De la visualisation des nombres réels




Une pseudo-marche aléatoire tridimensionnelle -coordonnées cartésiennes- définie à l'aide des 99.999 premières décimales de 'pi' (141592...)-base 10- avec 33.333 pas de temps

Jean-François COLONNA
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CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris, CNRS, France

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Dans la recherche fondamentale comme appliquée, nous sommes habitués à visualiser les ensembles de nombres que sont les résultats de calcul. Ces nombres sont en général des nombres réels ou plutot leur grossière approximation sous forme de nombres dits flottants [01][02]. Mais s'intéresse-t-on à les voir eux-mêmes ? Or le continu, qui peut paraître simple à certains, est rempli d'innombrables mystères et peut-être que tenter de représenter ceux qui le peuplent pourrait nous aider à mieux le percevoir.

L'ensemble des nombres réels R peut être décomposé en deux sous-ensembles : d'une part les nombres algébriques A [03] et d'autre part les nombres transcendants T [04]. Dans A, il y a évidemment les nombres entiers et même si cela a peu d'intérêt [05], il est facile de les représenter par des longueurs. Ensuite, il y a l'ensemble des nombres rationnels Q et là les choses commencent à se compliquer. En effet en utilisant la base 10, on aura parfois des développements décimaux simples et finis tel :

1/5 = 0.2

et d'autres qui ne le sont pas :

1/7 = 0.1428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571... ad infinitum

la séquence "142857" se répètant indéfiniment. Le rationnel 1/7 est évidemment solution de l'équation du premier degré suivante :

7x - 1 = 0

Mais que se passe-t-il avec une équation de degré supérieur et par exemple avec :

x2 - x - 1 = 0

La solution positive est φ, le nombre d'or : 
                               ___
                         1 + \/ 5
                    φ = ----------- ~ 1.6180339887498948482045868343656381177203091798057628621354486227052604628189024497072072041893911374...
                             2
Et dans ce développement décimal, il n'y a aucune structure évidente...

Enfin, en pénétrant dans l'univers des nombres transcendants, il est évident que les "choses" ne vont pas se simplifier. Ainsi, comme pour φ, les suites de décimales de e et π vont sembler aléatoires :

e = 2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274...
π = 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679... [06]

Peut-on imaginer des façons de montrer cela et qui permettrait, par exemple, de comparer visuellement le "chaos" de e et de π ? Une solution inspirée du mouvement brownien est possible. Elle consiste à considérer que les décimales successives définissent d'une façon ou d'une autre le mouvement d'une particule fictive. Evidemment, la façon de procéder est arbitraire et voici donc une solution parmi "mille" autres [07]. Soit donc une suite de chiffres et par exemple :

12345678901234567890...

À partir d'eux, nous allons définir 3 ensembles 'DX', 'DY' et 'DZ' : 

                                             -------> DX = 1               4               7               0               3               6                ...
                                            |               \             / \             / \             / \             / \             / \             /
                                            |                \           /   \           /   \           /   \           /   \           /   \           /
                                            |                 \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /
                    12345678901234567890... |-------> DY =     2       /       5       /       8       /       1       /       4       /       7       /
                                            |                   \     /         \     /         \     /         \     /         \     /         \     /
                                            |                    \   /           \   /           \   /           \   /           \   /           \   /
                                            |                     \ /             \ /             \ /             \ /             \ /             \ /
                                             -------> DZ =         3               6               9               2               5               8

ce qui donne :

DX = {1,4,7,0,3,6,...}
DY = {2,5,8,1,4,7,...}
DZ = {3,6,9,2,5,8,...}

Ces valeurs entières sont ensuite renormalisées [08] et chaque triplet {DXi,DYi,DZi} définira le déplacement élémentaire de notre particule fictive à l'instant i.

