"S'il-vous-plaît... dessine moi l'infini"
(d'après Antoine de Saint-Exupéry)
Voyages de l'infiniment petit à l'infiniment grand
CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris, CNRS, France
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(Site WWW CMAP28 : cette page a été créée le 11/16/2023 et mise à jour le 17/11/2023 19:47:43 -CET-)
Résumé : Grâce aux travaux de Georg Cantor, l'univers vertigineux des infinis s'est ouvert aux mathématiciens.
Mais est-il pour autant accessible, voire visualisable et si les Mathématiques sont bien LE langage de la Nature correspond-il à tout ou partie de la Réalité ?
Un voyage de l'échelle de Planck à l'hypothétique Multivers,
suivi d'une présentation de la Géométrie Fractale
nous offriront des éléments de réponses tout en images à ces interrogations.
Plan de ce document :
1-L'UNIVERS VERTIGINEUX DES INFINIS (GEORG CANTOR) :
Dans la deuxième moitié du dix-neuvième siècle, Georg Cantor fut l'un des fondateurs
de la théorie des ensembles en s'interrogeant en particulier sur l'infini. Grâce à la
notion
d'ensemble des parties (c'est-à-dire l'ensemble de tous les sous-ensembles d'un ensemble donné),
il montra qu'il n'y avait pas un infini, mais une infinité.
Le plus petit infini est celui de l'ensemble des nombres entiers (N) : le dénombrable.
La notion de bijection
entre deux ensembles est alors fondamentale : on dira que deux ensembles
ont le même cardinal ("ont la même taille") s'il existe une bijection entre eux. C'est ainsi que, presque paradoxalement,
les ensembles des nombres pairs, des rationnels, des
nombres algébriques,...
sont en bijection avec N et sont donc dénombrables
Mais par une démonstration par l'absurde d'une étonnante simplicité, il montra qu'il n'en était pas de
même avec l'ensemble des nombres réels (R) :
R n'est pas dénombrable (le continu).
Savoir s'il existe des ensembles de taille intermédiaire entre N et R est (malheureusement...) un
indécidable (appelé l'Hypothèse du Continu)
de la théorie ZFC (Zermelo, Fraenkel et axiome du Choix) des ensembles...
Au-delà de R il y a donc une infinité d'ensembles toujours plus énormes obtenus, par exemple, en
itérant la définition P d'ensemble des parties : {E,P(E),P(P(E)),...}.
Mais malgré cela, Georg Cantor a démontré
que R, R2,... Rn,... avaient même cardinal
permettant par là-même la définition de courbes dites remplissantes.
2-LES MATHEMATIQUES, LE LANGAGE DE LA NATURE (GALILEE) :
3-LA GEOMETRIE FRACTALE (BENOIT MANDELBROT) :
4-CONCLUSION :
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