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Deterministic Chaos

[Galerie (70 images différentes) : Chaos Déterministe]

Jean-François COLONNA
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CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris, CNRS, France

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Deterministic Chaos [Chaos Déterministe]:

The Verhulst Dynamics [La Dynamique de Verhulst] Bidimensional [Bidimensionnelle] Tridimensional [Tridimensionnelle] N-dimensional [N-dimensionnelle]	The Lorenz Attractor [L'Attracteur de Lorenz]	Pendulum Systems [Systèmes de Pendules]	The N-Body Problem [Le Problème des N-Corps]	Iterated Function Systems (IFS) [Systèmes de Fonctions Itérées (IFS)]
Miscellaneous [Divers]

Deterministic Chaos [Chaos Déterministe]:

[see also Sensitivity to Rounding-Off Errors]
[More information]

The Verhulst Dynamics [La Dynamique de Verhulst]:

Bidimensional Verhulst Dynamics [Dynamique de Verhulst bidimensionnelle]:

Bidimensional visualization of the Verhulst dynamics

Bidimensional visualization of the Verhulst dynamics
[Visualisation bidimensionnelle de la dynamique de Verhulst].

Bidimensional visualization of the Verhulst dynamics -(grey,orange,red)display negative Lyapunov exponents, (yellow,green,blue) display positive Lyapunov exponents-

Bidimensional visualization of the Verhulst dynamics -(grey,orange,red) display negative Lyapunov exponents, (yellow,green,blue) display positive Lyapunov exponents-
[Visualisation bidimensionnelle de la dynamique de Verhulst -(gris,orange,rouge) montrent les exposants de Lyapunov négatifs, (jaune,vert,bleu) montrent les exposants de Lyapunov positifs-].

Bidimensional zoom in on the Verhulst dynamics

Bidimensional zoom in on the Verhulst dynamics
[Zoom sur une représentation bidimensionnelle de la dynamique de Verhulst].

Tridimensional visualization of the Verhulst dynamics

Tridimensional visualization of the Verhulst dynamics
[Visualisation tridimensionnelle de la dynamique de Verhulst].

Bidimensional display of the rounding-off errors when computing the Verhulst dynamics

Bidimensional display of the rounding-off errors when computing the Verhulst dynamics
[Visualisation bidimensionnelle des erreurs d'arrondi dans le calcul de la dynamique de Verhulst].

Tridimensional display of the rounding-off errors when computing the Verhulst dynamics

Tridimensional display of the rounding-off errors when computing the Verhulst dynamics
[Visualisation tridimensionnelle des erreurs d'arrondi dans le calcul de la dynamique de Verhulst].

Tridimensional Verhulst Dynamics [Dynamique de Verhulst tridimensionnelle]:

Tridimensional visualizations of the Verhulst dynamics

Tridimensional visualizations of the Verhulst dynamics
[Visualisations tridimensionnelles de la dynamique de Verhulst].

Tridimensional high resolution visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter-

Tridimensional high resolution visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter-
[Visualisation tridimensionnelle haute résolution de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-].

Tridimensional high resolution visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter-

Tridimensional high resolution visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter-
[Visualisation tridimensionnelle haute résolution de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-].

Tridimensional high resolution visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter-

Tridimensional high resolution visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter-
[Visualisation tridimensionnelle haute résolution de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-].

Tridimensional high resolution visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter-

Tridimensional high resolution visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter-
[Visualisation tridimensionnelle haute résolution de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-].

Tridimensional high resolution visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter-

Tridimensional high resolution visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter-
[Visualisation tridimensionnelle haute résolution de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-].

Tridimensional high resolution visualization of an extended Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter-

Tridimensional high resolution visualization of an extended Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter-
[Visualisation tridimensionnelle haute résolution d'une dynamique de Verhulst étendue -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-].

Tridimensional high resolution visualization of an extended Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter-

Tridimensional high resolution visualization of an extended Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter-
[Visualisation tridimensionnelle haute résolution d'une dynamique de Verhulst étendue -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-].

Tridimensional high resolution visualization of an extended Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter-

Tridimensional high resolution visualization of an extended Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter-
[Visualisation tridimensionnelle haute résolution d'une dynamique de Verhulst étendue -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-].

Tridimensional high resolution visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter-

Tridimensional high resolution visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter-
[Visualisation tridimensionnelle haute résolution de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-].

Tridimensional high resolution visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter-

Tridimensional high resolution visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter-
[Visualisation tridimensionnelle haute résolution de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-].

