LA THEORIE DES ENSEMBLES ZF / ZFC -Zermelo, Fraenkel, axiome du Choix- :
- Axiome de compréhension : pour tout ensemble E et
toute propriété P, il existe un ensemble F dont les éléments
sont les éléments de E vérifiant P.
- Axiome d'extensionnalité : si deux ensembles E et F ont les mêmes
éléments, alors E=F.
- Axiome de l'ensemble vide : il existe un ensemble O ne contenant
aucun élément.
- Axiome de la paire : si E et F sont deux ensembles,
alors il existe un ensemble G={E,F} contenant E et F, et eux seuls.
- Axiome de la réunion : pour tout ensemble E,
il existe un ensemble ∪E dont les éléments sont les éléments
des éléments de E, et eux seuls.
- Axiome de l'ensemble des parties : Pour tout ensemble E,
il existe un ensemble P(E) dont les éléments sont tous les sous-ensembles de E.
- Axiome de l'infini : il existe un ensemble ω
dont O est un élément et tel que pour tout
E ∈ ω,
alors l'ensemble E ∪ {E}
est aussi un élément de ω.
- Axiome de remplacement : Pour tout ensemble E et pour toute
relation fonctionnelle F telle que pour tout X il existe un unique Y tel
que F(X,Y), alors les images par F des éléments de E constituent un
ensemble.
- Axiome de fondation : tout ensemble non vide E contient un élément
F tel que E et F sont disjoints.
- Axiome du Choix : si E est un ensemble d'ensembles non vides et disjoints
deux à deux, alors il existe un ensemble F dont l'intersection avec chaque
élément de E possède un élément et un seul.
- Les axiomes de Grands Cardinaux : ces axiomes affirment l'existence d'ensembles
aussi grand que l'on veut. Par exemple, l'un d'eux affirme que
quel que soit l'ensemble E,
il existe un ensemble F qui ne soit pas en
bijection avec P(E)
-l'ensemble de tous les sous-ensembles de E-.
On notera qu'ils ne contribuent à résoudre
l'Hypothèse du Continu
(Paul Cohen).
LA THEORIE DES ENSEMBLES ZF / ZFC -Zermelo, Fraenkel, axiome du Choix- :
CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris, CNRS, France
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