• 1.1-LE LANGAGE DE LA PHYSIQUE, UN "INSTRUMENT D'OPTIQUE" :
• 1.2-LA REALITE EN SOI ?
• 1.3-MAIS QUELLE EST LA FORME D'UN NUAGE ?

• 2.1-HISTORIQUE :
• 2.2-LA COURBE DE VON KOCH :
• 2.3-LE FINI, L'INFINI ET LES CONTRAINTES DE LA NATURE :
• 2.4-L'AUTOSIMILARITE :
• 2.5-LA DIMENSION FRACTALE :

• 6.1-LA NOTION DE NOMBRE D'ITERATIONS :
• 6.2-LE CALCUL :
• 6.3-LA REPRESENTATION :

1.1-LE LANGAGE DE LA PHYSIQUE, UN "INSTRUMENT D'OPTIQUE" :

La Physique aujourd'hui :



      +26
8.8 10    mètres




L'Univers observable et au-delà...

Les étoiles et les systèmes planétaires.

Turbulence et Chaos.

La Nature et la Vie, la Terre est notre Berceau.

La Complexité émergeant du Chaos.

Molécules, Atomes et Particules Elémentaires.




      -19
2.0 10    mètre




Terra Incognita (Mathematica ?)...




L'Espace-Temps, l'Echelle de Planck et au-delà...




      -35
1.6 10    mètre












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1.2-LA REALITE EN SOI ?












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1.3-MAIS QUELLE EST LA FORME (*) D'UN NUAGE ?

(*) : Au sens mathématique du terme...



Les géométries "classiques" ne peuvent répondre à cette question.

2.1-HISTORIQUE :

Du continu différentiable au continu non différentiable : Weierstrass, Cantor, Peano, Lebesgue, Hausdorff, Besicovitch, von Koch, Sierpinski,... Benoît Mandelbrot.


Dans la deuxième moitié du XXe siècle, l'ordinateur a joué un rôle important dans l'émergence de la Géométrie Fractale :

   










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2.2-LA COURBE DE VON KOCH :





Définition...










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2.3-LE FINI, L'INFINI ET LES CONTRAINTES DE LA NATURE :





Le fini et l'infini...







Les contraintes de la Nature (pour paraphraser Albert Einstein : "Dieu ne joue peut-être pas aux dés, mais il fait très certainement de la Géométrie fractale"...)










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2.4-L'AUTOSIMILARITE :





L'autosimilarité de la courbe de von Koch...









L'autosimilarité dans la nature...







et ailleurs...










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2.5-LA DIMENSION FRACTALE :

Soit K un cube de côté C (supposé entier et strictement supérieur à 1 pour simplifier). Son volume V est défini par :




V = C3	125 = 53
|| \/	|| \/
log(V) = 3 * log(C)	log(125) = 3 * log(5)
|| \/	|| \/
3 = log(V) / log(C)	3 = log(125) / log(5)



Mais :


• V est aussi le nombre N de cubes unité U contenu dans K (ou nombre de copies),
• C est aussi le rapport d'homothétie H permettant de passer de U à K,
• 3 est aussi la dimension D de K.

d'où :



D = log(V) / log(C)

|| \/

D = log(N) / log(H)



Cette définition de D peut-être étendue à tout objet et D est alors appelée dimension fractale.

Dans le cas de la courbe de von Koch :





                    N=4 (=nombre de copies)
                    H=3 (=rapport d'homothétie)

et ainsi :


D = log(4) / log(3)

Remarque :


                    1 < log(4)/log(3) = 1.261859507142915 < 2     ==>     "droite < courbe de von Koch < plan"







Quelques exemples d'objets classés par ordre de dimensions fractales croissantes :





0 : un point.	log(2)/log(3)=0.6309297535714574 : l'ensemble triadique de Cantor.	1 : une droite.	log(4)/log(3)=1.261859507142915 : la courbe de von Koch.	4/3=1.333333333333333 : l'enveloppe du mouvement brownien bidimensionnel.
3.2=1.5 : la courbe de Minkowski.	7/4=1.75 : le front fractal de diffusion bidimensionnel.	log(8)/log(3)=1.892789260714372 : le tapis de Sierpinski.	2 : courbe de Hilbert bidimensionnelle.	2 : un plan.
log(20)/log(3)=2.72683302786084 : l'éponge de Menger.	3 : courbe de Hilbert tridimensionnelle.	3 : l'espace tridimensionnel.

3-LA GEOMETRIE FRACTALE DETERMINISTE :

  

   

   

   

   

  

4-LA GEOMETRIE FRACTALE NON DETERMINISTE :

   

   

   

   

   

   

  

6-LES DIFFICULTES ET LES PROBLEMES :

6.1-LA NOTION DE NOMBRE D'ITERATIONS :








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6.2-LE CALCUL :








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6.3-LA REPRESENTATION :



  




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8-LA REALITE (ET LA SCIENCE DONC...), LA FRACTALE ULTIME ?