Tridimensional high resolution visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter-

Tridimensional high resolution visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter-
[Visualisation tridimensionnelle haute résolution de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-].

Tridimensional high resolution visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter-

Tridimensional high resolution visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter-
[Visualisation tridimensionnelle haute résolution de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-].

Tridimensional high resolution visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter-

Tridimensional high resolution visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter-
[Visualisation tridimensionnelle haute résolution de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-].

Tridimensional visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter- [Visualisation tridimensionnelle de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-].	Tridimensional visualization of the Verhulst dynamics -'The Flying Dutchman', a Tribute to Richard Wagner- [Visualisation tridimensionnelle de la dynamique de Verhulst -'Le Vaisseau Fantôme', un hommage à Richard Wagner-].	Tridimensional visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter- [Visualisation tridimensionnelle de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-].	Tridimensional high resolution visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter- [Visualisation tridimensionnelle haute résolution de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-].	Tridimensional high resolution visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter- [Visualisation tridimensionnelle haute résolution de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-].
Tridimensional visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter- [Visualisation tridimensionnelle de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-].

Tridimensional visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter-

Tridimensional visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter-
[Visualisation tridimensionnelle de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-].

Tridimensional visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter-

Tridimensional visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter-
[Visualisation tridimensionnelle de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-].

Tridimensional visualization of the Verhulst dynamics [Visualisation tridimensionnelle de la dynamique de Verhulst].	Tridimensional visualization of the Verhulst dynamics [Visualisation tridimensionnelle de la dynamique de Verhulst].	Tridimensional visualization of the Verhulst dynamics [Visualisation tridimensionnelle de la dynamique de Verhulst].	Tridimensional visualization of the Verhulst dynamics [Visualisation tridimensionnelle de la dynamique de Verhulst].	Tridimensional visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter- [Visualisation tridimensionnelle de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-].
Tridimensional visualization of the Verhulst dynamics [Visualisation tridimensionnelle de la dynamique de Verhulst].

N-dimensional Verhulst Dynamics [Dynamique de Verhulst N-dimensionnelle]:

Tridimensional visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter-

Tridimensional visualization of the Verhulst dynamics -'Time Ships', a Tribute to Stephen Baxter-
[Visualisation tridimensionnelle de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-].

The Lorenz Attractor [L'Attracteur de Lorenz]:

The Lorenz attractor

The Lorenz attractor
[L'attracteur de Lorenz].

The Lorenz attractor

The Lorenz attractor
[L'attracteur de Lorenz].

The Lorenz attractor

The Lorenz attractor
[L'attracteur de Lorenz].

Rotation about the X axis of the Lorenz attractor

Rotation about the X axis of the Lorenz attractor
[Rotation autour de l'axe X de l'attracteur de Lorenz].

Rotation about the X axis of the Lorenz attractor

Rotation about the X axis of the Lorenz attractor
[Rotation autour de l'axe X de l'attracteur de Lorenz].

Rotation about the Y (vertical)axis of the Lorenz attractor that can also be viewed as a set of 4x3 stereograms

Rotation about the Y (vertical) axis of the Lorenz attractor that can also be viewed as a set of 4x3 stereograms
[Rotation autour de l'axe Y (vertical) de l'attracteur de Lorenz qui peut être vue comme un ensemble de 4x3 stéréogrammes].

Rotation about the Y (vertical)axis of the Lorenz attractor that can also be viewed as a set of 4x3 stereograms

Rotation about the Y (vertical) axis of the Lorenz attractor that can also be viewed as a set of 4x3 stereograms
[Rotation autour de l'axe Y (vertical) de l'attracteur de Lorenz qui peut être vue comme un ensemble de 4x3 stéréogrammes].

The Lorenz attractor -sensitivity to initial conditions (displayed as the central point of each frame)-

The Lorenz attractor -sensitivity to initial conditions (displayed as the central point of each frame)-
[L'attracteur de Lorenz -sensibilité aux conditions initiales (représentées par le point central de chaque image)-].

The Lorenz attractor -sensitivity to integration methods used (Red=Euler, Green=Runge-Kutta/2nd order, Blue=Runge-Kutta/4th order)-

The Lorenz attractor -sensitivity to integration methods used (Red=Euler, Green=Runge-Kutta/2nd order, Blue=Runge-Kutta/4th order)-
[L'attracteur de Lorenz -sensibilité à la méthode d'intégration utilisée (Rouge=Euler, Vert=Runge-Kutta/second ordre, Bleu=Runge-Kutta/quatrième ordre)-].

