De la Dénombrabilité des Nombres Algébriques

(Polynômes à coefficients entiers, Nombres Premiers, Nombres Rationnels et Nombres Transcendants)




Sans Titre 0243

Jean-François Colonna
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CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris, CNRS, France

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Résumé : Comment "compter" les polynômes à coefficients entiers. Une relation entre les nombres premiers et les nombres transcendants.


Mots-Clefs : Polynomials, Polynômes, Prime Numbers, Nombres Premiers, Rational Numbers, Nombres Rationnels, Algebraic Numbers, Nombres Algébriques, Transcendent Numbers, Nombres Transcendants.



On sait depuis la fin du XIXe siècle, avec les travaux de Georg Cantor, que les nombres rationnels (Q) ainsi que les nombres algébriques (A) sont dénombrables, alors que les nombres réels (R) ne le sont pas. Il existe une bijection entre les entiers (N) et Q. Mais en ce qui concerne A, Georg Cantor n'a pas utilisé de bijection mais la notion de "hauteur" d'un polynôme définie comme la somme de son degré et de la valeur absolue de ses coefficients. Je présente ici une véritable bijection entre Q et A (et donc entre N et A) basée sur une numérotation utilisée par Kurt Gödel lors de ses travaux sur l'incomplétude et qui repose sur les nombres premiers.


Soit P(X) un polynôme de degré n à coefficients entiers : 
                    P(X) = A0*X0 + A1*X1 + A2*X2 + (...) + An-2*Xn-2 + An-1*Xn-1 + An*Xn

                    Ai ∈ Z ∀ i

                    An # 0
Ensuite, en utilisant les n+1 coefficients du polynôme, définissons le nombre rationnel unique (et "irréductible", c'est-à-non dire non simplifiable de par la définition même des nombres premiers) suivant : 
                    R = 2A0 * 3A1 * 5A2 * 7A3 * (...) * Fn+1An
où les nombres {F1=2,F2=3,F3=5,F4=7,...,Fn+1} sont les n+1 premiers nombres premiers Fi. Alors évidemment : 
                    R = a/b avec a ∈ N*,b ∈ N*,PGCD(a,b)=1
Par exemple : 
                                           ---------------------------------------
                                          |                                       |
                                          |       --------------------------      |
                                          |      |                          |     |
                                          |      |       -------------      |     |
                                          |      |      |             |     |     |
                    P(X) = X2 - X - 1 = + 1*X2 - 1*X1 - 1*X0 ==> R = 2-1 * 3-1 * 5+1 = 5/(2*3) = 5/6
(au passage, la racine positive de l'équation P(X)=0 définit le nombre d'or).

Le nombre R appartient donc à l'ensemble suivant : 
                    Q' = {a/b|a ∈ N*,b ∈ N*,PGCD(a,b)=1}


Inversement, n'importe quel nombre R dans Q' définit un unique polynôme à coefficients entiers.

Par exemple : 
                                             ---------------------------------------------------------------
                                            |                                                               |
                                            |     ---------------------------------------------------       |
                                            |    |                                                   |      |
                                            |    |     ----------------------------------------      |      |
                                            |    |    |                                        |     |      |
                                            |    |    |     ----------------------------       |     |      |
                                            |    |    |    |                            |      |     |      |
                                            |    |    |    |       --------------       |      |     |      |
                                            |    |    |    |      |              |      |      |     |      |
                    R = 22/7 = (2*11)/7 = 2+1 * 30 * 50 * 7-1 * 11+1 ==> P(X) = + 1*X4 - 1*X3 + 0*X2 + 0*X1 + 1*X0 = X4 - X3 + 1


Ce processus définit une bijection entre Q' et l'ensemble des polynômes à coefficients entiers. Q' étant un sous ensemble de Q (les nombres rationnels) et Q étant dénombrable, alors l'ensemble des polynômes à coefficients entiers est dénombrable.

Enfin, les racines réelles des polynômes à coefficients entiers définissent les nombres dits algébriques. Rappelons qu'un polynôme de degré n possède n racines complexes et donc au plus n racines réelles. Donc les nombres algébriques sont dénombrables (un résultat bien connu, obtenu ici au moyen des nombres premiers et des nombres rationnels).




Nota : Il est possible d'aller plus loin en numérotant {1,2,...,n} les racines du polynôme P(X), qu'elles soient réelles ou complexes. Alors, si M est le numéro d'une certaine racine, à la définition de R un nouveau facteur égal à Fn+2 élevé à la puissance M pourra être introduit : 
                    R = 2A0 * 3A1 * 5A2 * 7A3 * (...) * Fn+1An * Fn+2M
Alors, afin de pouvoir définir une bijection, il convient d'ajouter la condition suivante : 
                    PGCD(|A0|,|A1|,|A2|,(...),|An|)=1
En effet, si K est un nombre entier non nul arbitraire, alors les polynomes P(X) et K.P(X) ont évidemment les mêmes racines. Par exemple, toutes les équations K.X2-K.X-K=0 avec K#0 définissent les mêmes deux nombres rationnels (1+sqrt(5))/2 (le nombre d'or) et (1-sqrt(5))/2.

Cela crée alors une bijection entre les nombres rationnels et l'ensemble de l'"identité" (c'est-à-dire le numéro) des racines des polynômes à coefficients entiers.



