De la Dénombrabilité des Nombres Algébriques

(Polynômes à coefficients entiers, Nombres Premiers, Nombres Rationnels et Nombres Transcendants)






Jean-François COLONNA
[Contact me]

www.lactamme.polytechnique.fr

CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris, CNRS, France

[Site Map, Help and Search [Plan du Site, Aide et Recherche]]
[The Y2K Bug [Le bug de l'an 2000]]
[Real Numbers don't exist in Computers and Floating Point Computations aren't safe. [Les Nombres Réels n'existent pas dans les Ordinateurs et les Calculs Flottants ne sont pas sûrs.]]
[N'oubliez pas de visiter Une Machine Virtuelle à Explorer l'Espace-Temps et au-delà où vous trouverez plus de 10.000 images et animations à la frontière de l'Art et de la Science]
(Site WWW CMAP28 : cette page a été créée le 29/05/2020 et mise à jour le 23/12/2025 17:45:51 -CET-)



[in english/en anglais]


Résumé : Comment "compter" les polynômes à coefficients entiers. Une relation entre les nombres premiers et les nombres transcendants.


Mots-Clefs : Polynomials, Polynômes, Prime Numbers, Nombres Premiers, Rational Numbers, Nombres Rationnels, Algebraic Numbers, Nombres Algébriques, Transcendent Numbers, Nombres Transcendants.



Soit P(X) un polynôme de degré n à coefficients entiers : 
                    P(X) = A0*X0 + A1*X1 + A2*X2 + (...) + An-2*Xn-2 + An-1*Xn-1 + An*Xn

                    Ai ∈ Z ∀ i

                    An # 0
Ensuite, en utilisant les n+1 coefficients du polynôme, définissons le nombre rationnel unique (et "irréductible", c'est-à-non dire non simplifiable de par la définition même des nombres premiers) suivant : 
                    R = 2A0 * 3A1 * 5A2 * 7A3 * (...) * Fn+1An
où les nombres {F1=2,F2=3,F3=5,F4=7,...,Fn+1} sont les n+1 premiers nombres premiers Fi. Alors évidemment : 
                    R = a/b avec a ∈ N*,b ∈ N*,PGCD(a,b)=1
Par exemple : 
                                           ---------------------------------------
                                          |                                       |
                                          |       --------------------------      |
                                          |      |                          |     |
                                          |      |       -------------      |     |
                                          |      |      |             |     |     |
                    P(X) = X2 - X - 1 = + 1*X2 - 1*X1 - 1*X0 ==> R = 2-1 * 3-1 * 5+1 = 5/(2*3) = 5/6
(au passage, la racine positive de l'équation P(X)=0 définit le nombre d'or).

Le nombre R appartient donc à l'ensemble suivant : 
                    Q' = {a/b|a ∈ N*,b ∈ N*,PGCD(a,b)=1}


Inversement, n'importe quel nombre R dans Q' définit un unique polynôme à coefficients entiers.

Par exemple : 
                                             ---------------------------------------------------------------
                                            |                                                               |
                                            |     ---------------------------------------------------       |
                                            |    |                                                   |      |
                                            |    |     ----------------------------------------      |      |
                                            |    |    |                                        |     |      |
                                            |    |    |     ----------------------------       |     |      |
                                            |    |    |    |                            |      |     |      |
                                            |    |    |    |       --------------       |      |     |      |
                                            |    |    |    |      |              |      |      |     |      |
                    R = 22/7 = (2*11)/7 = 2+1 * 30 * 50 * 7-1 * 11+1 ==> P(X) = + 1*X4 - 1*X3 + 0*X2 + 0*X1 + 1*X0 = X4 - X3 + 1


Ce processus définit une bijection entre Q' et l'ensemble des polynômes à coefficients entiers. Q' étant un sous ensemble de Q (les nombres rationnels) et Q étant dénombrable, alors l'ensemble des polynômes à coefficients entiers est dénombrable.

Enfin, les racines réelles des polynômes à coefficients entiers définissent les nombres dits algébriques. Rappelons qu'un polynôme de degré n possède n racines complexes et donc au plus n racines réelles. Donc les nombres algébriques sont dénombrables (un résultat bien connu, obtenu ici au moyen des nombres premiers et des nombres rationnels).




Nota : Il est possible d'aller plus loin en numérotant {1,2,...,n} les racines du polynôme P(X), qu'elles soient réelles ou complexes. Alors, si M est le numéro d'une certaine racine, à la définition de R un nouveau facteur égal à Fn+2 élevé à la puissance M pourra être introduit : 
                    R = 2A0 * 3A1 * 5A2 * 7A3 * (...) * Fn+1An * Fn+2M
Alors, afin de pouvoir définir une bijection, il convient d'ajouter la condition suivante : 
                    PGCD(A0,A1,A2,(...),An)=1
En effet, si K est un nombre entier non nul arbitraire, alors les polynomes P(X) et K.P(X) ont évidemment les mêmes racines. Par exemple, toutes les équations K.X2-K.X-K=0 avec K#0 définissent les mêmes deux nombres rationnels (1+sqrt(5))/2 (le nombre d'or) et (1-sqrt(5))/2.

Cela crée alors une bijection entre les nombres rationnels et l'ensemble de l'"identité" (c'est-à-dire le numéro) des racines des polynômes à coefficients entiers.



