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Images des Mathématiques (IdM/CNRS)

[Galerie (82 images différentes) : Images des Mathématiques (IdM/CNRS)]

Jean-François COLONNA
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CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris, CNRS, France

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Images des Mathématiques (IdM/CNRS) [Images des Mathématiques (IdM/CNRS)]:

Mathematics [Mathématiques]	Deterministic Fractal Geometry [Géométrie Fractale Déterministe]	Non Deterministic Fractal Geometry [Géométrie Fractale Non Déterministe]	Tilings [Pavages]	Celestial Mechanics [Mécanique Céleste]
Quantum Mechanics [Mécanique Quantique]	Miscellaneous [Divers]

IdM/CNRS [IdM/CNRS]:

Mathematics [Mathématiques]:

The relief -modulus- of the function e^1/z with argument mapping [La fonction e^1/z est définie dans le plan complexe. En chaque point z de ce plan, le module et l'argument de cette fonction sont visualisés respectivement par une troisième dimension orthogonale au plan et des couleurs].	Tridimensional display of the Riemann Zeta function inside [-50.0,+50.0]x[-50.0,+50.0] (bird's-eye view) [La fonction Zêta de Riemann est fondamentale pour l'étude de la distribution des nombres premiers. Définie dans le plan complexe, elle possède deux type de zéros: d'une part les triviaux qui sont les entiers pairs strictement négatifs. D'autre part les non triviaux qui semblent être tous localisés sur la droite x=1/2. Ce problème appelé hypothèse de Riemann n'est toujours pas résolu.].	The Goldbach Conjecture -the Goldbach Comet or the Goldbach Rainbow- for the even numbers from 6 to 411678 [Christian Goldbach et Leonhard Euler remarquèrent en 1742 que tout nombre pair supérieur ou égal à 4 semblait pouvoir s'écrire d'au moins une façon comme la somme de deux nombres premiers. Ce problème appelé conjecture de Goldbach n'est toujours pas résolu. Cette figure (l'arc-en ciel de Goldbach) montre sur l'axe vertical le nombre de décompositions des nombres pairs portés sur l'axe horizontal. On voit nettement que ce nombre augmente, mais cela ne constitue pas une démonstration! Les calculs faits sur ordinateur n'ont pas révélé de contre-exemple, mais n'oublions pas que la plupart des nombres entiers nous sont inacessibles...].	The Legendre Conjecture with 0 < n < 201 [La conjecture de Legendre énonce que pour tout entier n, il existe au moins un nombre premier entre (n)² et (n+1)². Sur cette image n parcourt [1,200] et sur chaque segment vertical gris sont visualisés par une boule en couleurs les nombres premiers entre (n)² et (n+1)²].	The Syracuse Conjecture for U(0)={5,6,7,8,...,132} -'pseudo-ramdom walk' display: 'The Syracuse Pulsar'- ['Le Pulsar de Syracuse': la conjecture de Syracuse énonce que pour tout entier n, la suite U₀=n, U_n+1=U_n/2 si n est pair et U_n+1=3*U_n+1 dans le cas contraire aboutit nécessairement au cycle {4,2,1}. Sur cette image n parcourt [5,132] et chaque suite U_n est visualisée comme une 'pseudo-marche aléatoire'].
3-foil torus knot on its torus [Un Nœud de trèfle peut être construit en traçant sur un tore une courbe correspondant à une droite de pente rationnelle 'simple' dans son espace de paramétrage {u,v} (-3/2 pour cette image) ce qui donne simultanément un ruban de ruban de Möbius à un demi-tour].	5-foil torus knot on its torus [Un Nœud de trèfle peut être construit en traçant sur un tore une courbe correspondant à une droite de pente rationnelle 'simple' dans son espace de paramétrage {u,v} (-5/2 pour cette image) ce qui donne simultanément un ruban de ruban de Möbius à trois demi-tours].	7-foil torus knot on its torus [Un Nœud de trèfle peut être construit en traçant sur un tore une courbe correspondant à une droite de pente rationnelle 'simple' dans son espace de paramétrage {u,v} (-7/2 pour cette image) ce qui donne simultanément un ruban de ruban de Möbius à cinq demi-tours].	Generation of the 63 first Conway's surreal numbers [Génération des 63 premiers nombres surréels de Conway].	Generation of the 63x63 first Conway's surreal complex numbers [Génération des 63x63 premiers nombres complexes surréels de Conway].
Causal set obtained by means of an homogeneous random meshing of a cube [Maillage aléatoire homogène d'un cube évoquant la notion d'ensemble causal apparaissant dans certains modèles de gravitation quantique].	An elementary monodimensional binary cellular automaton -110- with 1 white starting point -bottom right- [L'automate cellulaire binaire monodimensionnel de numéro 110 qui, d'après Matthew Cook, peut être utilisé comme une Machine de Turing universelle lorsque les bonnes conditions initiales lui sont fournies sur la ligne du bas].	8 evenly distributed points on a sphere by means of simulated annealing [8 points répartis équitablement sur une sphère ne sont pas aux sommets d'un cube comme le montre cette méthode de recuit simulé].	$Wavelet transform of a bidimensional fractal field (bird's-eye view)$ Wavelet transform of a bidimensional fractal field (bird's-eye view) [Visualisation du module -en couleurs- et des lignes de phase nulle -en blanc- de la transformée en ondelettes de Morlet d'un champ fractal bidimensionnel représenté par la troisième dimension].

