Les Nombres et la Lumière

Jean-François COLONNA

www.lactamme.polytechnique.fr

jean-francois.colonna@polytechnique.edu
CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, Ecole Polytechnique, CNRS, 91128 Palaiseau Cedex, France

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[The Y2K bug [Le bug de l'an 2000]]
[Croyez-vous que les Nombres Réels existent dans un ordinateur et que les calculs flottants sont sûrs ?]
[N'oubliez pas de visiter Une Machine Virtuelle à explorer l'Espace-Temps et au-delà où vous trouverez plusieurs milliers d'images et d'animations à la frontière de l'Art et de la Science]
(Site WWW CMAP28 : cette page a été créée le 08/08/2009 et mise à jour le 11/09/2020 10:56:37 -CEST-)

Mots-Clefs : A2M, An 2000, Bogue, Bug, Bugix, Millenium Bug, Year 2000 Problem, Y2K, Y2K Bug, Anaglyphes, Art et Science, Autostéréogrammes, Chaos Déterministe, Création Artistique, Entrelacs, Erreurs d'arrondi, Expérimentation Virtuelle, Génie Logiciel, Géométrie Fractale, Infographie, Mathématiques, Mécanique Céleste, Mécanique Quantique, Physique, Sensibilité aux Erreurs d'Arrondi, Simulation Numérique, Stéréogrammes, Synthèse de Phénomènes Naturels, Synthèse de Texture, Visualisation Scientifique, Voyage Virtuel dans l'Espace-Temps.

J'ai commencé ma carrière en 1970. A cette époque les ordinateurs occupaient des salles entières alors que leur capacité mémoire était de l'ordre de quelques dizaines de milliers d'octets et les fréquences d'horloge de l'ordre du méga-hertz ! L'entrée des instructions et des données se faisait à l'aide de fragiles cartes perforées, alors que la sortie des résultats utilisait des imprimantes alphanumériques bruyantes : point d'écran couleur et encore moins de souris à cette époque ! Les programmes que l'on développait sur ces machines était en général très dépendant des systèmes utilisés : ici encore, point de Linux et de langages évolués...

Mes premières recherches concernèrent l'Enseignement Assisté par Ordinateur. La machine acquise à cette occasion avait une mémoire de 32 Ko et initialement trois disques durs de 500 Ko chacun ! Aucun logiciel n'était disponible sur cette machine, mis à part un simple assembleur : tout était donc à faire. La première étape fut donc de concevoir un système d'exploitation (CMS4) : malgré les très sévères limitations, il fut conçu comme un réseau d'une centaine de machines virtuelles responsables chacune d'un service élémentaire (gestion d'un périphérique d'entrée-sortie, d'un fichier ou encore d'un utilisateur,...) permettant une utilisation multi-tâches et multi-utilisateurs. La seconde étape fut celle des applications, afin de permettre la description et la diffusion des cours. Les terminaux-élève se composaient chacun d'un écran graphique Tektronix alimenté en informations par l'ordinateur et d'un téléviseur couleur recevant des séquences vidéos stockées sur un ensemble de magnétoscopes télécommandés. Les cours étaient donc multi-médias et décrits dans l'ordinateur sous la forme de graphes ordonnançant interactivement l'ordre d'apparition des différents items. Afin de ne pas se limiter à des présentations textuelles, un langage graphique tridimensionnel interprétatif (G3) fut conçu à cette occasion : chose impensable aujourd'hui, son interpréteur, écrit en assembleur, n'occupait qu'un seul kilo-octet et malgré cela, comme le montrent les figures 1, 2 et 3, il permettait déjà la conception de documents fort complexes.

Rapidement se posa le problème de la conception des séquences vidéos. Evidemment cet ordinateur (comme aucun autre à cette époque...) n'était pas prévu pour cela, en particulier au niveau matériel. Notant le parallèle qui pouvait être fait entre la structure d'un disque (fait de pistes elles-mêmes découpées en un certain nombre de secteurs) et celle d'une image (faite de lignes elles-mêmes composées de points), je décidai de convertir l'un des coupleurs disque en un générateur vidéo. Cela pris quelques jours et les premières images vidéos numériques sortirent de la machine ; leur définition ferait sourire aujourd'hui : 256x256 points noir ou blanc, mais ce furent des instants magiques. N'importe quelle zone de la mémoire de l'ordinateur pouvait servir de frame buffer ; il était donc aussi possible de visualiser un programme, voire le système d'exploitation lui-même, en cours de fonctionnement ! La réalisation d'images en couleurs était alors plus délicate : il fallait procéder à la superposition de trois images noir et blanc (coloriées à l'aide de filtres rouge, vert et bleu respectivement) sur une pellicule photographique. C'est ainsi que furent produites les images de la figure 4. La sortie et l'entrée de sons numériques furent introduits peu après et des outils d'associations sons-images réalisés pour exploiter cela.

