres premiers) suivant : 
                    R = 2A0 * 3A1 * 5A2 * 7A3 (...)
où les nombres {F1=2,F2=3,F3=5,F4=7,...,Fn+1} sont les n+1 premiers nombres premiers Fi. Alors évidemment : 
                    R = a/b avec a ∈ N*,b ∈ N*,PGCD(a,b)=1
Par exemple : 
                                           ---------------------------------------
                                          |                                       |
                                          |       --------------------------      |
                                          |      |                          |     |
                                          |      |       -------------      |     |
                                          |      |      |             |     |     |
                    P(X) = X2 - X - 1 = + 1*X2 - 1*X1 - 1*X0 ==> R = 2-1 * 3-1 * 5+1 = 5/(2*3) = 5/6
(au passage, la racine positive de l'équation P(X)=0 définit le nombre d'or).

Le nombre R appartient donc à l'ensemble suivant : 
                    Q' = {a/b|a ∈ N*,b ∈ N*,PGCD(a,b)=1}


Inversement, n'importe quel nombre R dans Q' définit un unique polynôme à coefficients entiers.

Par exemple : 
                                             ---------------------------------------------------------------
                                            |                                                               |
                                            |     ---------------------------------------------------       |
                                            |    |                                                   |      |
                                            |    |     ----------------------------------------      |      |
                                            |    |    |                                        |     |      |
                                            |    |    |     ----------------------------       |     |      |
                                            |    |    |    |                            |      |     |      |
                                            |    |    |    |       --------------       |      |     |      |
                                            |    |    |    |      |              |      |      |     |      |
                    R = 22/7 = (2*11)/7 = 2+1 * 30 * 50 * 7-1 * 11+1 ==> P(X) = + 1*X4 - 1*X3 + 0*X2 + 0*X1 + 1*X0 = X4 - X3 + 1


Ce processus définit une bijection entre Q' et l'ensemble des polynômes à coefficients entiers. Q' étant un sous ensemble de Q (les nombres rationnels) et Q étant dénombrable, alors l'ensemble des polynômes à coefficients entiers est dénombrable.

Enfin, les racines réelles des polynômes à coefficients entiers définissent les nombres dits algébriques. Rappelons qu'un polynôme de degré n possède n racines complexes et donc au plus n racines réelles. Donc les nombres algébriques sont dénombrables (un résultat bien connu, obtenu ici au moyen des nombres premiers et des nombres rationnels).

Nota : Il est possible d'aller un cran plus loin en numérotant les racines (qu'elles soient réelles ou complexes) du polynôme P(X) : {1,2,...,n}. Alors, si M est le numéro d'une certaine racine, à la définition de R un nouveau facteur égal à Fn+2 élevé à la puissance M pourra être introduit. Cela crée alors une bijection entre les nombres rationnels et l'ensemble de l'"identité" (c'est-à-dire le numéro) des racines des polynômes à coefficients entiers. On notera que l'utilisation de la valeur des racines (au lieu de leur "identité") conduirait à renoncer à la bijection puisqu'en effet tout nombre algébrique peut être obtenu d'une infinité de façons différentes ; par exemple, toutes les équations K.X2-K.X-K=0 avec K#0 définissent les mêmes deux nombres rationnels (1+sqrt(5))/2 (le nombre d'or) et (1-sqrt(5))/2.



Rappelons une conséquence de ce résultat : les nombres transcendants sont non dénombrables et donc existent. En effet : 
NombresRéels = NombresAlgébriques ∪ NombresTranscendants

NombresAlgébriques ∩ NombresTranscendants = 0

Les Nombres Réels ne sont pas dénombrables et les Nombres algébriques sont dénombrables
d'où :

Les Nombres Transcendants ne sont pas dénombrables et donc existent






Annexe :

Voici les premiers nombres rationnels positifs "irréductibles" en utilisant le même ordre que celui utilisé pour démontrer leur dénombrabilité :


1/1: P(X) = 0 [*] 1/2: P(X) = -1 1/3: P(X) = -X 1/4: P(X) = -2 1/5: P(X) = -X2 1/6: P(X) = -X-1 1/7: P(X) = -X3 1/8: P(X) = -3
2/1: P(X) = +1 2/2=1/1 2/3: P(X) = -X+1 2/4=1/2 2/5: P(X) = -X2+1 2/6=1/3 2/7: P(X) = -X3+1
3/1: P(X) = +X 3/2: P(X) = +X-1 3/3=1/1 3/4: P(X) = +X-2 3/5: P(X) = -X2+X 3/6=1/2
4/1: P(X) = +2 4/2=2/1 4/3: P(X) = -X+2 4/4=1/1 4/5: P(X) = -X2+2
5/1: P(X) = +X2 5/2: P(X) = +X2-1 5/3: P(X) = +X2-X 5/4: P(X) = +X2-2
6/1: P(X) = +X+1 6/2=3/1 6/3=2/1
7/1: P(X) = +X3 7/2: P(X) = +X3-1
8/1: P(X) = +3


ou encore :


1/1: P(X) = 0 [*]
2/1: P(X) = +1 1/2: P(X) = -1
3/1: P(X) = +X 2/2=1/1 1/3: P(X) = -X
4/1: P(X) = +2 3/2: P(X) = +X-1 2/3: P(X) = -X+1 1/4: P(X) = -2
5/1: P(X) = +X2 4/2=2/1 3/3=1/1 2/4=1/2 1/5: P(X) = -X2
6/1: P(X) = +X+1 5/2: P(X) = +X2-1 4/3: P(X) = -X+2 3/4: P(X) = +X-2 2/5: P(X) = -X2+1 1/6: P(X) = -X-1
7/1: P(X) = +X3 6/2=3/1 5/3: P(X) = +X2-X 4/4=1/1 3/5: P(X) = -X2+X 2/6=1/3 1/7: P(X) = -X3
8/1: P(X) = +3 7/2: P(X) = +X3-1 6/3=2/1 5/4: P(X) = +X2-2 4/5: P(X) = -X2+2 3/6=1/2 2/7: P(X) = -X3+1 1/8: P(X) = -3


[*] : par convention


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