Rappelons une conséquence de ce résultat : les nombres transcendants sont non dénombrables et donc existent. En effet : 
NombresRéels = NombresAlgébriques ∪ NombresTranscendants

NombresAlgébriques ∩ NombresTranscendants = 0

Les Nombres Réels ne sont pas dénombrables et les Nombres algébriques sont dénombrables
d'où :

Les Nombres Transcendants ne sont pas dénombrables et donc existent






Annexe :

Voici les premiers Nombres Rationnels positifs "irréductibles" (en gras) en utilisant le même ordre que celui utilisé pour démontrer leur dénombrabilité, puis les premiers Nombres Entiers :


1/1 : P(X) = 0 [*]1/2 : P(X) = -11/3 : P(X) = -X1/4 : P(X) = -21/5 : P(X) = -X21/6 : P(X) = -X-11/7 : P(X) = -X31/8 : P(X) = -3
2/1 : P(X) = +12/2=1/12/3 : P(X) = -X+12/4=1/22/5 : P(X) = -X2+12/6=1/32/7 : P(X) = -X3+1
3/1 : P(X) = +X3/2 : P(X) = +X-13/3=1/13/4 : P(X) = +X-23/5 : P(X) = -X2+X3/6=1/2
4/1 : P(X) = +24/2=2/14/3 : P(X) = -X+24/4=1/14/5 : P(X) = -X2+2
5/1 : P(X) = +X25/2 : P(X) = +X2-15/3 : P(X) = +X2-X5/4 : P(X) = +X2-2
6/1 : P(X) = +X+16/2=3/16/3=2/1
7/1 : P(X) = +X37/2 : P(X) = +X3-1
8/1 : P(X) = +3


ou en utilisant l'ordre des Nombres Rationnels :


1/1 : P(X) = 0 [*]
2/1 : P(X) = +11/2 : P(X) = -1
3/1 : P(X) = +X2/2=1/11/3 : P(X) = -X
4/1 : P(X) = +23/2 : P(X) = +X-12/3 : P(X) = -X+11/4 : P(X) = -2
5/1 : P(X) = +X24/2=2/13/3=1/12/4=1/21/5 : P(X) = -X2
6/1 : P(X) = +X+15/2 : P(X) = +X2-14/3 : P(X) = -X+23/4 : P(X) = +X-22/5 : P(X) = -X2+11/6 : P(X) = -X-1
7/1 : P(X) = +X36/2=3/15/3 : P(X) = +X2-X4/4=1/13/5 : P(X) = -X2+X2/6=1/31/7 : P(X) = -X3
8/1 : P(X) = +37/2 : P(X) = +X3-16/3=2/15/4 : P(X) = +X2-24/5 : P(X) = -X2+23/6=1/22/7 : P(X) = -X3+11/8 : P(X) = -3


ou encore en utilisant l'ordre des Nombres Entiers :


1 (1/1) : P(X) = 0 [*]
2 (1/2) : P(X) = -13 (2/1) : P(X) = +1
4 (1/3) : P(X) = -X5 ((2/2))=1/16 (3/1) : P(X) = +X
7 (1/4) : P(X) = -28 (2/3) : P(X) = -X+19 (3/2) : P(X) = +X-110 (4/1) : P(X) = +2
11 (1/5) : P(X) = -X212 ((2/4))=1/213 ((3/3))=1/114 ((4/2))=2/115 (5/1) : P(X) = +X2
16 (1/6) : P(X) = -X-117 (2/5) : P(X) = -X2+118 (3/4) : P(X) = +X-219 (4/3) : P(X) = -X+220 (5/2) : P(X) = +X2-121 (6/1) : P(X) = +X+1
22 (1/7) : P(X) = -X323 ((2/6))=1/324 (3/5) : P(X) = -X2+X25 ((4/4))=1/126 (5/3) : P(X) = +X2-X27 ((6/2))=3/128 (7/1) : P(X) = +X3
29 (1/8) : P(X) = -330 (2/7) : P(X) = -X3+131 ((3/6))=1/232 (4/5) : P(X) = -X2+233 (5/4) : P(X) = +X2-234 ((6/3))=2/135 (7/2) : P(X) = +X3-136 (8/1) : P(X) = +3


et enfin en utilisant l'ordre d'un sous-ensemble (évidemment dénombrable) des Nombres Entiers :


1 (1/1) : P(X) = 0 [*]
2 (1/2) : P(X) = -13 (2/1) : P(X) = +1
4 (1/3) : P(X) = -X 6 (3/1) : P(X) = +X
7 (1/4) : P(X) = -28 (2/3) : P(X) = -X+19 (3/2) : P(X) = +X-110 (4/1) : P(X) = +2
11 (1/5) : P(X) = -X2   15 (5/1) : P(X) = +X2
16 (1/6) : P(X) = -X-117 (2/5) : P(X) = -X2+118 (3/4) : P(X) = +X-219 (4/3) : P(X) = -X+220 (5/2) : P(X) = +X2-121 (6/1) : P(X) = +X+1
22 (1/7) : P(X) = -X3 24 (3/5) : P(X) = -X2+X 26 (5/3) : P(X) = +X2-X 28 (7/1) : P(X) = +X3
29 (1/8) : P(X) = -330 (2/7) : P(X) = -X3+1 32 (4/5) : P(X) = -X2+233 (5/4) : P(X) = +X2-2 35 (7/2) : P(X) = +X3-136 (8/1) : P(X) = +3


[*] : par convention


Copyright © Jean-François COLONNA, 2020-2025.
Copyright © CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641 / École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris, 2020-2025.