Voici quelques exemples de tels "mouvements browniens" :


Une pseudo-marche aléatoire tridimensionnelle -coordonnées cartésiennes- définie à l'aide des 99.999 premières décimales d'un nombre aléatoire arbitraire (190496...)-base 10- avec 33.333 pas de temps

Une pseudo-marche aléatoire tridimensionnelle -coordonnées cartésiennes- définie à l'aide des 99.999 premières décimales d'un nombre aléatoire arbitraire (190496...) -base 10- avec 33.333 pas de temps
Une pseudo-marche aléatoire tridimensionnelle -coordonnées cartésiennes- définie à l'aide des 99.999 premières décimales de la racine carrée de 2 (414213...)-base 10- avec 33.333 pas de temps

Une pseudo-marche aléatoire tridimensionnelle -coordonnées cartésiennes- définie à l'aide des 99.999 premières décimales de la racine carrée de 2 (414213...) -base 10- avec 33.333 pas de temps
Une pseudo-marche aléatoire tridimensionnelle -coordonnées cartésiennes- définie à l'aide des 99.999 premières décimales de 'phi' -le nombre d'or- (618033...)-base 10- avec 33.333 pas de temps

Une pseudo-marche aléatoire tridimensionnelle -coordonnées cartésiennes- définie à l'aide des 99.999 premières décimales de 'phi' -le nombre d'or- (618033...) -base 10- avec 33.333 pas de temps
Une pseudo-marche aléatoire tridimensionnelle -coordonnées cartésiennes- définie à l'aide des 99.999 premières décimales de 'e' (718281...)-base 10- avec 33.333 pas de temps

Une pseudo-marche aléatoire tridimensionnelle -coordonnées cartésiennes- définie à l'aide des 99.999 premières décimales de 'e' (718281...) -base 10- avec 33.333 pas de temps
Une pseudo-marche aléatoire tridimensionnelle -coordonnées cartésiennes- définie à l'aide des 99.999 premières décimales de 'pi' (141592...)-base 10- avec 33.333 pas de temps

Une pseudo-marche aléatoire tridimensionnelle -coordonnées cartésiennes- définie à l'aide des 99.999 premières décimales de 'pi' (141592...) -base 10- avec 33.333 pas de temps


Sur ces images, chaque chiffre est représenté par une sphère dont le rayon est une fonction linéaire décroissante de son rang i et la couleur -arbitraire- est aussi une fonction du rang i (du blanc pour les premiers chiffres au bleu sombre pour les derniers).


Que voit-on ? On voit (je dis bien "on voit" et non pas "on démontre"...) que certains nombre algébriques, tels racine de 2, et φ, ressemblent aux nombres transcendants "classiques" qui eux-mêmes semblent aléatoires [09].


Terminons cela par une réfèrence littéraire. En 1985, Carl Sagan [10] publiait Contact. Ce roman relate la réception du premier message venu de l'espace, son déchiffrement et le voyage "à l'autre bout de la galaxie" qui s'en suit. Eleanor Arroway, l'héroïne principale, dans les dernières pages de l'ouvrage se plonge à son retour dans le calcul de π en base 11 [11] et aux environs des "décimales" de rang 1020 elle découvre une suite de "0"s et de "1"s qui considérés comme un tableau bidimensionnel forment l'image d'un "cercle parfait" prouvant alors, par cette "signature de l'artiste", le "caractère intentionnel de l'Univers". Carl Sagan semble avoir oublié (ou ignoré ?) en rédigeant ces quelques lignes que π est fort probablement un nombre univers ce qui implique que ses décimales, quelle que soit la base, contiennent au moins une fois "tous" les nombres entiers et donc toutes les images possibles [12]... Voici une image :

Une pseudo-marche aléatoire tridimensionnelle -coordonnées cartésiennes- définie à l'aide des 99.999 premières décimales de 'pi' (141592...)-base 10- auxquelles sont ajoutées 492 chiffres définissant une hélice avec 33.497 pas de temps

illustrant cela. Après les 99.999 premières décimales, furent introduites 492 "fausses" décimales permettant de définir une hélice apparaissant en bleu sombre, en bas et à gauche. On notera que cette hélice doit effectivement exister et devrait apparaître au moins une fois, mais à condition de disposer de ressources spatio-temporelles probablement incompatibles avec notre Univers...







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