Deterministic Fractal Geometry [Géométrie Fractale Déterministe]:

$Tridimensional fractal cross -iteration 5-$ Tridimensional fractal cross -iteration 5- [Croix fractale tridimensionnelle].	The first four iterations of the construction of the von Koch snowflake [Le flocon de von Koch s'obtient en partant d'un triangle équilatéral. Chacun de ses côtés est remplacé par une figure faite de quatre segments trois fois plus petits. Ce processus est ensuite itéré indéfiniment (4 fois sur cette image).].	The Sierpinski Carpet -iteration 1 to 5- [Le tapis de Sierpinski s'obtient en partant d'un carré que l'on découpe en 3x3 petits carrés, puis en supprimant celui qui est au centre et enfin en itérant ce processus indéfiniment (5 fois sur cette image). L'objet obtenu possède une dimension fractale égale à log(8)/log(3)=1.8927...].	The Menger Sponge -iteration 5- [L'éponge de Menger s'obtient en partant d'un cube que l'on découpe en 3x3x3 petits cubes, puis en supprimant celui qui est au centre, ainsi que les six qui sont au milieu des six faces et enfin en itérant ce processus indéfiniment (5 fois sur cette image). L'objet obtenu possède une dimension fractale égale à log(20)/log(3)=2.7268...].	An amazing cross-section inside the Menger Sponge -iteration 5- [Une coupe très étonnante dans l'itération 5 de l'éponge de Menger suivant le plan 2X-2Y+2Z-1=0, l'origine des coordonnées étant au centre de l'éponge et les trois axes étant parallèles aux côtés des cubes].
An amazing cross-section inside the Menger Sponge -iteration 5- with a (4xO+1)/(1xO-1) conformal transformation in the octonionic space -tridimensional cross-section- [Une coupe très étonnante dans l'éponge de Menger suivant le plan 2X-2Y+2Z-1=0, l'origine des coordonnées étant au centre de l'éponge et les trois axes étant parallèles aux côtés des cubes et une transformation conforme].	Bidimensional Hilbert Curve -iterations 1 to 5- [Lors de ses travaux sur les infinis, Georg Cantor a démontré que R, R², R³,... avaient le même cardinal. Cela a ouvert la porte aux courbes passant par tous les points d'un carré. Cette image montre 5 itérations du processus de construction d'une telle courbe due a Hilbert].	Tridimensional Hilbert Curve -iterations 1 to 3- [Lors de ses travaux sur les infinis, Georg Cantor a démontré que R, R², R³,... avaient le même cardinal. Cela a ouvert la porte aux courbes passant par tous les points d'un cube. Cette image montre 3 itérations du processus de construction d'une telle courbe due a Hilbert].	A Tridimensional Hilbert-like Curve base on an 'open' 3-foil torus knot -iteration 2- [Lors de ses travaux sur les infinis, Georg Cantor a démontré que R, R², R³,... avaient le même cardinal. Cela a ouvert la porte aux courbes passant par tous les points d'un cube. Cette image montre 2 itérations du processus de construction d'une telle courbe basé sur un nœud de trèfle 'ouvert'].	A sphere described by means of a Bidimensional Hilbert Curve -iteration 7- [Lors de ses travaux sur les infinis, Georg Cantor a démontré que R, R², R³,... avaient le même cardinal. Cela a ouvert la porte aux courbes passant par tous les points d'un carré. Cette sphère est construite en parcourant son espace de paramétrage {u,v} le long d'une telle courbe due a Hilbert].
