Du Modèle à l'Image : un Parcours semé d'Embûches

Jean-François COLONNA
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CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris, CNRS, France

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[N'oubliez pas de visiter Une Machine Virtuelle à Explorer l'Espace-Temps et au-delà où vous trouverez plus de 10.000 images et animations à la frontière de l'Art et de la Science]
(Site WWW CMAP28 : cette page a été créée le 29/11/2013 et mise à jour le 15/05/2026 19:18:40 -CEST-)

Résumé : Les Mathématiques peuvent être vues comme un "instrument d'optique" révolutionnaire, comme le furent en leur temps le microscope et le télescope. Leur redoutable efficacité, assistée par la puissance de calcul et de visualisation de nos ordinateurs, ont permis à l'expérimentation virtuelle d'envahir nos laboratoires, nos usines et nos maisons (par le biais des jeux vidéos). Les images animées alors produites sont de véritables champs d'observation que l'œil, toujours prompt à réagir, explore dans l'espoir d'une découverte : quelques exemples relevant de la diffusion bidimensionnelle, de la mécanique céleste ou encore de la géométrie fractale illustrent cela. Mais ces possibilités et ces succès ne doivent pas nous faire oublier, voire ignorer les difficultés sous-jacentes : la programmation, les nombres réels qui n'existent par dans nos machines ou encore le fait que les chiffres n'ont pas de couleurs.

Plan de ce document :

1-LES MATHEMATIQUES, UN "INSTRUMENT D'OPTIQUE" REVOLUTIONNAIRE :
2-DE L'ORDINATEUR AU META-ORDINATEUR :
3-L'EXPERIMENTATION VIRTUELLE :

3.1-La diffusion bidimensionnelle :
3.2-Les billards et la thermodynamique, l'optique, le mouvement brownien,... :
3.3-Les épicycles de Ptolémée revisités :
3.4-Les Mathématiques (pures) expérimentales :
3.5-Les Fractales déterministes :
3.6-Les Fractales non déterministes :

4-LES LIMITES DE NOS "OUTILS" :

4.1-L'INCOMPLETUDE DES MATHEMATIQUES (ET DONC DES INDECIDABLES EN PHYSIQUE ?) :
4.2-LA PROGRAMMATION : SCIENCE, ART OU BRICOLAGE ?
4.3-DE LA FIABILITE DES COMPILATEURS, DES LIBRAIRIES ET DES OUTILS GENERAUX :
4.4-D'INEVITABLES ERREURS :
4.5-DU CONTINU ET DES INFINIS :

Nombres Réels et Nombres Flottants :

Rappel : l'ordinateur est une machine finie (il ne connait pas les infinis) et discrète (il ne connait pas le continu).
Les Nombres Flottants ne sont pas des Nombres Rationnels, et encore moins des Nombres Réels :
La perte de l'Associativité de l'Addition et de la Multiplication :

Quelques conséquences des différences entre Nombres Réels et Nombres Flottants :

4.6-LA DIFFICULTE, VOIRE L'IMPOSSIBILITE DE CONSTRUIRE DES REPRESENTATIONS "NATURELLES" ET UNIQUES DES OBJETS ETUDIES :
4.7-LA GRANDE BIBLIOTHEQUE D'ALEXANDRIE REVISITEE :

5-ART ET MATHEMATIQUES, MATHEMATIQUES ET ART :
6-CONCLUSION : CONNAITRE LES LIMITES DE NOS OUTILS POUR LES MIEUX MAITRISER

1-LES MATHEMATIQUES, UN "INSTRUMENT D'OPTIQUE" REVOLUTIONNAIRE :

+26 8.8 10 mètres

$Vue artistique du Réseau Cosmique (nœuds, amas de galaxies, filaments,... incluant 1.083.984 galaxies)obtenu grâce à un processus fractal non déterministe$

L'Univers observable et au-delà...

La marche aléatoire des photons produits au cœur du Soleil

Intégration du problème des N-corps (N=10)montrant le véritable système solaire pendant une année plutonienne -point de vue du Soleil-

Les étoiles et les systèmes planétaires.

Le système solaire avec une planète virtuelle verte -point de vue de la planète virtuelle-

Turbulence et Chaos.

