• La théorie des supercordes est actuellement la solution la plus prometteuse en ce qui concerne l'unification de la Mécanique Quantique (les interactions fortes et électrofaibles) et de la Relativité Générale (interaction gravitationnelle). Elle demande pour cela sept dimensions supplémentaires "à côté" des quatre dimensions (trois d'espace et une de temps) que nous percevons. Ces sept dimensions, auxquelles nous ne sommes pas sensibles, seraient organisées selon des variétés de Calabi-Yau, dont la "forme" et la topologie conditionneraient notre Physique (nombre de familles de particules élémentaires -3- et leurs propriétés, en particulier).



• Le nucléon (proton ou neutron) n'est pas une particule élémentaire. Il est constitué de trois quarks dits de valence et d'une mer de particules virtuelles (quarks et gluons) en interaction.



• L'hydrogène, le plus simple des atomes, bien qu'il soit parfaitement connu, peut encore nous révéler bien des surprises. Cette image représente la densité de probabilité de prèsence de l'électron lors d'une certaine superposition linéaire d'états propres. La luminance de chacun des points code l'information pertinente : plus un point est lumineux, plus l'électron à de chance de se trouver sur la ligne de visée joignant l'œil de l'observateur à ce point.

• En injectant dans le modèle du problème des N-corps les coordonnées et les vitesses des neuf planètes connues du système solaire à une date donnée, il est possible de calculer leurs trajectoires ultérieures. Au cours de cette expérience, l'observateur tourne autour du système afin de bien noter le cas particulier de Pluton dont la trajectoire n'est pas dans le plan des autres planètes (dit plan de l'écliptique). Il est important de noter l'aspect "mensonger" de cette représentation. En effet, le système solaire ne peut être représenté à l'échelle ; le Soleil, dans ce cas, serait plus petit qu'un point d'image et son diamêtre doit donc être démesurement exagéré. De même, les planètes apparaissent comme ayant une taille du même ordre de grandeur que celle du Soleil, ce qui n'est évidemment pas le cas en réalité. Enfin, étant donné le diamêtre de la sphère matérialisant le Soleil, les trajectoires des quatre premières planètes devraient être cachées par celle-ci. Ainsi, il est nécessaire, après des calculs respectant les échelles réelles, de procéder à des dilatations non linéaires des trajectoires de façon à pouvoir les distinguer.



• Quel est le ciel que voyaient nos ancêtres et que nous voyons encore en le regardant "naïvement". Cette expérience place donc la Terre au centre du système solaire (par un simple changement de référentiel). Le Soleil tourne alors autour de la Terre, alors que les huit autres planètes décrivent des boucles de rétrogradation qui furent longtemps expliquées à grand coup d'épicycles (du moins jusqu'a Copernic...).



• Alors comment serait perçu notre système solaire depuis un point de vue quelconque ? C'est ce que montre cette expérience dans laquelle une dixième planète n'interagissant pas avec les autres (mais uniquement avec le Soleil) et dont quelques trajectoires possibles sont étudiées depuis l'orbite de Pluton jusqu'au voisinage du Soleil. Le ciel perçu pas ses habitants (virtuels) serait très régulier à proximité du Soleil et progressivement deviendrait d'une telle complexité qu'aucun système d'épicycles ne saurait l'expliquer. La leçon à tirer de cela est double : d'une part un système peut présenter un "visage" complexe, voire chaotique, alors qu'en fait, à condition de trouver le bon point de vue, il peut se simplifier considérablement (mais comment trouver le "bon point de vue" pour un système quelconque ?). Ce phénomène nous permet d'introduire la notion de Chaos Virtuel (ou Subjectif) [Plus d'informations...]. D'autre part, si notre humanité s'était développée plus loin du Soleil et en dehors du plan de l'écliptique (si tant est que la chose fut possible), nos astronomes, nos mathématiciens, mais aussi nos prêtres des temps passés auraient observé un ciel beaucoup plus irrégulier ; les conséquences en auraient été certainement considérables en ce qui concerne la science, la philosophie et certainement les religions...



• Enfin, dans cette dernière expérience, la planète fictive conserve une trajectoire de taille fixe, mais son plan tourne de 360 degrés dans l'espace.

                    S  = 0
                     0


                    S  = S    + 1
                     n    n-1

                    float     MUL(x,y)
                    float     x,y;
                              {
                              return(x*y);
                              }


                    main()
                              {
                              float     A=3.1,B=2.3,C=1.5;
                              float     X,Y;


                              X=MUL(MUL(A,B),C);
                              Y=MUL(A,MUL(B,C));


                              printf("\n (%f x %f) x %f = %f\n",A,B,C,X);
                              printf("\n %f x (%f x %f) = %f\n",A,B,C,Y);
                              }

                    (3.10 * 2.30) * 1.50 = 10.695000 = 0x412B1EB8
                                                ####            #

                    3.10 * (2.30 * 1.50) = 10.694999 = 0x412B1EB7
                                                ####            #

                    float     ADD(x,y)
                    float     x,y;
                              {
                              return(x+y);
                              }


                    main()
                              {
                              float     A=1.1,B=3.3,C=5.5;
                              float     X,Y;


                              X=ADD(ADD(A,B),C);
                              Y=ADD(A,ADD(B,C));


                              printf("\n (%f x %f) x %f = %f\n",A,B,C,X);
                              printf("\n %f x (%f x %f) = %f\n",A,B,C,Y);
                              }

                    (1.10 + 3.30) + 5.50 = 9.900000 = 0x411E6666
                                                  #            #