The Klein bottle described by means of a Bidimensional Hilbert Curve -iteration 7- [Lors de ses travaux sur les infinis, Georg Cantor a démontré que R, R², R³,... avaient le même cardinal. Cela a ouvert la porte aux courbes passant par tous les points d'un carré. Cette bouteille de Klein est construite en parcourant son espace de paramétrage {u,v} le long d'une telle courbe due a Hilbert].	Tridimensional representation of a quadridimensional Calabi-Yau manifold described by means of 5x5 Bidimensional Hilbert Curves -iteration 5- [Représentation tridimensionnelle d'une variété quadridimensionnelle de Calabi-Yau décrite à l'aide de 5x5 courbes de Hilbert bidimensionnelle -itération 5-].	A Ball described by means of a Tridimensional Hilbert Curve -iteration 4- [Lors de ses travaux sur les infinis, Georg Cantor a démontré que R, R², R³,... avaient le même cardinal. Cela a ouvert la porte aux courbes passant par tous les points d'un cube. Cette boule est construite en parcourant son espace de paramétrage {u,v,w} le long d'une telle courbe due a Hilbert].	Visualization of the Newton's method when computing the roots of Z³=1 [Les racines N-ièmes de l'unité sont triviales à calculer exactement. Mais il est possible aussi de le faire via la méthode itérative de Newton. Le plan complexe se partionne alors en N zones de structures fractales correspondant aux N racines (N=3 dans cet exemple qui montre quelques trajectoires menant de 16 points -disques blancs- aux 3 racines -carrés noirs-)].	Visualization of the Newton's method when computing the roots of Z⁵=1 [Les racines N-ièmes de l'unité sont triviales à calculer exactement. Mais il est possible aussi de le faire via la méthode itérative de Newton. Le plan complexe se partionne alors en N zones de structures fractales correspondant aux N racines (N=5 dans cet exemple qui montre quelques trajectoires menant de 16 points -disques blancs- aux 5 racines -carrés noirs-)].
Along the border of the Mandelbrot set [L'ensemble de Mandelbrot M est l'ensemble des nombres complexes définissant des ensembles de Julia J connexes. Cette image est extraite d'une animation présentant un voyage le long de la frontière de M et les J correspondant au point courant. La troisième dimension visualise le nombre d'itérations effectuées lors du calcul de M].	Tridimensional visualization of the Mandelbrot set with mapping of the arguments [Visualisation tridimensionnelle brumeuse et nuageuse d'un zoom sur l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments de sortie].	Tridimensional visualization of the Mandelbrot set with mapping of the arguments [Visualisation tridimensionnelle brumeuse et nuageuse d'un zoom sur l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments de sortie].	Tridimensional visualization of the Mandelbrot set with mapping of the arguments [Visualisation tridimensionnelle brumeuse et nuageuse d'un zoom sur l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments de sortie].	Tridimensional visualization of the Mandelbrot set with mapping of the arguments [Visualisation tridimensionnelle brumeuse et nuageuse d'un zoom sur l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments de sortie].
