A propos des décimales de 'pi'

(ou comment montrer ce qui n'est pas ?)






Jean-François COLONNA
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CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris, CNRS, France

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(Site WWW CMAP28 : cette page a été créée le 08/21/2020 et mise à jour le 24/02/2024 18:50:39 -CET-)



Mots-Clefs : pi.





La constante universelle 'pi' est un nombre transcendant (comme quasiment tous les nombres réels...) et sa définition contient une infinité de décimales dont aujourd'hui -en 2024- 62.800 milliards sont connues [01].


La répartition de ces décimales est aléatoire et il est conjecturé (ce qui est vérifié -approximativement- sur les décimales actuellement connues) qu'il y a autant de 0, que de 1,..., que de 9. Mais aussi, autant de 00, que de 01,..., que de 99. Mais aussi, autant de 000, que de 001,..., que de 999,... et ce ad infinitum : 'pi' serait un nombre univers. On devrait donc y trouver n'importe quel nombre entier : or tout peut être numérisé, donc TOUT se trouverait dans les décimales de 'pi' (mais c'est vrai aussi pour tous les nombres réels dits normaux...) : ainsi, à condition d'aller suffisamment loin on serait sûr d'y trouver la biographie complète de l'auteur, mais aussi toutes ses variantes (par exemple celle qui relate sa naissance une micro-seconde plus tôt...) [02].


Cette image fut réalisée il y a quelques années suite à la publication dans la revue Sciences et Avenir d'une visualisation des décimales de 'pi' révélant des structures inattendues et extraordinaires ! Ces décimales étant aléatoires, cela ne se pouvait pas et mon image fut destinée à révèler la "supercherie".

Mais comment cette image , elle-aussi très structurée, est-elle calculee ? Sur un cercle (matérialisé par un décagone) les 10 chiffres {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} sont disposés de façon régulière.

Ainsi que le montre l'image , la première décimale de 'pi' ('1') est marquée sur le cercle, puis, le point correpondant à la seconde décimale ('4') est joint au premier point (en bas et à gauche). Les décimales suivantes sont récupérées ensuite les unes après les autres et les points correspondants sur le cercle joints dans le même ordre. Sur cette image qui ne montre donc que les dix-sept premières décimales il n'apparait aucune symétrie, aucune régularité (ce qui est logique et attendu...).

Alors, pourquoi l' image montre-t-elle une structure aussi symétrique ? Cela vient évidemment de la normalité conjecturée des décimales : s'il y a bien autant de 00, que de 01,..., que de 99, à condition d'utiliser suffisamment de décimales (1000 dans cette image -en fait 850 seraient suffisantes-), on est sûr de joindre tout point à tout autre point au moins une fois : d'où la symétrie parfaite !

Pour montrer que ces symétries ne sont que pures illusions, le cercle (une courbe bidimensionnelle) fut remplacé par une hélice portée par un cylindre, hélice (une courbe tridimensionnelle) sur laquelle sont marqués cette fois-ci une "infinité" de points étiquettés {1,2,3,4,5,6,7,8,9,0} périodiquement (l'étiquetage commence à 1 qui est la première décimale de 'pi'). Ces points sont ensuite joints les uns après les autres, dans l'ordre des décimales comme précédemment. Et là, évidemment, les "merveilleuses" symétries disparaissent !





Quelques visualisations bi- et tri-dimensionnelles des décimales de 'pi' plus pertinentes :




Les 16.444 premières décimales -base 4- de 'pi' visualisées comme une marche aléatoire bidimensionnelle 'absolue'.

Les 16.444 premières décimales -base 4- de 'pi' visualisées comme une marche aléatoire tridimensionnelle 'absolue', le numéro de chaque chiffre étant la troisième dimension.

Les 5.000 premiers couples de décimales -base 10- de 'pi' visualisées comme une marche aléatoire bidimensionnelle 'absolue'.
Les 5.000 premiers couples de décimales -base 10- de 'pi' visualisées comme une marche aléatoire bidimensionnelle 'relative'.
Les 10.000 premières décimales -base 10- de 'pi' visualisées comme une marche aléatoire bidimensionnelle 'absolue'.
Les 10.000 premières décimales -base 10- de 'pi' visualisées comme une marche aléatoire bidimensionnelle 'relative'.

Les 12.723 premières 'décimales' -base 6- de 'pi' visualisées comme une marche aléatoire tridimensionnelle 'absolue'.
Les 12.723 premières 'décimales' -base 6- de 'pi' visualisées comme une marche aléatoire tridimensionnelle 'absolue'.
Les 126.646 premières 'décimales' -base 6- de 'pi' visualisées comme une marche aléatoire tridimensionnelle 'absolue'.
Les 127.235 premières 'décimales' -base 6- de 'pi' visualisées comme une marche aléatoire tridimensionnelle 'absolue'.
Les 128.508 premières 'décimales' -base 6- de 'pi' visualisées comme une marche aléatoire tridimensionnelle 'absolue'.

Les 2.000 premières 'décimales' -base 10- de 'pi' considérées comme un grand nombre entier converti en base 4 et visualisées comme une marche aléatoire tridimensionnelle 'absolue' -3.289 pas-.
Les 2.000 premières 'décimales' -base 10- de 'pi' considérées comme un grand nombre entier converti en base 4 et visualisées comme une marche aléatoire tridimensionnelle 'absolue' -3.289 pas-, th number of each digit being the third dimension.

Les 10.000 premières 'décimales' -base 10- de 'pi' considérées comme un grand nombre entier converti en base 6 et visualisées comme une marche aléatoire tridimensionnelle 'absolue' -12.723 pas-.
Les 10.000 premières 'décimales' -base 10- de 'pi' considérées comme un grand nombre entier converti en base 6 et visualisées comme une marche aléatoire tridimensionnelle 'absolue' -12.723 pas-.
Les 100.000 premières 'décimales' -base 10- de 'pi' considérées comme un grand nombre entier converti en base 6 et visualisées comme une marche aléatoire tridimensionnelle 'absolue' -127.237 pas-.









  • [01] - Le 14/03/2019, à l'occasion du pi-day, Google a annoncé que Emma Harula Iwao, à l'aide du logiciel y-cruncher, avait battu le record du nombre de décimales de 'pi' en en calculant 31.415.926.535.897 (on reconnaitra dans ce nombre les treize premières...).

    Puis le 29/01/2020, Timothy Mullican, à l'aide du même logiciel, entrait lui-aussi dans l'Histoire du calcul de 'pi' avec 50.000 milliards de décimales

    Au mois d'août 2021, la Haute Ecole des Sciences Appliquées des Grisons (HES) en Suisse a annoncé avoir calculé 62.800 milliards de décimales.

    Le 09/06/2022 Google a annoncé que de nouveau Emma Harula Iwao, toujours à l'aide du logiciel y-cruncher, avait battu ce record en en calculant 100.000 milliards sur le Google Cloud...

    On notera que c'est en fait à Alexander J. Yee, l'auteur de y-cruncher, que revient le mérite de ces différents records ! Malgré tout, la plus belle performance dans ce domaine reste celle de Fabrice Bellard qui, en 2009, avait calculé 2.700 milliards de décimales sur un "simple" PC.

    A suivre...

    [Voir les 100.000 premières décimales de pi]

  • [02] - Cette remarque n'a évidemment aucun intérêt pratique, si ce n'est d'évoquer la Bibliothèque de Babel de Jorge Luis Borges...









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