Computation of the Lorenz attractor on three different computers (the Red one, the Green one and the Blue one: sensitivity to rounding-off errors)

Computation of the Lorenz attractor on three different computers (the Red one, the Green one and the Blue one: sensitivity to rounding-off errors)
[Calcul de l'attracteur de Lorenz sur trois ordinateurs différents (le Rouge, le Vert et le Bleu: sensibilité aux erreurs d'arrondi)].

Rotation about the X axis of the Lorenz attractor (1000 iterations), computed simultaneously on two different computers

Rotation about the X axis of the Lorenz attractor (1000 iterations), computed simultaneously on two different computers
[Rotation autour de l'axe X de l'attracteur de Lorenz (1000 itérations), calculée sur deux ordinateurs différents].

Rotation about the X axis of the Lorenz attractor (5000 iterations), computed simultaneously on two different computers

Rotation about the X axis of the Lorenz attractor (5000 iterations), computed simultaneously on two different computers
[Rotation autour de l'axe X de l'attracteur de Lorenz (5000 itérations), calculée sur deux ordinateurs différents].

Bidimensional display of the integration of the Lorenz attractor system for 448500 different initial conditions

Bidimensional display of the integration of the Lorenz attractor system for 448500 different initial conditions
[Visualisation bidimensionnelle de l'intégration du système de l'attracteur de Lorenz pour 448500 conditions initiales différentes].

The evolution of the bidimensional field defining the three coordinates of a sphere using the Lorenz attractor

The evolution of the bidimensional field defining the three coordinates of a sphere using the Lorenz attractor
[Evolution du champ bidimensionnel définissant les trois coordonnées d'une sphère à l'aide de l'attracteur de Lorenz].

The evolution of the bidimensional field defining the three coordinates of a Klein bottle using the Lorenz attractor

The evolution of the bidimensional field defining the three coordinates of a Klein bottle using the Lorenz attractor
[Evolution du champ bidimensionnel définissant les trois coordonnées de la bouteille de Klein à l'aide de l'attracteur de Lorenz].

The Lorenz attractor in motion

The Lorenz attractor in motion
[L'attracteur de Lorenz en mouvement].

Pendulum Systems [Systèmes de Pendules]:

More information about Pendulum Systems

Three pendulums -the Red one, the Green one and the Blue one- and three magnets -white-

Three pendulums -the Red one, the Green one and the Blue one- and three magnets -white-
[Trois pendules -le Rouge, le Vert et le Bleu- et trois aimants -blancs-].

The three pendulums and three magnets problem computed on three different computers (the Red one, the Green one and the Blue one: sensitivity to rounding-off errors)

The three pendulums and three magnets problem computed on three different computers (the Red one, the Green one and the Blue one: sensitivity to rounding-off errors)
[Le problème des trois pendules et des trois aimants calculés sur trois ordinateurs différents (le Rouge, le Vert et le Bleu: sensibilité aux erreurs d'arrondi)].

The N-Body Problem [Le Probleme des N-Corps]:

More information about the N-Body Problem

N-body problem integration (N=2)displaying a perfect Keplerian orbit (an ellipse)

N-body problem integration (N=2) displaying a perfect Keplerian orbit (an ellipse)
[Intégration du problème des N-corps (N=2) montrant une orbite keplérienne parfaite (une ellipse)].

N-body problem integration (N=2)displaying a perfect Keplerian orbit

N-body problem integration (N=2) displaying a perfect Keplerian orbit
[Intégration du problème des N-corps (N=2) montrant une orbite keplérienne parfaite (ellipse)].

N-body problem integration (N=3)with one yellow star and two planets (the red one being very heavy and the blue one being light)

N-body problem integration (N=3) with one yellow star and two planets (the red one being very heavy and the blue one being light)
[Intégration du problème des N-corps (N=3) avec une étoile jaune et deux planètes (la rouge étant très lourde alors que la bleue est légère)].

16 earth-like planets initially on the same keplerian trajectory

16 earth-like planets initially on the same keplerian trajectory
[16 planètes identiques à la Terre initialement sur la même trajectoire keplérienne].

N-body problem integration (N=4)with one yellow star and two planets (the red one being very heavy and the blue one and its white satellite being light)

N-body problem integration (N=4) with one yellow star and two planets (the red one being very heavy and the blue one and its white satellite being light)
[Intégration du problème des N-corps (N=4) avec une étoile jaune et deux planètes (la rouge étant très lourde et la bleue, ainsi que son satellite blanc, étant légers)].