$Une structure végétale fractale$

Le champ des normales d'un coquillage (surface de Jeener 1)

Un morceau de la double hélice d'ADN -un hommage à Francis Crick, Rosalind Franklin et James Watson-

La Nature et la Vie, la Terre est notre Berceau.

Visualisation tridimensionnelle haute résolution de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-

Agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot dans l'ensemble des pseudo-octonions (un 'Mandelbulb')-section tridimensionnelle-

La Complexité émergeant du Chaos.

Visualisation tridimensionnelle de la superposition linéaire de 6 états propres de l'atome d'Hydrogène (calcul tridimensionnel)

Structure en quarks et gluons du nucléon

Molécules, Atomes et Particules Elémentaires.

-19 2.0 10 mètre

Terra Incognita (Mathematica ?)...

$Représentation tridimensionnelle de variétés quadridimensionnelles de Calabi-Yau -des variétés de Calabi-Yau en chaque point d'un espace fractal tridimensionnel-$

L'Espace-Temps, l'Echelle de Planck et au-delà...

-35 1.6 10 mètre

On ne peut échapper au sentiment que ces formules mathématiques ont une existence qui leur est propre, qu'elles sont plus savantes que ceux qui les ont découvertes, et que nous pouvons en extraire plus de science qu'il n'en a été mis à l'origine (Heinrich Hertz, XIXe siècle)

2-DE L'ORDINATEUR AU META-ORDINATEUR :

3-L'EXPERIMENTATION VIRTUELLE :

Les images, des espaces de découvertes (scientifiques ou autres...). Quelques exemples ("historiques"...) :

3.1-La diffusion bidimensionnelle :

$Front fractal de diffusion dans un milieu bidimensionnel obtenu grâce à un processus de marche aléatoire$

Images statiques.

La dynamique du processus de diffusion dans un milieu bidimensionnel obtenu grâce à un processus de marche aléatoire

$Le phénomène 'île-presqu'île' du front fractal de diffusion dans un milieu bidimensionnel obtenu grâce à un processus de marche aléatoire$

Images dynamiques.

Petites causes, grands effets...

3.2-Les billards et la thermodynamique, l'optique, le mouvement brownien,... :

Marche aléatoire isotrope de 64 particules sur un réseau carré bidimensionnel

Diffusion entre deux boîtes (conditions initiales : la boîte de gauche est vide alors que la boîte de droite contient 256 particules), avec collisions et une géométrie variable

Un piston bidimensionnel parfait avec les conditions initiales suivantes : piston immobîle, particules chaudes à gauche et froides à droite, le tout dans une boîte bidimensionnelle soumise à un champ de gravitation vertical

Un piston tridimensionnel parfait avec les conditions initiales suivantes : piston immobîle, particules chaudes à gauche et froides à droite, le tout dans une boîte tridimensionnelle soumise à un champ de gravitation vertical

Détente d'un gaz dans une boîte rectangulaire bidimensionnelle avec visualisation de l'histogramme des modules des vitesses

Mouvement brownien de quelques particules lourdes dans un gaz de particules plus légères et rapides, avec un rapport croissant des rapports de masse (lourdes/légères=1,10,100,1000)

Propagation d'une épidémie -changement des couleurs lors des contacts-

Billard de Kasner : Billard à géométrie variable (de courbures négatives à une courbure positive)avec une particule

Diffusion de particules à l'intérieur du modèle de l'acinus pulmonaire humain dû à Hiroko Kitaoka avec perméabilité de la membrane

Généraliser pour simplifier (Jacques Hadamard)...

3.3-Les épicycles de Ptolémée revisités :

Intégration du problème des N-corps (N=10)montrant le véritable système solaire pendant une année martienne -point de vue du Soleil avec zoom sur les quatre premiers planètes : {Mercure,Venus,la Terre,Mars}-

Intégration du problème des N-corps (N=10)montrant le véritable système solaire pendant une année martienne -point de vue de la Terre avec zoom sur les quatre premiers planètes-

Le voyage d'une planète virtuelle identique à la Terre (verte)dans le système solaire -point de vue héliocentrique-

Le voyage d'une planète virtuelle identique à la Terre (verte)dans le système solaire -point de vue de la planète virtuelle-

Chaos relatif, chaos virtuel...

