Du Modèle à l'Image : un Voyage Périlleux

Jean-François COLONNA

CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, Ecole Polytechnique, CNRS
france telecom, France Telecom R&D
91128 Palaiseau Cedex, France

http://www.lactamme.polytechnique.fr

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[Croyez-vous que les Nombres Réels existent dans un ordinateur et que les calculs flottants sont sûrs ?]
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(Site WWW CMAP28 : cette page a été créée le 28/12/2005 et mise à jour le 09/05/2012 17:20:12 -CEST-)

(Plan d'une conférence donnée au Colloque Calcul Scientifique, ENS de Cachan, 28/02/2006)

Résumé : Dans les domaines scientifique et industriel, l'ordinateur est de plus en plus utilisé pour réaliser des expériences virtuelles. Le chemin menant alors des modèles mathématiques aux résultats numériques est semé d'embûches liées en particulier au caractère "artisanal" de la programmation, à l'inexistence des nombres réels dans l'univers numérique ou encore à l'absence d'unicité et donc à l'arbitraire des représentations visuelles.

Plan de ce document :

1-LES MATHEMATIQUES :
2-L'EXPERIMENTATION VIRTUELLE :
3-LE META-ORDINATEUR :
4-LES DANGERS DU CALCUL NUMERIQUE :
5-LES DANGERS DE LA VISUALISATION :
6-UN VOYAGE DE L'INFINIMENT PETIT A L'INFINIMENT GRAND :
7-CONCLUSION :

1-LES MATHEMATIQUES :

2-L'EXPERIMENTATION VIRTUELLE :

3-LE META-ORDINATEUR :

4-LES DANGERS DU CALCUL NUMERIQUE :

4.1-L'ANALYSE NUMERIQUE, DU CONTINU AU DISCONTINU :

4.2-LA PROGRAMMATION : SCIENCE, ART OU BRICOLAGE ?

4.3-LES COMPILATEURS, LES LIBRAIRIES ET LES OUTILS GENERAUX :

4.4-DE LA PERENNITE ET DE L'UNICITE :

4.5-DU CONTINU ET DES INFINIS :

Nombres Réels et Nombres Flottants :

Quelques conséquences de leurs différences :

L'influence de la syntaxe des programmes (exemple de la dynamique de Verhulst).

La sensibilité aux conditions initiales (exemple de l'attracteur de Lorenz).

La sensibilité à la méthode d'intégration numérique (exemple de l'attracteur de Lorenz).

La sensibilité aux erreurs d'arrondi (exemple de l'attracteur de Lorenz).

La sensibilité au calcul parallèle (exemple de l'attracteur de Lorenz).

La non reversibilité du temps (exemple du billiard bidimensionnel).

4.6-PLUS D'INFORMATIONS SUR CES PROBLEMES...

4.7-POURQUOI LES NOMBRES REELS ?

5-LES DIFFICULTES DE LA VISUALISATION :

Certains "objets" sont interdits de représentation alors que d'autres n'ont pas d'images.

Bien souvent les espaces utilisés ont plus de trois dimensions.

En général, il n'y a donc pas de représentation a priori.

La plupart des phénomènes étudiés sont dynamiques.

6-UN VOYAGE DE L'INFINIMENT PETIT A L'INFINIMENT GRAND :

7-CONCLUSION :

Les portes d'une nouvelle révolution copernicienne s'ouvrent à nous, à condition de savoir maîtriser nos outils...

Copyright (c) Jean-François Colonna, 2005-2012.
Copyright (c) France Telecom R&D and CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641 / Ecole Polytechnique, 2005-2012.