N-body problem integration (N=4: one star, one heavy planet and one light planet with a satellite)-sensitivity to initial conditions-

N-body problem integration (N=4: one star, one heavy planet and one light planet with a satellite) -sensitivity to initial conditions-
[Intégration du problème des N-corps (N=4: une étoile, une planète lourde et une planète légère avec un satellite) -sensibilité aux conditions initiales-].

N-body problem integration (N=4: one star, one heavy planet and one light planet with a satellite)computed on three different computers (the Red one, the Green one and the Blue one: sensitivity to rounding-off errors)

N-body problem integration (N=4: one star, one heavy planet and one light planet with a satellite) computed on three different computers (the Red one, the Green one and the Blue one: sensitivity to rounding-off errors)
[Intégration du problème des N-corps (N=4: une étoile, une planète lourde et une planète légère avec un satellite) calculé sur trois ordinateurs différents (le Rouge, le Vert et le Bleu: sensibilité aux erreurs d'arrondi)].

N-body problem integration (N=4: one star, one heavy planet and one light planet with a satellite)computed with 2 slightly different sets of initial conditions (sensitivity to initial conditions)

N-body problem integration (N=4: one star, one heavy planet and one light planet with a satellite) computed with 2 slightly different sets of initial conditions (sensitivity to initial conditions)
[Intégration du problème des N-corps (N=4: une étoile, une planète lourde et une planète légère avec un satellite) calculé avec 2 jeux de conditions initiales très légèrement différentes (sensibilité aux conditions initiales)].

N-body problem integration (N=4: one star, one heavy planet and one light planet with a satellite)computed with 2 different optimization options on the same computer (sensitivity to rounding-off errors)

N-body problem integration (N=4: one star, one heavy planet and one light planet with a satellite) computed with 2 different optimization options on the same computer (sensitivity to rounding-off errors)
[Intégration du problème des N-corps (N=4: une étoile, une planète lourde et une planète légère avec un satellite) calculé avec 2 options d'optimisation différentes (sensibilité aux erreurs d'arrondi)].

N-body problem integration (N=4: one star, one heavy planet and one light planet with a satellite)computed with 2 slightly different sets of initial conditions (sensitivity to initial conditions)

N-body problem integration (N=4: one star, one heavy planet and one light planet with a satellite) computed with 2 slightly different sets of initial conditions (sensitivity to initial conditions)
[Intégration du problème des N-corps (N=4: une étoile, une planète lourde et une planète légère avec un satellite) calculé avec 2 jeux de conditions initiales très légèrement différentes (sensibilité aux conditions initiales)].

N-body problem integration (N=4: one star, one heavy planet and one light planet with a satellite)computed with 2 different optimization options on the same computer (sensitivity to rounding-off errors)

N-body problem integration (N=4: one star, one heavy planet and one light planet with a satellite) computed with 2 different optimization options on the same computer (sensitivity to rounding-off errors)
[Intégration du problème des N-corps (N=4: une étoile, une planète lourde et une planète légère avec un satellite) calculé avec 2 options d'optimisation différentes (sensibilité aux ereurs d'arrondi)].

Iterated Function Systems (IFS) [Systèmes de Fonctions Itérées (IFS)]:

A bidimensional fern computed by means of an 'Iterated Function System' -IFS-

A bidimensional fern computed by means of an 'Iterated Function System' -IFS-
[Une fougère bidimensionnelle obtenue à l'aide de la méthode des 'Iterated Function Systems' -IFS-].

A bidimensional Sierpinski Carpet computed by means of an 'Iterated Function System' -IFS-

A bidimensional Sierpinski Carpet computed by means of an 'Iterated Function System' -IFS-
[Un 'tapis' de Sierpinski bidimensionnel obtenu à l'aide de la méthode des 'Iterated Function Systems' -IFS-].

A pyramidal Menger Sponge computed by means of an 'Iterated Function System' -IFS-

A pyramidal Menger Sponge computed by means of an 'Iterated Function System' -IFS-
[Une éponge pyramidale de Menger obtenue à l'aide de la méthode des 'Iterated Function Systems' -IFS-].

Miscellaneous [Divers]:

The Bertrand paradox

The Bertrand paradox
[Le paradoxe de Bertrand].

The Bertrand paradox

The Bertrand paradox
[Le paradoxe de Bertrand].

The extended Bertrand paradox

The extended Bertrand paradox
[Le paradoxe de Bertrand généralisé].

[See the Deterministic Chaos Slide Show [Visionnez le Diaporama de Chaos Deterministe]]

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