3.4-Les Mathématiques (pures) expérimentales :

Une pseudo-marche aléatoire tridimensionnelle définie à l'aide de la racine carrée de 2 : 1.414213... -100.000 chiffres, -base 10- en 225245... -128.508 chiffres, base 6

Une pseudo-marche aléatoire tridimensionnelle définie à l'aide de 'phi' -le nombre d'or- : 1.618033... -100.000 chiffres, base 10- en 341254... -128.508 chiffres, -base 6-

Une pseudo-marche aléatoire tridimensionnelle définie à l'aide de 'e' : 2.718281... -100.000 chiffres, base 10- en 415052... -128.508 chiffres, base 6-

Une pseudo-marche aléatoire tridimensionnelle définie à l'aide de 'pi' : 3.141592... -100.000 chiffres, -base 10- en 050330... -128.508 chiffres, base 6-

La fonction spéciale de Liouville visualisée comme une marche aléatoire bidimensionnelle pour les nombres entiers de 2 à 100001

La spirale d'Ulam généralisée montrant 1024 nombres entiers

Une spirale d'Archimède montrant 100000 nombres entiers

La distance -un nombre pair- entre les nombres premiers consécutifs visualisée à l'aide de couleurs à luminance croissante

La conjecture de Goldbach -la comète de Goldbach ou l'arc-en ciel de Goldbach- pour les entiers pairs de 6 à 41518

Visualisation tridimensionnelle de la fonction Zêta de Riemann dans [-10.0,+60.0]x[-35.0,+35.0] (vue aérienne)

La conjecture de Syracuse pour U(0)={5,6,7,8,...,20} -visualisation en coordonnées polaires-

La persistance multiplicative des 65536 premiers nombres entiers pour les bases 2 -en bas et à gauche- à 17 -en haut et à droite-

Le jeu de la vie bidimensionnel de John Conway

12 points répartis équitablement sur une sphère -un Icosaèdre- par recuit simulé

Mais voir n'est pas démontrer...

La connexité de l'ensemble de Mandelbrot

3.5-Les Fractales déterministes :

Les 64 premières lignes du triangle de Pascal

Un pavage périodique du plan utilisant 2 flocons de neige de type von Koch -itération 5-

Un pavage périodique du plan utilisant 3 flocons de neige de type von Koch -itération 5-

Le long de la frontière de l'ensemble de Mandelbrot

Calcul des racines de Z^3=1 grâce à la méthode de Newton

Le tapis de Sierpinski -itération 1 à 5-

Une coupe très étonnante dans l'éponge de Menger -itération 5- avec une transformation conforme (4xO+1)/(1xO-1) dans l'ensemble des octonions -section tridimensionnelle-

Un ensemble de Mandelbrot dans l'ensemble des pseudo-octonions (un 'MandelBulb')-section tridimensionnelle-

Un ensemble de Mandelbrot dans l'ensemble des pseudo-octonions (un 'MandelBulb')-'le coin des enfants' ou 'la conscience émergeant des Mathématiques'- -section tridimensionnelle-

Un ensemble de Julia brumeux dans l'ensemble des pseudo-octonions (comme un 'MandelBulb' : un 'JuliaBulb')calculé pour A=(-0.581514...,+0.635888...,0,0,0,0,0,0) -section tridimensionnelle-

Un ensemble de Julia brumeux dans l'ensemble des pseudo-octonions (comme un 'MandelBulb' : un 'JuliaBulb')calculé pour A=(-0.581514...,+0.635888...,0,0,0,0,0,0) et avec une rotation autour de l'axe X -section tridimensionnelle-

3.6-Les Fractales non déterministes :

Choux-fleurs, algues, coquillages,... dans le brouillard

$Synthèse fractale de montagnes avec de la végétation et des nuages d'orage$ $Animation d'un lever du Soleil sur un paysage fractal$

La Tour de Babel dans le brouillard -un hommage à Bruegel l'Ancien-

$Seize tores fractals entrelacés$ $Structure fractale tridimensionnelle$ $Représentation tridimensionnelle d'une variété quadridimensionnelle de Calabi-Yau fractale$

$Les trajectoires des particules d'agrégats fractals bidimensionnels obtenus par collage de 50% de celles-ci lors de leurs collisions, dans un champ de gravitation vertical$ $Les trajectoires des particules d'agrégats fractals bidimensionnels obtenus par collage de 50% de celles-ci lors de leurs collisions, dans un champ de gravitation central attractif$

$Le phénomène 'île-presqu'île' du front fractal de diffusion dans un milieu bidimensionnel obtenu grâce à un processus de marche aléatoire$

Une éponge pyramidale de Menger obtenue à l'aide de la méthode des 'Iterated Function Systems' -IFS-

4-LES LIMITES DE NOS "OUTILS" :

4.1-L'INCOMPLETUDE DES MATHEMATIQUES (ET DONC DES INDECIDABLES EN PHYSIQUE ?) :

4.2-LA PROGRAMMATION : SCIENCE, ART OU BRICOLAGE ?

