Les Nombres Transcendants

Jean-François COLONNA
[Contact me]

www.lactamme.polytechnique.fr

CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris, CNRS, France

[Site Map and Help [Plan du Site et Aide]]
[The Y2K Bug [Le bug de l'an 2000]]
[Are we ready for the Year 2038 [Notre informatique est-elle prête pour l'An 2038] ?]
[Real Numbers don't exist in Computers and Floating Point Computations aren't safe. [Les Nombres Réels n'existent pas dans les Ordinateurs et les Calculs Flottants ne sont pas sûrs.]]
[N'oubliez pas de visiter Une Machine Virtuelle à Explorer l'Espace-Temps et au-delà où vous trouverez plus de 10.000 images et animations à la frontière de l'Art et de la Science]
(Site WWW CMAP28 : cette page a été créée le 11/12/2024 et mise à jour le 04/06/2026 21:41:57 -CEST-)

[in english/en anglais]

Mots-Clefs : A2M, An 2000, An 2038, Bogue, Bug, Bug de l'An 2000, Bug de l'An 2038, Bugix, Millenium Bug, Year 2000 Bug, Year 2000 Problem, Year 2038 Bug, Year 2038 Problem, Y2K, Y2K Bug, Y2028, Y2028 Bug, Anaglyphes, Art et Science, Autostéréogrammes, Chaos Déterministe, Création Artistique, Entrelacs, Erreurs d'arrondi, Expérimentation Virtuelle, Génie Logiciel, Géométrie Fractale, Infographie, Intelligence Artificielle, Intelligence Artificielle Générative, Mathématiques, Mécanique Céleste, Mécanique Quantique, Physique, Synthèse d'Images, Sensibilité aux Erreurs d'Arrondi, Simulation Numérique, Stéréogrammes, Synthèse de Phénomènes Naturels, Synthèse de Texture, Visualisation Scientifique, Voyage Virtuel dans l'Espace-Temps.

Le dictionnaire Le Petit Robert nous explique qu'est transcendant ce qui s'élève au-dessus d'un niveau donné, mais aussi qui est sublime, supérieur. Cela implique donc, dans vie courante, que ce qui est transcendant est rare, l'exception...

Mais en Mathématiques, il en va tout autrement. En effet :

L'ensemble R des nombres réels peut être décomposé en deux sous-ensembles :
- Le sous-ensemble A des nombres algébriques, c'est-à-dire les nombres qui sont les solutions réelles d'équations polynomiales à coefficients entiers. Ainsi, par exemple, l'équation du premier degré :
```
7.X - 22 = 0
```
  définit le nombre rationnel 22/7. Quant à l'équation du second degré :
```
X²- X - 1 = 0
```
  elle définit les nombres (1-sqrt(5))/2 et (1+sqrt(5))/2 (le nombre d'or -phi-).
- Le sous-ensemble T des nombres transcendants, c'est-à-dire les nombres qui ne sont pas algébriques. Le plus célèbre d'entre-eux est bien certainement le nombre π...
et ainsi :
```
R = A ∪ T
A ∩ T = 0
```
En ce qui concerne les cardinaux respectifs de N (les nombres entiers), de Q (les nombres rationnels), de A et de R, on démontre facilement que :
- N est qualifié de dénombrable.
- Q est dénombrable de par l'existence d'une bijection avec N
- A est dénombrable de par l'existence d'une bijection avec Q
- R est non dénombrable et est qualifié de continu.

En résumé :
```
R(non dénombrable) = A(dénombrable) ∪ T
```
implique que T est, comme R, non dénombrable et ainsi T est "beaucoup plus gros" que A. Ce sont donc les nombres algébriques (de A) qui sont rares et les nombres transcendants (de T) qui sont les plus "présents" dans R.

Les Nombres Transcendants

Jean-François COLONNA [Contact me]

www.lactamme.polytechnique.fr

CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris, CNRS, France

Copyright © Jean-François COLONNA, 2009-2026. Copyright © CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641 / École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris, 2009-2026.

Jean-François COLONNA
[Contact me]

Copyright © Jean-François COLONNA, 2009-2026.
Copyright © CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641 / École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris, 2009-2026.