Tridimensional visualization of the Mandelbrot set with mapping of the arguments [Visualisation tridimensionnelle brumeuse et nuageuse d'un zoom sur l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments de sortie].	A foggy pseudo-quaternionic Mandelbrot set (a 'MandelBulb') -tridimensional cross-section- [Un ensemble de Mandelbrot calculé dans l'ensemble des 'pseudo-quaternions' qui utilise une arithmétique différente de celles des quaternions].	A pseudo-octonionic Mandelbrot set (a 'MandelBulb') -tridimensional cross-section- [Section tridimensionnelle dans un ensemble de Mandelbrot calculé dans les octonions en utilisant une arithmétique spéciale].	A pseudo-octonionic Mandelbrot set (a 'MandelBulb') -'children's corner' or 'the consciousness emerging from Mathematics'- -tridimensional cross-section- ['La rondes des enfants': Section tridimensionnelle dans un ensemble de Mandelbrot calculé dans les octonions en utilisant une arithmétique spéciale].	Close-up on a foggy pseudo-quaternionic Mandelbrot set with a 1/O conformal transformation in the octonionic space -tridimensional cross-section- [Section tridimensionnelle dans un ensemble de Mandelbrot calculé dans les quaternions en utilisant une arithmétique spéciale et en procédant à une transformation conforme].
Close-up on a foggy pseudo-quaternionic Mandelbrot set with a 1/O conformal transformation in the octonionic space -tridimensional cross-section- [Section tridimensionnelle dans un ensemble de Mandelbrot calculé dans les quaternions en utilisant une arithmétique spéciale et en procédant à une transformation conforme].	A foggy pseudo-octonionic Julia set ('MandelBulb' like: a 'JuliaBulb') computed with A=(-0.581514...,+0.635888...,0,0,0,0,0,0) and with a rotation about the X axis -tridimensional cross-section- [Section tridimensionnelle dans un ensemble de Julia calculé dans les octonions en utilisant une arithmétique spéciale].	A foggy pseudo-octonionic Julia set ('MandelBulb' like: a 'JuliaBulb') computed with A=(-0.581514...,+0.635888...,0,0,0,0,0,0) -tridimensional cross-section- [Section tridimensionnelle dans un ensemble de Julia calculé dans les octonions en utilisant une arithmétique spéciale].	A foggy pseudo-octonionic Julia set ('MandelBulb' like: a 'JuliaBulb') computed with A=(-0.581514...,+0.635888...,0,0,0,0,0,0) and with a rotation about the X axis -tridimensional cross-section- [Section tridimensionnelle dans un ensemble de Julia calculé dans les octonions en utilisant une arithmétique spéciale].	A foggy pseudo-octonionic Julia set ('MandelBulb' like: a 'JuliaBulb') computed with A=(-0.581514...,+0.635888...,0,0,0,0,0,0) -tridimensional cross-section- [Section tridimensionnelle dans un ensemble de Julia calculé dans les octonions en utilisant une arithmétique spéciale].
Close-up on a foggy pseudo-octonionic Julia set ('MandelBulb' like: a 'JuliaBulb') computed with A=(-0.581514...,+0.635888...,0,0,0,0,0,0) and with a rotation about the X axis and with a tridimensional non linear transformation in the pseudo-octonionic space -tridimensional cross-section- [Section tridimensionnelle dans un ensemble de Julia calculé dans les octonions en utilisant une arithmétique spéciale et en procédant à une transformation non linéaire des coordonnéesA].	Tridimensional high resolution visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter- [La dynamique de Verhulst est définie par l'itération X_n=RX_n-1(1-X_n-1). Pour R > 3.569 les valeurs de X_n sont chaotiques, sensibles aux conditions initiales et donc aux erreurs d'arrondi. En général, R est une constante, mais il est possible de modifier cette valeur en fonction de n. Dans cet exemple, l'espace est tridimensionnel. En chaque point de coordonnées {R₁,R₂,R₃} l'itération de Verhulst utilisant X₀=0.5 et un R fonction de {n,R₁,R₂,R₃} va être étudiée via son exposant de Lyapunov: si elle est non chaotique, le point {R₁,R₂,R₃} sera marqué avec une couleur fonction de {R₁,R₂,R₃} et si elle est chaotique ce point restera vide.].

