Courbes de Hilbert et Nœuds Infinis
Jean-François COLONNA
jean-francois.colonna@polytechnique.edu
CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris, CNRS, 91120 Palaiseau, France
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(Site WWW CMAP28 : cette page a été créée le 05/16/2022 et mise à jour le 31/05/2023 12:06:14 -CEST-)
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En 1890 Giuseppe Peano découvrit des courbes passant par tous les points d'un carré (et d'un cube) mettant
ainsi en évidence des surjections continues entre [0,1] et [0,1]x[0,1] (et [0,1]x[0,1]x[0,1]).
Au cours des années suivantes, David Hilbert définit d'autres telles courbes qui peuvent être generalisées.
Les courbes de Hilbert bidimensionnelles :
Soit C1(T)
une courbe paramétrique 
définie à l'aide de 2 fonctions réelles de T
(T ∈ [0,1])
X1(T) ∈ [0,1] et Y1(T) ∈ [0,1
telles que
:
X1(T=0)=0 Y1(T=0)=0 (coin en bas et à gauche)
X1(T=1)=1 Y1(T=1)=0 (coin en bas et à droite)
On définit ensuite une suite de courbes Ci(T) (i >= 1) de la façon suivante
:
Ci(T) = {Xi(T),Yi(T)} ∈ [0,1]x[0,1] --> Ci+1(T) = {Xi+1(T),Yi+1(T)} ∈ [0,1]x[0,1]
if T ∈ [0,1/4[ :
Xi+1(T) = Yi(4T-0)
Yi+1(T) = Xi(4T-0)
Transformation 1
if T ∈ [1/4,2/4[ :
Xi+1(T) = Xi(4T-1)
Yi+1(T) = 1+Yi(4T-1)
Transformation 2
if T ∈ [2/4,3/4[ :
Xi+1(T) = 1+Xi(4T-2)
Yi+1(T) = 1+Yi(4T-2)
Transformation 3
if T ∈ [3/4,1] :
Xi+1(T) = 2-Yi(4T-3)
Yi+1(T) = 1-Xi(4T-3)
Transformation 4
Il convient de noter que 4=2d où d=2 est la dimension de l'espace.
Voir une courbe C1(T) 
spéciale afin de comprendre la signification géométrique des 4 transformations 
et de leur ordre 
.
Voici les cinq premières courbes bidimensionnelles de Hilbert avec un nombre croissant d'itérations
:
[Voir les couleurs utilisées pour visualiser le paramètre T]
Voici quelques exemples de courbes bidimensionnelles de type Hilbert
:
Les courbes de Hilbert tridimensionnelles :
Soit C1(T)
une courbe paramétrique 
définie à l'aide de 3 fonctions réelles de T
(T ∈ [0,1])
X1(T) ∈ [0,1], Y1(T) ∈ [0,1] et Z1(T) ∈ [0,1
telles que
:
X1(T=0)=0 Y1(T=0)=0 Z1(T=0)=0 (coin en bas et à gauche au premier plan)
X1(T=1)=0 Y1(T=1)=0 Z1(T=1)=1 (coin en bas et à droite au premier plan)
On définit ensuite une suite de courbes Ci(T) (i >= 1) de la façon suivante
:
Ci(T) = {Xi(T),Yi(T),Zi(T)} ∈ [0,1]x[0,1]x[0,1] --> Ci+1(T) = {Xi+1(T),Yi+1(T),Zi+1(T)} ∈ [0,1]x[0,1]x[0,1]
if T ∈ [0,1/8[ :
Xi+1(T) = Xi(8T-0)
Yi+1(T) = Zi(8T-0)
Zi+1(T) = Yi(8T-0)
Transformation 1
if T ∈ [1/8,2/8[ :
Xi+1(T) = Zi(8T-1)
Yi+1(T) = 1+Yi(8T-1)
Zi+1(T) = Xi(8T-1)
Transformation 2
if T ∈ [2/8,3/8[ :
Xi+1(T) = 1+Xi(8T-2)
Yi+1(T) = 1+Yi(8T-2)
Zi+1(T) = Zi(8T-2)
Transformation 3
if T ∈ [3/8,4/8[ :
Xi+1(T) = 1+Zi(8T-3)
Yi+1(T) = 1-Xi(8T-3)
Zi+1(T) = 1-Yi(8T-3)
Transformation 4
if T ∈ [4/8,5/8[ :
Xi+1(T) = 2-Zi(8T-4)
Yi+1(T) = 1-Xi(8T-4)
Zi+1(T) = 1+Yi(8T-4)
Transformation 5
if T ∈ [5/8,6/8[ :
Xi+1(T) = 1+Xi(8T-5)
Yi+1(T) = 1+Yi(8T-5)
Zi+1(T) = 1+Zi(8T-5)
Transformation 6
if T ∈ [6/8,7/8[ :
Xi+1(T) = 1-Zi(8T-6)
Yi+1(T) = 1+Yi(8T-6)
Zi+1(T) = 2-Xi(8T-6)
Transformation 7
if T ∈ [7/8,1] :
Xi+1(T) = Xi(8T-7)
Yi+1(T) = 1-Zi(8T-7)
Zi+1(T) = 2-Yi(8T-7)
Transformation 8
Il convient de noter que 8=2d où d=3 est la dimension de l'espace.
Voir une courbe C1(T) 
spéciale afin de comprendre la signification géométrique des 8 transformations 
et de leur ordre 
.
Voici les quatre premières courbes tridimensionnelles de Hilbert avec un nombre croissant d'itérations
:
[Voir les couleurs utilisées pour visualiser le paramètre T]
Voici quelques exemples de courbes tridimensionnelles de type Hilbert
:
[More information about Peano Curves and Infinite Knots -in english/en anglais-]
[Plus d'informations à propos des Courbes de Peano et des Nœuds Infinis -en français/in french-]
Les nœuds infinis :
Nota :
Un nœud mathématique est une courbe fermée mais pour en faire une courbe de type C1(T) il est nécessaire de l'ouvrir
(par soucis de lisibilité, les deux extrémités "libres" des courbes Ci(T) ne seront donc pas connectées : il s'agit
des sommets du cube au premier plan, en bas, à gauche et à droite respectivement visualisés comme de plus grosses sphères...).
Utilisons un nœud 3-trèfle 
comme courbe paramétrique C1(T) et ouvrons-le .
Voici les cinq premières courbes
Ci(T) (i ∈ [1,5]) :
Voir la palette de couleurs utilisée pour visualiser le paramètre T.
Après un nombre infini d'itérations, la courbe remplit le cube [0,1]x[0,1]x[0,1] : c'est un premier "nœud infini"...
Maintenant, utilisons un nœud 5-trèfle 
comme courbe paramétrique C1(T) et ouvrons-le .
Voici les cinq premières courbes
Ci(T) (i ∈ [1,5])
donnant après un nombre infini d'itérations un deuxième "nœud infini"
:
Voir la palette de couleurs utilisée pour visualiser le paramètre T.
Enfin, utilisons un nœud 7-trèfle 
comme courbe paramétrique C1(T) et ouvrons-le .
Voici les cinq premières courbes
Ci(T) (i ∈ [1,5])
donnant après un nombre infini d'itérations un troisième "nœud infini"
:
Voir la palette de couleurs utilisée pour visualiser le paramètre T.
Copyright © Jean-François Colonna, 2022-2023.
Copyright © CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641 / École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris, 2022-2023.