Définition des Pseudo-Quaternions






Jean-François COLONNA
www.lactamme.polytechnique.fr
jean-francois.colonna@polytechnique.edu
CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, Ecole Polytechnique, CNRS, 91128 Palaiseau Cedex, France

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/*                                                                                                                                   */
/*        D E F I N I T I O N   D E S   N O M B R E S   P S E U D O - H Y P E R - C O M P L E X E S                                  */
/*        ( O U   " P S E U D O - Q U A T E R N I O N S " )  :                                                                       */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*        Definition :                                                                                                               */
/*                                                                                                                                   */
/*                    Les nombres complexes peuvent etre representes                                                                 */
/*                  de deux facons differentes comme couple de nombres                                                               */
/*                  reels : {x,y} en coordonnees cartesiennes et {rho,theta}                                                         */
/*                  en coordonnees polaires.                                                                                         */
/*                                                                                                                                   */
/*                    L'addition de deux nombres complexes 'z1' et 'Z2'                                                              */
/*                  est facile a exprimer en coordonnes cartesiennes :                                                               */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      z = z  + z  = (x ,y ) + (x ,y )                                                              */
/*                                           1    2     1  1      2  2                                                               */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                  = (x  + x ,y  + y )                                                              */
/*                                                      1    2  1    2                                                               */
/*                                                                                                                                   */
/*                  alors que la multiplication est plus facile a exprimer                                                           */
/*                  en coordonnes polaires :                                                                                         */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      z = z  . z  = (rho ,theta ) . (rho ,theta )                                                  */
/*                                           1    2       1      1        2      2                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                  = (rho  . rho ,theta  + theta )                                                  */
/*                                                        1      2      1        2                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*                    Les pseudo-nombres baptises "pseudo-hyper-complexes"                                                           */
/*                  (ou "pseudo-quaternions") seront representes de deux                                                             */
/*                  facons differentes comme quadruplets de nombres reels :                                                          */
/*                  {x,y,z,t} en coordonnees cartesiennes et {rho,theta,phi,alpha}                                                   */
/*                  en coordonnees hyper-spheriques.                                                                                 */
/*                                                                                                                                   */
/*                    L'addition de deux "pseudo-quaternions" 'q1' et 'q2'                                                           */
/*                  sera definie en coordonnes cartesiennes par :                                                                    */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      q = q  + q  = (x ,y ,z ,t ) + (x ,y ,z ,t )                                                  */
/*                                           1    2     1  1  1  1      2  2  2  2                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                  = (x  + x ,y  + y ,z  + z ,t  + t )                                              */
/*                                                      1    2  1    2  1    2  1    2                                               */
/*                                                                                                                                   */
/*                  alors que seront utilisees les coordonnees hyper-spheriques                                                      */
/*                  pour definir la multiplication :                                                                                 */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      q = q  . q  = (rho ,theta ,phi ,alpha ) . (rho ,theta ,phi ,alpha )                          */
/*                                           1    2       1      1    1      1        2      2    2      2                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                  = (rho  . rho ,theta  + theta ,phi  + phi ,alpha  + alpha )                      */
/*                                                        1      2      1        2    1      2      1        2                       */
/*                                                                                                                                   */
/*                    Par soucis de generalite, les combinaisons entre les quatre                                                    */
/*                  composantes {rho,theta,phi,alpha} des deux "pseudo-quaternions"                                                  */
/*                  seront en fait effectuees via des polynomes 'P' du quatrieme                                                     */
/*                  degre a deux variables initialises par defaut de facon a ce que :                                                */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      P(rho ,rho ) = rho  . rho                                                                    */
/*                                           1    2       1      2                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      P(theta ,theta ) = theta  + theta                                                            */
/*                                             1      2         1        2                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      P(phi ,phi ) = phi  + phi                                                                    */
/*                                           1    2       1      2                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      P(alpha ,alpha ) = alpha  + alpha                                                            */
/*                                             1      2         1        2                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*************************************************************************************************************************************/


(Nota : les lignes d'explications qui précédent sont des commentaires extraits des programmes ayant été utilisés pour calculer les images correspondantes. Ce programme en est un exemple parmi des centaines.)





[for more information about pseudo-quaternionic numbers (in english/en anglais)]
[pour plus d'informations à propos des pseudo-quaternions (en français/in french)]


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