Les années qui suivirent virent la réalisation de nombreux programmes, l'introduction de la vidéo animée en couleurs, mais surtout un "glissement" important s'effectua, conduisant mes recherches de l'Enseignement Assisté par Ordinateur à la Visualisation Scientifique. En effet, d'une part mes activités avaient lieu au cœur des laboratoires de recherche de l'Ecole Polytechnique et d'autre part arrivaient sur le marché des ordinateurs toujours plus puissants (les super-ordinateurs). Ils permettaient de traiter des problèmes toujours plus complexes ; mais calculant plus rapidement, ils produisaient évidemment plus de résultats numériques. Autant, il peut paraître raisonnable d'imprimer une dizaine, voire une centaine, de valeurs numériques, autant cela est pure folie s'il s'agit de plusieurs milliards de nombres ! L'idée naturelle fut donc de convertir ces chiffres en images animées (parce que les modèles mathématiques de la physique sont généralement dynamiques) et en couleur (afin de pouvoir véhiculer le maximum d'informations), profitant de l'expérience acquise antérieurement.

Simultanément, une "catastrophe" se produisit : tous les développements logiciels faits jusqu'alors l'avait été en assembleur sur un système très spécifique. La nécessité de renouveler les équipements posait donc un sérieux problème. Je décidai de reprendre tout à zéro sur une base UNIX (aujourd'hui Linux) et pour ne plus jamais me trouver confronter à de telles difficultés (même sous UNIX/Linux où des problèmes de portabilité peuvent être rencontrés !), je conçu un système virtuel et portable incluant en particulier un langage de programmation et son traducteur en C. A cette occasion, le Génie Logiciel (Software Engineering) devint un autre de mes sujets de recherche [Plus d'informations à ce propos] et la pérennité de tout "objet" informatique (programme, image,...) l'une de mes préoccupations majeures.

Contrairement à une vue simpliste des choses, la Visualisation Scientifique, n'est pas un simple sous-ensemble de la Synthèse d'image. En particulier elle demande bien souvent de représenter des "objets" qui n'ont pas d'images (une particule élémentaire, par exemple), de répondre à des questions apparemment stupide ("quelle est la couleur d'une pression ?", voir la figure 5) ou encore de travailler dans des espaces à plus de trois dimensions (voir la figure 6).

Malgré ces difficultés, l'union de la Physique avec les Mathématiques et l'Informatique (incluant la synthèse d'image) a permis de mettre en œuvre le concept d'Expérimentation Virtuelle. En effet, quoi qu'elles soient (Réalité Ultime ou "simple" création de l'esprit humain), les Mathématiques semblent bien être le langage de la Nature. Ainsi, des plus petites échelles (figure 7) aux plus grandes (figure 8), des équations -en général fort complexes- décrivent l'évolution des systèmes étudiés par les physiciens. Traduites en programmes, elles peuvent être ensuite résolues à l'aide d'ordinateurs et leurs solutions présentées aux chercheurs sur un écran. Une boucle de rétroaction se crée alors entre ces "expérimentateurs virtuels" et leurs modèles. Ainsi, à condition de disposer de modèles valides, des expériences autrement irréalisables (comme "jouer" avec l'Univers) deviennent virtuellement possibles. Malheureusement, l'outil informatique n'est pas neutre : cela fut déjà signalé en ce qui concerne la mise en images des résultats numériques (revoir la figure 5). Mais l'ordinateur, machine à la fois finie et discrète, ne peut pas manipuler correctement les nombres réels essentiels à la physique ; ignorer cela peut parfois conduire à des catastrophes [Plus d'informations à ce sujet].

Donnons deux exemples. Le premier est emprunté à la Mécanique Céleste : Nos sens semblent nous dire que notre Terre est immobile dans l'espace. Pendant longtemps cette vision du système solaire (dite géocentrique) fut considérée comme la réalité et décrite par le modèle des épicycles de Ptolémée (voir la figure 9). Mais les progrès accomplis en matière d'observation et de mesure eurent raison de cette description. En 1543, le moine polonais Nicolas Copernic (De revolutionibus orbium caelestium libri VI) mit le Soleil au centre du système solaire, faisant par là-même de notre Terre une planète comme les autres. Puis en 1609, Johannes Kepler (Astronomia Nova) décrivit la trajectoire des planètes par des ellipses dont l'un des deux foyers était le Soleil, ainsi que le montre la figure 10. Enfin, en 1687, Sir Isaac Newton publia ses fameux Philisophiae Naturalis Principia Mathematica dans lesquels les lois de la mécanique classique firent leur apparition. Cette différence entre les mouvements subjectif et objectif (problème de mouvement relatif) n'est évidemment pas propre aux astronomes de la Terre. Il est donc intéressant de voir le ciel qui serait observé depuis les autres planètes, voire depuis des points de vue très différents. Ainsi la figure 11 montre l'évolution de la perception du système solaire en se déplaçant de Pluton au Soleil, alors que la figure 12 fait appel à une planète fictive éloignée du Soleil et située en dehors du plan de la trajectoire de la Terre (dit plan de l'écliptique). Plusieurs leçons peuvent être tirées de ces "expériences virtuelles". D'une part pour certains systèmes les notions d'ordre et de désordre peuvent être relatives. En effet, ainsi que le montre la figure 12, les trajectoires des planètes du système solaire sont en réalité des ellipses (la situation est ordonnée et régulière), alors que des trajectoires complexes, entrelacées et irrégulières peuvent être observées (la situation semble alors désordonnée et irrégulière). D'autre part, l'observation des cieux a été au cours des millénaires un moteur essentiel de notre évolution en ce qui concerne les sciences, la philosophie et les religions ; où en serait aujourd'hui notre civilisation si notre Terre avait été située, telle la planète fictive de la figure 12, en dehors du plan de l'écliptique et plus loin du Soleil (en supposant que la vie ait pu s'y développer) ?