                    1.10 + (3.30 + 5.50) = 9.900001 = 0x411E6667
                                                  #            #

                                       2
                    X  = (R+1)X    - RX
                     n         n-1     n-1

                    main()
                              {
                              double    R=3.0;
                              double    X=0.5;
                              int       n;


                              for       (n=0 ; n <= 80 ; n++)
                                        {
                                        if        ((n%10) == 0)
                                                  {
                                                  printf("\n iteration(%04d) = %9.6f",n,X);
                                                  }
                                        else
                                                  {
                                                  }


                                        X = (R+1)*X - R*X*X;
                                        }
                              }

                    O200 Silicon Graphics (R10000, IRIX 6.5.5m, cc 7.2.1) :

                              option '-O2'   option '-O3'

                    X(00)   = 0.500000       0.500000
                    X(10)   = 0.384631       0.384631
                    X(20)   = 0.418895       0.418895
                    X(30)   = 0.046399       0.046399
                    X(40)   = 0.320184       0.320192
                    X(50)   = 0.063747       0.059988
                    X(60)   = 0.271115       1.000531
                    X(70)   = 1.328462       1.329692
                    X(80)   = 0.817163       0.021952

                      16         16
                    10   + 1 = 10

                    scale   = 010  020  030  040  050  060  070  080  090  100
                    n       = 035  070  105  136  169  199  230  265  303  335

                    main()
                              {
                              double    B=4095.1;
                              double    A=B+1;


                              double    x=1;


                              int       n;


                              printf("initialisation      x = %.16f\n",x);


                              for       (n=1 ; n <= 9 ; n++)
                                        {
                                        x = (A*x) - B;


                                        printf("iteration %01d         x = %+.16f\n",n,x);
                                        }
                              }

                    initialisation      x =                 +1.0000000000000000
                    iteration 1         x =                 +1.0000000000004547
                    iteration 2         x =                 +1.0000000018630999
                    iteration 3         x =                 +1.0000076314440776
                    iteration 4         x =                 +1.0312591580864137
                    iteration 5         x =               +129.0406374377594148
                    iteration 6         x =            +524468.2550088063580915
                    iteration 7         x =        +2148270324.2415719032287598
                    iteration 8         x =     +8799530071030.8046875000000000
                    iteration 9         x = +36043755123945184.0000000000000000

                    x = 1

                    A-B = 1 (mathématiquement parlant...)

                    
                    B       = 4095.1                 = {0x40affe33,33333333}
                    A = B+1 = 4096.1                 = {0x40b00019,9999999a}


                    A-B     = 1.0000000000004547     = {0x3ff00000,00000800}
                                                                        |
                    1.0                              = {0x3ff00000,00000000}

• Un système réversible peut perdre cette propriété s'il est sensible aux erreurs d'arrondi. Dans cet exemple, au "milieu temporel" du calcul, tous les vecteurs vitesses sont "inversés". L'état final obtenu est malheureusement très différent de l'etat initial.



• Visualisation bidimensionnelle des erreurs d'arrondi dans le calcul de la dynamique de Verhulst [Plus d'informations]. De la façon d'écrire un programme (et en particulier de la façon de parenthéser) peuvent dépendre les résultats.



• L'attracteur de Lorenz -sensibilité aux conditions initiales (la Rouge, la Verte et la Bleue)-.



• L'attracteur de Lorenz -sensibilité à la méthode d'intégration utilisée (Rouge=Euler, Vert=Runge-Kutta/second ordre, Bleu=Runge-Kutta/quatrième ordre)-.



• Calcul de l'attracteur de Lorenz sur trois ordinateurs différents (le Rouge, le Vert et le Bleu : sensibilité aux erreurs d'arrondi). Ainsi un système sensible aux conditions initiales (comme l'est l'attracteur de Lorenz) est sensible aux erreurs d'arrondi (et réciproquement ?).



• Rotation autour de l'axe X de l'attracteur de Lorenz (1000 itérations), calculée sur deux ordinateurs différents. Ce mouvement de rotation calcule conjointement par deux ordinateurs différents semble correct. En effet, le calcul ne portant que sur 1000 itérations, l'anomalie finale n'est pas encore suffisamment importante pour être visible.



• Rotation autour de l'axe X de l'attracteur de Lorenz (5000 itérations), calculée sur deux ordinateurs différents. Cette fois-ci, le mouvement de rotation semble incorrect (bien observer les saccades entre certains couples d'images). En effet, le calcul porte ici sur 5000 itérations ce qui laisse le temps à l'anomalie de s'amplifier suffisamment pour être visible à la fin de ce processus. Cette expérience, combinée avec la précédente, montre la difficulté de faire du calcul parallèle portant sur des modèles sensibles aux erreurs d'arrondi, à l'aide d'un ensemble de machines hétérogenes (aussi bien au niveau matériel qu'au niveau logiciel -une simple différence de version du compilateur utilisé peut suffire !-).



• Intégration du problème des N-corps (N=4 : une étoile, une planète lourde et une planète légère avec un satellite) calculé avec 2 options d'optimisation différentes (sensibilité aux erreurs d'arrondi).

• 2 carrés gris identiques se déplaçant au-dessus d'une échelle de gris. L'illusion dite de contraste simultané montre que l'analyse que nous faisons des images n'est pas locale, mais globale...



• Points noirs (à l'intérieur de carrés blancs aléatoires) sur un réseau carré.



• L'illusion de Zollner.



• Tas ou trou (vue aérienne) ?.