Tridimensional representation of a quadridimensional Calabi-Yau manifold described by means of 5x5 Bidimensional Hilbert Curves -iteration 5- [Représentation tridimensionnelle d'une variété quadridimensionnelle de Calabi-Yau décrite à l'aide de 5x5 courbes de Hilbert bidimensionnelle -itération 5-].




A la fin du dix-neuvième siècle, après que Georg Cantor ait montré que [0,1] et [0,1]x[0,1] avait même cardinal, Giuseppe Peano puis David Hilbert ont proposé des courbes continues passant par tous les points du carré unité. Voici une grossière approximation de l'une d'elle: obtenue à partir de la courbe génératrice .

De nombreuses surfaces -variétés bidimensionnelles- dans un espace tridimensionnel peuvent être définies à l'aide d'un ensemble de trois fonctions:
                    X = Fx(U,V)
                    Y = Fy(U,V)
                    Z = Fz(U,V)
avec:
                    U  [Umin,Umax]
                    V  [Vmin,Vmax]
Le carré unité [0,1]x[0,1] pouvant être rempli par une courbe continue, il est alors évident qu'il en est de même du rectangle [Umin,Umax]x[Vmin,Vmax] dans lequel sont définis les paramètres {U,V}. Et ainsi, en choisissant des couples {U,V} sur une telle courbe tracée dans le domaine de définition, la surface sera alors recouverte, elle-aussi, par une courbe remplissante.


Cette variété de Calabi-Yau est définie dans un espace à deux dimensions complexes par l'équation:
                    Z15 + Z25 = 1
avec:
                    U  [0,π/2]
                    V  [-1,+1]
U et V désignant respectivement les parties réelles et imaginaires des nombres complexes Z1 et Z2. Les coordonnees tridimensionnelles réelles {X,Y,Z} sont ensuite obtenues par projection de l'espace bidimensionnel complexe {Z1,Z2} sur l'espace tridimensionnel "usuel".


[Plus d'informations sur ce sujet (en français/in french)]








See the Bidimensional Hilbert Curve -iteration 5-:




See the quadridimensional Calabi-Yau manifold:




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