Le second exemple est "plus proche" de nous et concerne bon nombre de phénomènes naturels. Autant il est facile de comprendre que la description de phénomènes réguliers tel le mouvement des planètes du système solaire puisse être de nature mathématique, autant il est difficile d'imaginer qu'il puisse en être de même, par exemple, pour les nuages et les montagnes. Et pourtant c'est bien le miracle accomplit par Benoît Mandelbrot lorsqu'il introduisit la Géométrie Fractale. Cette dernière permet la mathématisation de la description de ces phénomènes et donc, par exemple, la production virtuelle de paysages imaginaires comme le montrent les figures 13 et 14.

Mais les Mathématiques ne se contentent pas d'être ce "découvreur de Réalité" illustré très brièvement ci-dessus, elles sont aussi un fascinant d'outil de création artistique. D'une part les images issues des expériences virtuelles peuvent être détournées de leur vocation première et leurs sujets regardés comme des sources d'inspiration artistique (voir les figures 15 et 16) et d'autre part, de la même façon qu'un compas permet de tracer des cercles, il est possible de définir des outils mathématiques permettant d'engendrer des objets a priori inimaginables (voir les figures 17 et 18).

Jacques Hadamard, mathématicien français du XX-ième siècle, disait, en parlant de la pratique des Mathématiques : "généraliser pour simplifier". Aujourd'hui, je fais mien ce précepte et l'applique aussi à l'art de la programmation. Et c'est ce vers quoi m'entrainent mes recherches actuelles : définir des outils mathématiques et informatiques les plus généraux possibles et ensuite "jouer" avec, afin d'en explorer les potentiels scientifique et artistique.

FIGURE 1 :

Trois pages extraites d'un document décrivant le système d'exploitation CMS4 (1974).

FIGURE 2 :

Quelques structures paradoxales et autres (1974).

FIGURE 3 :

Hommage à Botticelli et à Bruegel l'Ancien (1974).

FIGURE 4 :

Mes premières images en couleur (1974).

FIGURE 5 :

Un seul et unique champ scalaire bidimensionnel -une matrice- représenté à l'aide de quatre palettes de couleurs différentes. L'observateur semble avoir sous les yeux quatre "objets" différents et "orthogonaux" (incompatibles) entre-eux (1993) !

FIGURE 6 :

Rotation d'une section tridimensionelle d'un ensemble de Julia calculé dans le corps quadri-dimensionnel des quaternions (1995).

FIGURE 7 :

4x3 stéréogrammes d'une variété de Calabi-Yau à l'échelle de Planck (2001).

FIGURE 8 :

Vision artistique du "Big Bang" (1996).

FIGURE 9 :

Le système solaire géocentrique, c'est-à-dire dans lequel la Terre est située au centre et donc immobile (corps bleu). Le mouvement du Soleil (corps jaune le plus gros) est quasiment circulaire, alors que les planètes (pour simplifier seules Mercure, Vénus et Mars sont représentées) décrivent des trajectoires beaucoup plus complexes possédant des boucles dites de rétrogradation.

FIGURE 10 :

Le système solaire héliocentrique, c'est-à-dire dans lequel le Soleil est situé au centre et donc immobile. Comme sur la figure 9, seules les quatre premières planètes -Mercure, Vénus, la Terre et Mars- sont représentées. Elles décrivent toutes (la planète bleue -la Terre- y compris) des trajectoires elliptiques (quasiment circulaires).

FIGURE 11 :

En se déplacant du Soleil (image en haut et à droite) à Pluton (image en bas et à gauche), l'observateur voit les ellipses dites képleriennes se déformer en des courbes de plus en plus complexes et entrelacées. Mais tout cela n'est qu'apparence, les planètes continuant évidemment à décrire leurs trajectoires elliptiques (1997).

FIGURE 12 :

Dans le système solaire réel (le plan de l'écliptique apparaît nettement, alors que celui de Pluton est incliné par rapport à ce dernier) une planète fictive (elle est coloriée en vert clair afin d'être distinguée facilement des planètes réelles) est introduite en respectant la troisième lois de Képler (le carré de la période de révolution est proportionnel au cube de la mesure du grand axe).

Les trajectoires apparentes des planètes réelles du système solaire telles qu'elles seraient observées depuis la planète fictive (verte) de la figure precedente. Seul le Soleil semble décrire une trajectoire régulière (anneau jaune), alors que pour toutes les planètes le bel ordre des épicycles de Ptolémée disparaît complètement pour laisser la place à une forme de chaos qualifiable de virtuel. Ainsi pour ce système, la notion d'ordre est relative (à la position de l'observateur).