Non Deterministic Fractal Geometry [Géométrie Fractale Non Déterministe]:

A random tiling of a square domain using dominoes (1x2 rectangles) -line after line- with display of clusters of horizontal and vertical rectangles using the 4-connexity [Pavage aléatoire d'un domaine rectangulaire en utilisant des dominos (rectangles 1x2) et en parcourant le domaine ligne après ligne- avec visualisation des amas de rectangles horizontaux et verticaux utilisant la 4-connexité].	Bidimensional brownian motion -the colors used (magenta,red,yellow,green,cyan) are an increasing function of the time- and its 'external border' -white- [On appelle mouvement brownien bidimensionnel le mouvement d'une particule dont les déplacements dans le plan sont aléatoires. Les couleurs utilisées sont fonction du temps et la courbe blanche est l'enveloppe de la trajectoire qui sont toutes deux des courbes fractales de dimensions respectives 4/3 et 2].	Bidimensional closed self-avoiding brownian motion on an ellipsoide [Mouvement brownien bidimensionnel auto-évitant fermé sur un ellipsoïde].	Bidimensional closed self-avoiding brownian motion on a torus [Mouvement brownien bidimensionnel auto-évitant fermé sur un tore].	Bidimensional closed self-avoiding brownian motion on the Möbius strip [Mouvement brownien bidimensionnel auto-évitant fermé sur le ruban de Möbius].
Bidimensional closed self-avoiding brownian motion on the Klein bottle [Mouvement brownien bidimensionnel auto-évitant fermé sur la bouteille de Klein].	Bidimensional closed self-avoiding brownian motion on the Boy surface [Mouvement brownien bidimensionnel auto-évitant fermé sur la surface de Boy].	$The 'island-peninsula' phenomenon of the fractal diffusion front in a bidimensional medium obtained by means of a random walk process$ The 'island-peninsula' phenomenon of the fractal diffusion front in a bidimensional medium obtained by means of a random walk process [La marche aléatoire de particules sur un réseau carré d'un plan permet d'étudier le phénomène de la diffusion bidimensionnelle. Des amas de particules se créent et leur topologie peut varier brutalement et de façon macroscopique au cours du temps suite au déplacement élémentaire de l'une des particules -marquée en blanc sur cette image-].	Foggy seaboard [La géométrie fractale permet de décrire et de simuler de nombreux phénomènes naturels et par exemple les bords de mer ainsi que la brume].	Foggy island [La géométrie fractale permet de décrire et de simuler de nombreux phénomènes naturels et par exemple les îles ainsi que la brume].
Mountains and fog [La géométrie fractale permet de décrire et de simuler de nombreux phénomènes naturels et par exemple les reliefs montagneux ainsi que le brouillard].	Mountains and fog [La géométrie fractale permet de décrire et de simuler de nombreux phénomènes naturels et par exemple les reliefs montagneux ainsi que les nuages].	Monument Valley at sunrise [La géométrie fractale permet de décrire et de simuler de nombreux phénomènes naturels et par exemple les reliefs montagneux (celui de Monument Valley sur cette image) ainsi que les nuages].	Snowy Monument Valley [La géométrie fractale permet de décrire et de simuler de nombreux phénomènes naturels et par exemple les reliefs montagneux (celui de Monument Valley sur cette image) ainsi que la neige].	Botticelli anomaly on the Moon [La géométrie fractale permet de décrire et de simuler de nombreux phénomènes naturels et par exemple la surface de la Lune avec ses cratères, ses montagnes, ses failles, ses mers,...].
Fractal landscape based on a bidimensional brownian motion [Paysage fractal dont les grandes lignes sont définies à l'aide d'un mouvement brownien bidimensionnel].	An extended Menger Sponge -iteration 4- displaying the 53.919 first digits -base 2- of 'pi' [Zoom sur l'itération 4 d'une éponge de Menger généralisée visualisant les 53.919 premiers chiffres en base 2 de 'pi' qui sont alors utilisés successivement pour déterminer si un cube doit être supprimé ou subdivisé].	An extended Menger Sponge -iteration 7- displaying the 211.210.335 first digits -base 2- of 'pi' [Zoom sur l'itération 7 d'une éponge de Menger généralisée visualisant les 211.210.335 premiers chiffres en base 2 de 'pi' qui sont alors utilisés successivement pour déterminer si un cube doit être supprimé ou subdivisé].