Rappelons une conséquence de ce résultat : les nombres transcendants sont non dénombrables et donc existent. En effet : 
NombresRéels = NombresAlgébriques ∪ NombresTranscendants

NombresAlgébriques ∩ NombresTranscendants = 0

Les Nombres Réels ne sont pas dénombrables et les Nombres algébriques sont dénombrables
d'où :

Les Nombres Transcendants ne sont pas dénombrables et donc existent






Annexe :

Voici les premiers Nombres Rationnels positifs "irréductibles" (en gras) en utilisant le même ordre que celui utilisé pour démontrer leur dénombrabilité, puis les premiers Nombres Entiers :


1/1 : P(X) = 0 [*]1/2 : P(X) = -11/3 : P(X) = -X1/4 : P(X) = -21/5 : P(X) = -X21/6 : P(X) = -X-11/7 : P(X) = -X31/8 : P(X) = -3
2/1 : P(X) = +12/2=1/12/3 : P(X) = -X+12/4=1/22/5 : P(X) = -X2+12/6=1/32/7 : P(X) = -X3+1
3/1 : P(X) = +X3/2 : P(X) = +X-13/3=1/13/4 : P(X) = +X-23/5 : P(X) = -X2+X3/6=1/2
4/1 : P(X) = +24/2=2/14/3 : P(X) = -X+24/4=1/14/5 : P(X) = -X2+2
5/1 : P(X) = +X25/2 : P(X) = +X2-15/3 : P(X) = +X2-X5/4 : P(X) = +X2-2
6/1 : P(X) = +X+16/2=3/16/3=2/1
7/1 : P(X) = +X37/2 : P(X) = +X3-1
8/1 : P(X) = +3


ou en utilisant l'ordre des Nombres Rationnels :


1/1 : P(X) = 0 [*]
2/1 : P(X) = +11/2 : P(X) = -1
3/1 : P(X) = +X2/2=1/11/3 : P(X) = -X
4/1 : P(X) = +23/2 : P(X) = +X-12/3 : P(X) = -X+11/4 : P(X) = -2
5/1 : P(X) = +X24/2=2/13/3=1/12/4=1/21/5 : P(X) = -X2
6/1 : P(X) = +X+15/2 : P(X) = +X2-14/3 : P(X) = -X+23/4 : P(X) = +X-22/5 : P(X) = -X2+11/6 : P(X) = -X-1
7/1 : P(X) = +X36/2=3/15/3 : P(X) = +X2-X4/4=1/13/5 : P(X) = -X2+X2/6=1/31/7 : P(X) = -X3
8/1 : P(X) = +37/2 : P(X) = +X3-16/3=2/15/4 : P(X) = +X2-24/5 : P(X) = -X2+23/6=1/22/7 : P(X) = -X3+11/8 : P(X) = -3


ou encore en utilisant l'ordre des Nombres Entiers :


1 (1/1) : P(X) = 0 [*]
2 (1/2) : P(X) = -13 (2/1) : P(X) = +1
4 (1/3) : P(X) = -X5 ((2/2))=1/16 (3/1) : P(X) = +X
7 (1/4) : P(X) = -28 (2/3) : P(X) = -X+19 (3/2) : P(X) = +X-110 (4/1) : P(X) = +2
11 (1/5) : P(X) = -X212 ((2/4))=1/213 ((3/3))=1/114 ((4/2))=2/115 (5/1) : P(X) = +X2
16 (1/6) : P(X) = -X-117 (2/5) : P(X) = -X2+118 (3/4) : P(X) = +X-219 (4/3) : P(X) = -X+220 (5/2) : P(X) = +X2-121 (6/1) : P(X) = +X+1
22 (1/7) : P(X) = -X323 ((2/6))=1/324 (3/5) : P(X) = -X2+X25 ((4/4))=1/126 (5/3) : P(X) = +X2-X27 ((6/2))=3/128 (7/1) : P(X) = +X3
29 (1/8) : P(X) = -330 (2/7) : P(X) = -X3+131 ((3/6))=1/232 (4/5) : P(X) = -X2+233 (5/4) : P(X) = +X2-234 ((6/3))=2/135 (7/2) : P(X) = +X3-136 (8/1) : P(X) = +3


et enfin en utilisant l'ordre d'un sous-ensemble (évidemment dénombrable) des Nombres Entiers :


1 (1/1) : P(X) = 0 [*]
2 (1/2) : P(X) = -13 (2/1) : P(X) = +1
4 (1/3) : P(X) = -X 6 (3/1) : P(X) = +X
7 (1/4) : P(X) = -28 (2/3) : P(X) = -X+19 (3/2) : P(X) = +X-110 (4/1) : P(X) = +2
11 (1/5) : P(X) = -X2   15 (5/1) : P(X) = +X2
16 (1/6) : P(X) = -X-117 (2/5) : P(X) = -X2+118 (3/4) : P(X) = +X-219 (4/3) : P(X) = -X+220 (5/2) : P(X) = +X2-121 (6/1) : P(X) = +X+1
22 (1/7) : P(X) = -X3 24 (3/5) : P(X) = -X2+X 26 (5/3) : P(X) = +X2-X 28 (7/1) : P(X) = +X3
29 (1/8) : P(X) = -330 (2/7) : P(X) = -X3+1 32 (4/5) : P(X) = -X2+233 (5/4) : P(X) = +X2-2 35 (7/2) : P(X) = +X3-136 (8/1) : P(X) = +3


[*] : par convention




[Voir les commentaires de ChatGPT 5 et Claude.]


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