4.3-DE LA FIABILITE DES COMPILATEURS, DES LIBRAIRIES ET DES OUTILS GENERAUX :

4.4-D'INEVITABLES ERREURS :

Des erreurs évidentes.

Des erreurs imperceptibles mais pas nécessairement négligeables.

Les Nombres Flottants ne sont pas des Nombres Rationnels, et encore moins des Nombres Réels : un merveilleux petit programme (du linéaire mathématique au non linéaire informatique).

La perte de l'Associativité de l'Addition et de la Multiplication.

Quelques conséquences des différences entre Nombres Réels et Nombres Flottants :

Rappel : la sensibilité aux conditions initiales [exemple du problème des N-corps].

La sensibilité aux options de compilation [exemple du problème des N-corps].

La sensibilité au système utilisé [exemple du problème des N-corps].

L'influence de la syntaxe des programmes [exemple de la dynamique de Verhulst.]

La sensibilité à la méthode d'intégration numérique [exemple de l'attracteur de Lorenz].

La sensibilité au calcul parallèle [exemple de l'attracteur de Lorenz].

La non réversibilité du temps [exemple du billiard bidimensionnel].

La possible perte de la pérennité de nos résultats.

4.6-LA DIFFICULTE, VOIRE L'IMPOSSIBILITE DE CONSTRUIRE DES REPRESENTATIONS "NATURELLES" ET UNIQUES DES OBJETS ETUDIES :

Comment représenter les objets mathématiques, même les plus élémentaires ?

Certains "objets" sont interdits de représentation alors que d'autres n'ont pas d'images.

De la difficulté de respecter les échelles et les proportions.

Bien souvent les espaces utilisés ont plus de deux dimensions, voire beaucoup plus.

De nombreux phénomènes étudiés sont dynamiques.

$Agrégat fractal tridimensionnel obtenu par collage de 100% des particules lors de leurs collisions, dans un champ de gravitation central$ $Animation d'un lever du Soleil sur un paysage fractal$

Comment trouver le bon point de vue ?

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Ne pas négliger les illusions d'optique !

$Vue artistique d'une texture bidimensionnelle obtenue grâce à l'auto-transformation d'un processus fractal$

Ne pas voir ce qui est, voir ce qui n'est pas...

En général, il n'y a donc pas de représentation a priori

Cacher ce qui est, montrer ce qui n'est pas...

4.7-LA GRANDE BIBLIOTHEQUE D'ALEXANDRIE REVISITEE :

5-ART ET MATHEMATIQUES, MATHEMATIQUES ET ART :

Quelques Vieilleries...

La notion d'œuvre potentielle...

$Représentation tridimensionnelle d'une variété quadridimensionnelle de Calabi-Yau fractale$

Agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot dans l'ensemble des pseudo-octonions (un 'Mandelbulb')avec une transformation conforme 1/O dans l'ensemble des pseudo-octonions -section tridimensionnelle-

L'ensemble de Julia dans le corps des quaternions calculé pour A=(0,1,0,0)-ou 'la danseuse d'Yr'- -section tridimensionnelle-

Structure paradoxale basée sur la géométrie de la surface de Boy

Papillon quaternionique avec arithmétique étendue -un hommage à Laurent Schwartz-

Un détail d'un 'MandelBox' brumeux -ou 'Sous la coupole'-, -section tridimensionnelle-

Les Nymphéas -un hommage à Claude Monet-

Sans Titre 0155 -un hommage à Yves Tanguy-

'There is a war' -un hommage à Leonard Cohen-

6-CONCLUSION : CONNAITRE LES LIMITES DE NOS OUTILS POUR LES MIEUX MAITRISER.