Tilings [Pavages]:

An aperiodic Penrose tiling of the plane [Roger Penrose a découvert au début des années 1970 deux losanges -basés eux-mêmes sur deux triangles isocèles de côtés {1,phi,1} et {1,1/phi,1}- qui permettent de paver le plan de façon apériodique].	An aperiodic Penrose tiling of the plane -a Tribute to Piet Mondrian and Roger Penrose- [Roger Penrose a découvert au début des années 1970 deux losanges -basés eux-mêmes sur deux triangles isocèles de côtés {1,phi,1} et {1,1/phi,1}- qui permettent de paver le plan de façon apériodique. Les couleurs choisies rendent hommage à Piet Mondrian].	The Penrose city [Visualisation tridimensionnelle d'un pavage bidimensionnel apériodique de Penrose].	The level 2 cluster made of 8 'Spectre' level 1 clusters with display of all the key-points making quadrilaterals (8 small and a big one) [Alors que cela semblait impossible, David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig Kaplan et Chaim Goodmann-Strauss ont découvert en 2023 une pièce unique dite le Spectre qui pave le plan de façon apériodique. Le pavage se construit récursivement de 'cluster's en 'cluster's de plus en plus gros. On voit ici le 'cluster' de niveau 2 constitué de 8 'cluster's de niveau 1 de 'Spectre's avec visualisation des points-clefs regroupés en quadrilatères (8 petits et un grand)].	The level 3 cluster made of 8 'Spectre' level 2 clusters with display of all the key-points making quadrilaterals (8 small and a big one) [Alors que cela semblait impossible, David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig Kaplan et Chaim Goodmann-Strauss ont découvert en 2023 une pièce unique dite le Spectre qui pave le plan de façon apériodique. Le pavage se construit récursivement de 'cluster's en 'cluster's de plus en plus gros. On voit ici le 'cluster' de niveau 3 constitué de 8 'cluster's de niveau 2 de 'Spectre's avec visualisation des points-clefs regroupés en quadrilatères (8 petits et un grand)].
A close-up of the 'EinStein' aperiodic 'Spectre' tiling [Alors que cela semblait impossible, David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig Kaplan et Chaim Goodmann-Strauss ont découvert en 2023 une pièce unique dite le Spectre qui pave le plan de façon apériodique].	The 500 first digits of π displayed as an Impossible Structure [Un alphabet de formes simples et planes, mais d'apparence tridimensionnelle, est utilisé et dix 'lettres' différentes y sont choisies arbitrairement et associées aux dix chiffres de 0 à 9. Une spirale 'carrée' est tracée sur un plan et les 500 premières décimales de π sont chacune matérialisé par la 'lettre' qui lui est associée. Cela donne alors une structure paradoxale d'apparence tridimensionnelle visualisant π en quelque sorte].

