Exposition :

Mairie du cinquième arrondissement de Paris, 29/01/2020-07/02/2020




Une coupe très étonnante dans l'éponge de Menger -itération 5- avec une transformation conforme (4xO+1)/(1xO-1) dans l'ensemble des octonions -section tridimensionnelle-

Jean-François COLONNA
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www.lactamme.polytechnique.fr

CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris, CNRS, France

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Mathématiques et Art, Art et Mathématiques

Jean-François COLONNA

www.lactamme.polytechnique.fr

(Centre de Mathématiques APpliquées)


Introduction à l'exposition


On l'ignore trop souvent, mais les Mathématiques sont omniprésentes dans la vie courante : sans elles, pas de GPS, de téléphone portable ou encore de photo numérique. Mais elles sont aussi le langage de l'Industrie, des Sciences et de la Nature : de la recherche la plus appliquée à la recherche la plus fondamentale. A partir des formules et des équations qui traduisent, par exemple, notre compréhension de l'Univers, nous tirons de nouvelles connaissances et l'ordinateur joue alors un rôle déterminant en particulier par ses capacités de calcul et de mise en images des résultats alors produits.

Mais que sont les Mathématiques ? Elles peuvent être considérées comme un ensemble de connaissances obtenues grâce aux règles de la logique et portant sur les nombres, les structures, les figures géométriques,... Les progrès s'y font en général grâce à des problèmes posés à la communauté des mathématiciens par l'un de ses membres. La plupart du temps, pour ne pas dire toujours, ces questions sont incompréhensibles pour le commun des mortels et sans rapport apparent avec la Réalité tangible. Ainsi présentées, les Mathématiques sembleraient alors n'être qu'un "simple" jeu de l'esprit guère plus utile au quotidien que le jeu d'échecs. Pourtant depuis plus de deux mille ans et encore davantage à partir du XVIIe siècle avec Galilée, les Mathématiques sont considerées comme le langage avec lequel sont écrites les lois de la Nature. Les Mathématiques peuvent être alors considérées, à côté du microscope et du télescope, comme un véritable instrument d'optique (virtuel) qui nous révèlent toujours plus de phénomènes, d'"objets",... qui autrement échapperaient à notre regard, de l'infiniment petit à l'infiniment grand.

Mais ses incontestables succès ne font que rendre plus mystérieuses leur nature profonde et la cause de leur "redoutable efficacité" (Eugène Wigner, prix Nobel de Physique 1963). Que sont donc les Mathématiques ? Deux réponses apparemment inconciliables peuvent être formulées : soit elles ne sont "que" le fruit de notre esprit et le mathématicien est un créateur (c'est-à-dire celui qui tire du néant). Soit elles existent indépendamment de nous et le mathématicien est un explorateur (celui qui parcourt en observant) ? Examinons successivement ces deux positions. Dans le premier cas, les Mathématiques (NOS Mathématiques !) sont le fruit de l'imagination des mathématiciens et d'elle-seule ; elles peuvent être vues alors comme un langage de compression des régularités observées dans la nature. Dans le second cas, les Mathématiques sont indépendantes de nous : elles existent alors en dehors de notre temps et de notre espace, mais où résident-elles et de quoi sont-elles faites ? Ces questions qui semblent tout à fait embarassantes, voire rédhibitoires, ne le sont en fait pas plus que celles de savoir où est notre univers et de quoi il est fait ! Il est même possible d'aller plus loin et de considérer que notre Réalité est "tout simplement" une structure mathématique (parmi une infinité d'autres...), un jeu vidéo en quelque sorte, à l'intérieur de laquelle ont émergé des sous-structures autonomes et conscientes (nous !). Et ainsi tout est "simple" : les Mathématiques décrivent bien notre Réalité parce que cette dernière est mathématique. Et si la Réalité est bien ainsi, la frontière entre l'Art et la Science s'estompe alors et nos ordinateurs y sont d'autres sous-structures qui nous aident à progressivement lever un petit coin du voile.

