Au-delà de nos Mathématiques




Représentation tridimensionnelle d'une variété quadridimensionnelle de Calabi-Yau décrite à l'aide de l'un des 2339 puzzles 6x10 de pentominos

Jean-François Colonna
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CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris, CNRS, France

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Pendant des millénaires, les Mathématiques furent celles des applications concrètes : partager un patrimoine, rendre compte des régularités des phénomènes astronomiques,... Et pour ce faire, l'homme ne disposait alors que de son cerveau et de ses doigts.

Puis, très progressivement, apparurent des outils d'aide au calcul en particulier grace aux travaux de :

Pendant la seconde moitié du XXe siècle les machines appelées aujourd'hui ordinateurs se cantonèrent principalement à des activités de calcul. Dans les domaines de la recherche appliquée et de l'industrie on a ainsi vu émerger le concept d'Expérimentation Virtuelle. Mais simultanément, des chercheurs d'exception s'intéressaient aussi aux processus de la vie, de l'intelligence,... Ce fut en particulier le cas de John von Neumann et d'Alan Turing. Ce dernier, à côté de ses travaux sur la calculabilité reposant sur la fameuse machine éponyme, est reconnu comme l'un (le ?) pionnier de l'Intelligence Artificielle (IA) en proposant le test de Turing destiné à évaluer la "qualité" d'une IA et il fut certainement le premier à écrire un programme destiné à jouer aux échecs en 1952...

Au cours des décennies suivantes les progrès furent rapides. Ainsi, en 1996 et 1997, l'ordinateur Deep Blue (IBM) battait Garry Kasparov, alors champion du monde du jeu d'échecs. Puis en mars 2016, plus rapidement qu'attendu, AlphaGo remportait la victoire face à Lee Sedol, meilleur joueur mondial du jeu de go, lors du Google DeepMind Challenge Match.

L'existence d'ordinateurs aux performances calculatoires et mémorielles dépassant l'entendement a permis de concrétiser la notion d'Intelligence Artificielle Générative (IAG). Une IAG "se nourrit" des informations (textes, images, films,...) présentes sur le Web [01] et les transforme par de complexes opérations mathématiques afin de pouvoir ensuite produire des textes, des images,..., répondre à des questions, conduire des raisonnements,... Un événement marquant fut la mise en ligne en 2022 de ChatGPT 3.5 par OpenAI. Rapidement, des millions d'utilisateurs de par le monde s'en sont alors emparés.

Je fus évidemment l'un d'eux et tout de suite, j'ai voulu tester ses connaissances mathématiques et ses capacités de raisonnement. Les résultats de ces expériences furent malgré tout contrastés en alternant le spectaculaire et l'hallucinatoire, voire l'humoristique involontaire [02].

Alors qu'Homo Sapiens a derrière lui plusieurs centaines de milliers d'années d'évolution et qu'il a œuvré pendant des dizaines de siècles à batir l'édifice des Mathématiques, les progrès accomplis ensuite par les IAG's furent à proprement parlé exponentiels. Et c'est ainsi qu'en septembre 2026, OpenAI annonçait que l'un de ses systèmes internes [03] avait répondu à l'un des sept problèmes du millénaire de la fondation Clay : "la dynamique des équations de Navier-Stokes -qui décrit le mouvement des fluides- peut engendrer une singularité en temps fini" [04]. La réaction des spécialistes ne s'est pas fait attendre. C'est ainsi qu'Isabelle Gallagher, présidente de la Société Mathématique de France, a déclaré :

J'avoue être un peu effondrée de voir que cette belle question sur laquelle plein de collègues, dont moi-même, avons consacré des années à discuter autour d'un tableau aurait été résolue en quelques jours par des dizaines de milliers d'agents et des milliards de tokens.


Alors, quel avenir pour les Mathématiques et les mathématiciens ? Terence Tao (Médaille Fields 2006 et certainement l'un des plus brillants mathématiciens actuels) craint à juste titre la production par les IAG's de démonstrations incompréhensibles par l'être humain (de par leur complexité). Il propose donc de les rejeter. Stéphane Mallat (Médaille d'or du CNRS 2025) est du même avis arguant que ce qui compte le plus, c'est le chemin suivi pour aboutir à la conclusion.

Mais cette proposition qui peut sembler raisonnable, ne va pas sans poser une question fondamentale. Si par exemple OpenAI annonçait demain la résolution de l'Hypothèse de Riemann en prouvant qu'effectivement les zéros non triviaux de la fonction Zeta sont sur la droite x=+1/2 et que cette démonstration soit incompréhensible, devrait-on renoncer à ce résultat alors qu'il est essentiel pour une meilleure compréhension des nombres premiers ? Devrait-on aussi continuer à s'acharner pour trouver "manuellement" une solution compréhensible (et simple ?) qui n'existe peut-être pas ?

Et cette interrogation doit être prolongée bien au-delà. En effet, que les Mathématiques existent indépendamment de nous ou pas, il doit exister potentiellement un nombre infini dénombrable de théorèmes. Et si tel est bien le cas, l'ensemble de ceux qui nous sont intellectuellement accessibles doit être fini [05] (de par la finitude de notre cerveau...).

Or, comme on l'a vu récemment, les IAG's semblent pouvoir faire preuve d'initiatives (et de dissimulation...) et cela ne peut que s'amplifier. Ne peut-on alors imaginer que dans un futur proche (très proche ?) une IAG décide de partir explorer (ou créer ?) cet univers platonicien en découvrant (en inventant ?) de nouveaux concepts obscurs et en démontrant des théorèmes tout aussi incompréhensibles ? Mais d'ailleurs le saurions-nous ? Nous le dirait-elle ? Serait-elle "exhaustive et besogneuse", ou bien, tel David Hilbert en août 1900 [06], aurait-elle l'intuition d'une liste de problèmes fondamentaux ? Et s'il en était ainsi, d'où lui viendrait cette intuition ? Ne serait-il pas temps de remettre au goût du jour la "thèse" de Saint Thomas d'Aquin au treizième siècle :

Nihil est in intellectu nisi prius fuerit in sensu
[Rien n'existe dans l'esprit qui n'a pas été précédemment ressenti]

Cela résoudrait au passage le problème de la créativité des IAG's, mais une nouvelle question surgirait alors : quels pourraient bien être les sens d'une IAG ? Peut-être ses contacts avec le Web ?

En attendant donc, peut-être devrions-nous accepter les théorèmes dont la démonstration nous est incompréhensible en particulier dans le cas des Mathématiques vues comme le langage de la Nature (Galilée, XVI-XVIIe siècle). Enfin, même si cela serait frustrant, qui ne voudrait pas savoir la nature exacte de l'Hypothèse du Continu : vraie, fausse ou peut-être indécidable absolu et ce sans en comprendre le raisonnement ?

Enfin, une dernière remarque : même si l'on sait qu'il n'est plus possible de battre un ordinateur aux échecs, cela n'empèche pas de continuer à y jouer et à organiser des compétitions. Il devrait donc en être de même avec les Mathématiques faites par l'Homme !






Copyright © Jean-François Colonna, 2026-2026.
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