Celestial Mechanics [Mécanique Céleste]:

The journey of an Earth-like planet (green)in the Solar System -point of view of the virtual planet-

The journey of an Earth-like planet (green) in the Solar System -point of view of the virtual planet-
[Les épicycles de Ptolémée revisités: c'est le fait d'observer les planètes en orbite autour du Soleil depuis la Terre qui elle-même est entrainée dans ce mouvement qui a donné naissance aux épicycles. Il s'agit donc d'un problème de mouvement relatif. Ces images montrent comment serait vu le système solaire depuis seize planètes virtuelles de trajectoires très différentes et en particulier situées hors du plan de l'écliptique].

Quantum Mechanics [Mécanique Quantique]:

$Tridimensional representation of quadridimensional Calabi-Yau manifolds -Calabi-Yau manifolds attached to every point of a fractal tridimensional space-$
Tridimensional representation of quadridimensional Calabi-Yau manifolds -Calabi-Yau manifolds attached to every point of a fractal tridimensional space-
[Représentation tridimensionnelle de l'espace à l'échelle de Planck (10^-34 mètre) dans le cadre de la théorie des super-cordes. En chaque point de l'espace 'classique' à 3 dimensions (matérialisé par un réseau cubique déformé) existeraient 6 dimensions compactes supplémentaires sous forme d'une variété de Calabi-Yau].

Miscellaneous [Divers]:

The same bidimensional scalar field displayed with 4 different color palettes [Les objets mathématiques et les nombres en particulier n'ont pas de couleurs. Malheureusement pour les présenter sous forme d'images, il faut malgré tout leur en attribuer et le choix qui est fait alors est arbitraire. Ces quatre images visualisent la même matrice mais avec des conventions différentes ce qui conduit à des représentations incompatibles entre-elles].	Two identical grey rectangles in front of a grey scale [L'image de synthèse est d'une grande utilité pour visualiser les objets mathématiques, mais il est important de connaître les illusions d'optique afin de ne pas commettre d'erreurs de lecture. Sur cette image les deux petits rectangles ont exactement la même luminance: c'est l'illusion dite de contraste simultané].	display of 'pi' with 100 digits {3.141592...} on an helix -grey- [Visualisation sur une hélice des 100 premiers chiffres de 'pi'].	display of π with 1.000 digits -base 10- on an helix -good point of view- [Visualisation des 1.000 premiers chiffres de π sur une hélice].	A tridimensional pseudo-random walk defined by means of 'pi': 3.141592... -90.000 digits, -base 10- with 30.000 time steps [Une pseudo-marche aléatoire tridimensionnelle définie à l'aide des 90.000 premiers chiffres de 'pi' qui, regroupés par trois, définissent des déplacements élémentaires tridimensionnels].
The Mathematics are the key of the Multiverse [Des entrelacs complexes peuvent être construits à l'aide de déformations élémentaires récursives].	The Mathematics are the key of the Multiverse [Des entrelacs complexes peuvent être construits à l'aide de déformations élémentaires récursives].	Periodical impossible structure [Pour construire des structures paradoxales d'une complexité arbitraire, une solution consiste à définir un alphabet de formes simples et planes, mais d'apparence tridimensionnelle, que l'on assemblera ensuite côte à côte].	Quadruple impossible staircase built by means of a paradoxal structure -a Tribute to Maurits Cornelis Escher- [Escalier quadruplement impossible: choisissant un sens de parcours il est toujours montant, ou bien toujours descendant, ou enfin alternant, mais aussi ses arêtes sont faites d'une fine structure paradoxale de couleur blanche].

Copyright © Jean-François COLONNA, 2025-2025.
Copyright © CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641 / École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris, 2025-2025.