Et SI les Mathématiques sont effectivement LA Réalité, alors elles contiennent toutes les œuvres (d'Art) passées, présentes et à venir, mais aussi leurs créateurs. Tout serait donc "écrit", mais peu importe puisque nous avons le sentiment d'exister, d'être libre et de créer...





Note relative à la Géométrie Fractale : Malgré les progrès incessants des Mathématiques, jusqu'à un passé récent, certaines questions d'apparence naïve, telle "Quelle est la forme d'un nuage ?", restaient sans réponse... Or de temps en temps, des concepts nouveaux, voire révolutionnaires apparaissent : ce fut le cas dans les années 1960 lorsque Benoît Mandelbrot (1924-2010, X1944) publia ses premiers travaux sur la Géométrie Fractale. Elle permit de répondre à cette question et à bien d'autres encore. Rapidement, elle devint un outil indispensable pour l'étude des systèmes complexes, rugueux, désordonnés,... Mais elle est aussi connue pour les images tant abstraites que concrètes qu'elle permet de produire et c'est pour cela qu'elle se retrouve un peu partout dans cette exposition.








Auto-Portrait fractal -'Décalcomanie', un hommage à René Magritte-
1-Auto-Portrait fractal à la manière de René Magritte -Décalcomanie-. 		Auto-Portrait fractal tridimensionnel
2-Auto-Portrait fractal. 		Auto-Portrait tridimensionnel -un hommage à Victor Vasarely-
3-Auto-Portrait à la manière de Victor Vasarely.


Une pseudo-marche aléatoire tridimensionnelle définie à l'aide de 'pi' : 3.141592... -100.000 chiffres, -base 10- en 050330... -128.508 chiffres, base 6-
4-Les 126.646 premières "décimales" de pi calculées en base 6 et visualisées comme une marche aléatoire tridimensionnelle. 		Représentation tridimensionnelle de variétés quadridimensionnelles de Calabi-Yau -de telles variétés en chaque point de notre espace tridimensionnel familier ?-
5-L'espace à l'échelle de Planck dans le cadre de la théorie des super-cordes. 		De Pluton au Soleil -extrapolation 2-
6-Une généralisation du géocentrisme montrant le système solaire vu depuis 16 planètes virtuelles dont les trajectoires sont situées hors du plan de l'écliptique. 		Vue artistique du Réseau Cosmique (nœuds, amas de galaxies, filaments,... incluant 637.312 galaxies)obtenu grâce à un processus fractal non déterministe
7-Vue artistique du Réseau Cosmique (nœuds, amas de galaxies, filaments,... incluant 637.312 galaxies) obtenu grâce à un processus fractal non déterministe.
Sans Titre 0205
8-"Où est l'Univers ?".


Un ensemble de Mandelbrot dans l'ensemble des pseudo-octonions (un 'MandelBulb')-section tridimensionnelle-
9-Section tridimensionnelle dans un ensemble de Mandelbrot calculé dans l'ensemble des pseudo-octonions. 		Agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot dans l'ensemble des pseudo-octonions (un 'Mandelbulb')-section tridimensionnelle-
10-Section tridimensionnelle dans un détail d'un ensemble de Mandelbrot calculé dans l'ensemble des pseudo-octonions. 		Un ensemble de Mandelbrot dans l'ensemble des pseudo-octonions (un 'MandelBulb')-'le coin des enfants' ou 'la conscience émergeant des Mathématiques'- -section tridimensionnelle-
11-"La ronde des enfants" ou "La conscience émergeant des Mathématiques". 		L'ensemble de Julia -degré=2- dans le corps des quaternions calculé -pseudo-addition et pseudo-multiplication dans C- pour A=(-0.581514...,+0.635888...,0,0)-section tridimensionnelle-
12-Section tridimensionnelle dans un ensemble de Julia calculé dans l'ensemble des pseudo-quaternions.
Un ensemble de Julia brumeux dans l'ensemble des pseudo-octonions (comme un 'MandelBulb' : un 'JuliaBulb')calculé pour A=(-0.581514...,+0.635888...,0,0,0,0,0,0) et avec une rotation autour de l'axe X -section tridimensionnelle-
13-Section tridimensionnelle dans un ensemble de Julia calculé dans l'ensemble des pseudo-octonions. 		Premier contact -un hommage au film de Denis Villeneuve de 2016 rendu grâce à un ensemble de Julia dans l'ensemble des pseudo-quaternions-
14-"Premier contact" -un hommage fractal au film de Denis Villeneuve de 2016-. 		L'éponge de Menger -itération 5-
15-L'éponge de Menger -itération 5-. 		Une coupe très étonnante dans l'éponge de Menger -itération 5-
16-Une coupe très étonnante dans l'éponge de Menger -itération 5-.
Une coupe très étonnante dans l'éponge de Menger -itération 5- avec une transformation conforme (4xO+1)/(1xO-1) dans l'ensemble des octonions -section tridimensionnelle-
17-Ville fractale "molle" obtenue par une coupe très étonnante dans l'éponge de Menger -itération 5- avec une transformation non linéaire des coordonnées. 		Visualisation tridimensionnelle haute résolution de la dynamique de Verhulst -'Les Vaisseaux du Temps', un hommage à Stephen Baxter-
18-"Les Vaisseaux du Temps"

