Définition de l'Espace de Verhulst-Lyapunov






Jean-François COLONNA
www.lactamme.polytechnique.fr
jean-francois.colonna@polytechnique.edu
CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, Ecole Polytechnique, CNRS, 91128 Palaiseau Cedex, France
france telecom, France Telecom R&D

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/*************************************************************************************************************************************/
/*                                                                                                                                   */
/*        E S P A C E   D E   V E R H U L S T - L Y A P U N O V  :                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*        Definition :                                                                                                               */
/*                                                                                                                                   */
/*                    Rappelons le principe de la Dynamique de                                                                       */
/*                  Verhulst (voir les fichiers 'v $xrk/verhulst.??$K').                                                             */
/*                  Une version "simplifiee" est donnee par l'iteration                                                              */
/*                  suivante :                                                                                                       */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      X    = R.X .(1 - X )                                                                         */
/*                                       n+1      n       n                                                                          */
/*                                                                                                                                   */
/*                    Le comportement de cette suite depend fortement de                                                             */
/*                  la valeur de 'R', et pour R > 3.56994571869, son                                                                 */
/*                  comportement devient chaotique, ainsi que le montre                                                              */
/*                  le graphe suivant :                                                                                              */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*                  R ^                                                                                                              */
/*                    |                                                             .                                                */
/*                    |***   * ***  *                        *         *      *     .                                                */
/*                    |       * *      * ***   * *    *   * **   *           *  **  .                                                */
/*                    |                                         *                   .                                                */
/*                    |        *** **  **      * *               * *    **         *.                                                */
/*                    |                                       * *                   .                                                */
/*                    |             * ***   **            *  *          *    *   * *.                                                */
/*                    |               *     *  *        **       *     * *    * *   .                                                */
/*                    |                   *          **                *    *** *   .                                                */
/*                    |                           * *     *                    ** * .                                                */
/*                    |                       *        *    *  *          *   *  *  .                                                */
/*                    |                        *     *  *  *         * ** * *   **  .                                                */
/*                    |                           ** **  **       *    *     *      .                                                */
/*                    |                           **   ****  *  *        *          .                                                */
/*                    |                             * *          *     *            .                                                */
/*                    |                               *            * *              .                                                */
/*                    |                                 *           *               .                                                */
/*                    |                                   *        *                .                                                */
/*                    |                                      *    *                 .                                                */
/*                    |                                         *                   .                                                */
/*                    |                                         *                   .                                                */
/*                    |                                          *                  .                                                */
/*                    |                                           *                 .                                                */
/*                    |                                            *                .                                                */
/*                    |                                             *               .                                                */
/*                    |                                              *              .                                                */
/*                    |                                               *             .                                                */
/*                    |                                                *            .                                                */
/*                    |                                                 *           .                                                */
/*                    |                                                   *         .                                                */
/*                    |                                                             .                                                */
/*                    |------------------------------------------------------------------------->                                    */
/*                    0                                                             1          X                                     */
/*                                                                                              n                                    */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*                    La dynamique de Markus, utilise la meme suite,                                                                 */
/*                  mais le taux de croissance 'R' change a chaque                                                                   */
/*                  iteration suivant une certaine loi en prenant                                                                    */
/*                  deux valeurs possibles 'R1' et 'R2'. J'ai etendu                                                                 */
/*                  cela a 3 valeurs 'R1', 'R2' et 'R3'. Ainsi, la loi                                                               */
/*                  de variation pourra etre :                                                                                       */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      R1 --> R2 --> R3 --> R1 --> R2 --> R3 --> ...                                                */
/*                                                                                                                                   */
/*                    Le triplet (R1,R2,R3) est considere comme etant                                                                */
/*                  les coordonnees {X,Y,Z} d'un point d'un espace                                                                   */
/*                  tridimensionnel, dont le coloriage est fonction                                                                  */
/*                  du caractere chaotique de la suite 'X' associe.                                                                  */
/*                  Le critere de chaos est donne par l'exposant de                                                                  */
/*                  Lyapunov ; lorsque celui-ci est negatif, la suite                                                                */
/*                  'X' est stable, alors que lorsqu'il est positif,                                                                 */
/*                  cette derniere est chaotique. Ainsi, seront obtenues                                                             */
/*                  des coupes du type :                                                                                             */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*                  #########################*o*####################################                                                 */
/*                  #########################*o*####################################                                                 */
/*                  #########################o**####################################                                                 */
/*                  ########################*-*#######*#############################                                                 */
/*                  ########################*o*#######*#############################                                                 */
/*                  #######################*o**#####################################                                                 */
/*                  #######################*o*######################################                                                 */
/*                  ######################*o**######################################                                                 */
/*                  ######################*-**#######*##############################                                                 */
/*                  #####################**o*########o###########################*##                                                 */
/*                  #####################*+**########*##############################                                                 */
/*                  ####################**o*########################################                                                 */
/*                  ####################*o**########################################                                                 */
/*                  ###################**o**########################################                                                 */
/*                  ###################*o**#########*####################*****######                                                 */
/*                  ##################**o**#########*###############################                                                 */
/*                  #######***o***####*o**##########################################                                                 */
/*                  #################**o**##########################################                                                 */
/*                  ################**o**###############################********o+*o                                                 */
/*                  ################*oo**##########*###############**oo+o*****######                                                 */
/*                  ###############**+***##########o###############**###############                                                 */
/*                  ###############*oo**###########*################################                                                 */
/*                  ##############**:***############################################                                                 */
/*                  ########*####**oo**#############################################                                                 */
/*                  *********###**o+***#############################################                                                 */
/*                  ***ooo+o####**+o**############*#################################                                                 */
/*                  +oo****####**oo***############o#################################                                                 */
/*                  ****######**o+***#############*#################################                                                 */
/*                  #########***+o**##############*#################################                                                 */
/*                  ########***oo***################################################                                                 */
/*                  #######***oo***##############*##################################                                                 */
/*                  ######***o-o***##############*##################################                                                 */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*                  ou en "negatif" :                                                                                                */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*                     .                                              .                                                              */
/*                                                                                                                                   */
/*                    .                                                                                                              */
/*                    .                            .                   .                                                             */
/*                                                                   .                                                               */
/*                   .                                               :                                                               */
/*                                          .                        :                                                               */
/*                  .                                                .                                                               */
/*                  .                                                .                                                               */
/*                  .                                                                                                                */
/*                                                 .                                                                                 */
/*                                        .      .                  .                                                                */
/*                                                          .       .                                                                */
/*                                            .                     - .                                                              */
/*                                              .                   .                                                                */
/*                                         .   .                    .                                                                */
/*                                        .   :                                                                                      */
/*                  .                   ..   .                     .                                                                 */
/*                  ..                ...  ..                      .                                                                 */
/*                  ...              .......                       +                                                                 */
/*                  .....         ...:....                         .                                                                 */
/*                    ..:...........::-..                          .                                                                 */
/*                     ....:::.:::-:+:..                           .                                                                 */
/*                        .........::..                           .                                                                  */
/*                           ......:...                           :            .                                                     */
/*                             ........                           :                                                                  */
/*                               ...+..                           .                                                                  */
/*                                ...:..                          .                                                                  */
/*                                 ...:..                        .                -                                                  */
/*                                   .....                       :  .          .                                                     */
/*                                     ......                    :         ..                                                        */
/*                                         ..:..                 .     ..                                                            */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*************************************************************************************************************************************/


(Nota : les lignes d'explications qui précèdent sont des commentaires extraits des programmes ayant été utilisés pour calculer les images correspondantes. Ce programme en est un exemple parmi des centaines.)


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