" Je constatai que les Vaisseaux avaient resserré leurs rangs ; treillis verts découpés sur le néant éblouissant, ils se rassemblaient comme pour se rassurer. Des tentacules -des câbles de plattnérite- serpentèrent dans le vide lumineux entre les unités de la flotte transtemporelle puis se rejoignirent, intégrant leurs extrémités aux structures complexes des Vaisseaux. Toute l'armada qui m'entourait fut bientôt interconnectée par un réseau de filaments ciliés. "

Les Vaisseaux du Temps, livre 6/chapitre 3/page 571, Copyright © 1995 Stephen Baxter. 		Visualisation tridimensionnelle de la dynamique de Verhulst -'Le Vaisseau Fantôme', un hommage à Richard Wagner-
19-"Le vaisseau Fantôme" -un hommage à Richard Wagner-.


'Corps céleste' fractal basé sur un tore avec une transformation conforme 1/O dans l'ensemble des octonions -section tridimensionnelle-
20-Surface fractale aléatoire basée sur un tore et une transformation non linéaire des coordonnées. 		Un tore tridimensionnel tronqué avec une transformation conforme 1/O dans l'ensemble des octonions -section tridimensionnelle-
21-Tore tridimensionnel avec une transformation non linéaire des coordonnées. 		Maillage aléatoire hétérogène -champ fractal tridimensionnel- d'un cube
22-Maillage hétérogène et fractal d'un cube. 		Visualisation tridimensionnelle des trajectoires des particules d'agrégats fractals bidimensionnels obtenus par collage de 100% de celles-ci lors de leurs collisions, dans un champ de gravitation central attractif
23-Formation d'un agrégat fractal bidimensionnel.
Intégration tridimensionnelle du filtrage gaussien anisotrope de Fourier d'un champ aléatoire avec rotation de 2.pi du noyau
24-Filtrage de Fourier.


L'anomalie de Botticelli sur la Lune
25-L'anomalie de Botticelli sur la Lune -un hommage à Neil Armstrong, Arthur C. Clarke, Stanley Kubrick et Benoît Mandelbrot-. 		Montagnes et brouillard
26-Montagnes et brouillard. 		Monument Valley au lever du Soleil
27-Monument Valley au lever du Soleil. 		Un vaisseau interstellaire Borg en perdition au-dessus de Pluton
28-Un vaisseau interstellaire Borg en perdition au-dessus de Pluton.


Sans Titre 0207
29-Sans Titre 0207. 		Sans Titre 0243
30-Sans Titre 0243. 		Entrelacs récursif
31-Entrelacs récursif. 		Structure paradoxale basée sur la géométrie de la surface de Boy
32-Structure paradoxale basée sur la géométrie de la surface de Boy.
Sans Titre 0231 -un hommage à Philippe Druillet-
33-Sans Titre 0231 -un hommage à Philippe Druillet-. 		Sans Titre 0116
34-"L'œil était dans la tombe". 		Sans Titre 0301
35-Sans Titre 0301.


Une structure tridimensionnelle faite de six Décagones d'Or avec pavages de Penrose apériodiques
36-Six décagones d'or. 		Vue artistique d'un pavage de Penrose apériodique du Décagone d'Or
37-Vue artistique d'un pavage de Penrose apériodique du Décagone d'Or. 		Visualisation tridimensionnelle des quatre premières itérations de la construction du flocon de neige de von Koch
38-"La pyramide de von Koch". 		Visualisation tridimensionnelle d'un pavage de Penrose apériodique du plan avec un bruit fractal
39-Visualisation tridimensionnelle d'un pavage de Penrose apériodique du plan avec un bruit fractal.
Un pavage de Penrose apériodique du plan, distordu tridimensionnellement
40-"Distorsion".


Echiquier -Echecs et Maths-
41-"Echec et Maths".










Images non exposées :




Où est l'Univers -un hommage à Albert Einstein- ?
42-L'espace-temps -un hommage à Albert Einstein-. 		Un pavage de Penrose apériodique du plan -un hommage à Piet Mondrian et Roger Penrose-
43-Pavage pseudo-périodique du plan -un hommage à Piet Mondrian et Roger Penrose-. 		Vue artistique d'un pavage hexagonal du disque hyperbolique de Poincaré -itération 5-, -un hommage à Henri Poincaré-
44-Les sommets inacessibles des Mathématiques -un hommage à Henri Poincaré-. 		Papillon quaternionique avec arithmétique étendue -un hommage à Laurent Schwartz-
45-"Papillon quaternionique" -un hommage à Laurent Schwartz-.


Nuages légers au coucher du Soleil
46-"L'étranger"

" Qui aimes-tu le mieux, homme énigmatique, dis ? ton père, ta mère, ta sœur ou ton frère ?
Je n'ai ni père, ni mère, ni sœur, ni frère.
Tes amis ?
Vous vous servez là d'une parole dont le sens m'est resté jusqu'à ce jour inconnu.
Ta patrie ?
J'ignore sous quelle latitude elle est située.
La beauté ?
Je l'aimerais volontiers, déesse et immortelle.
L'or ?
Je le hais comme vous haïssez Dieu.
Eh ! qu'aimes-tu donc, extraordinaire étranger ?
J'aime les nuages... les nuages qui passent... là-bas... là-bas... les merveilleux nuages ! "

Charles Baudelaire - Le Spleen de Paris. 		Une coupe 'pyramidale' dans l'éponge de Menger -itération 5-, 'Ô temps tes pyramides' -La bibliothèque de Babel (Fictions), un hommage à Jorge Luis Borges-
47-"La bibliothèque de Babel" -un hommage à Jorge Luis Borges-.


La Tour de Babel dans le brouillard -un hommage à Bruegel l'Ancien-
48-"La tour de Babel" -un hommage à Bruegel l'Ancien-. 		Monument Valley à la façon de David Hockney
49-"Monument Valley" -un hommage à David Hockney-. 		Sans Titre 0265 -un hommage à Vassily Kandinsky-
50-"Etude de couleurs, carrés avec des cercles concentriques" -un hommage a Vassily Kandinsky-. 		Un arbre-éponge bleu -un hommage à Yves Klein-
51-"Arbre éponge bleu" -un hommage à Yves Klein-.
Metropolis -un hommage à Fritz Lang-
52-"Metropolis" -un hommage à Fritz Lang-. 		Le cri -un hommage à Edvard Munch-
53-"Le cri"

" Je me promenais sur un sentier avec deux amis.
Le soleil se couchait.
Tout d'un coup le ciel devint rouge sang je m'arrêtai, fatigué, et m'appuyai sur une clôture.
Il y avait du sang et des langues de feu au-dessus du fjord bleu-noir de la ville.
Mes amis continuèrent, et j'y restai, tremblant d'anxiété.
Je sentais un cri infini qui passait à travers l'univers et qui déchirait la nature. "

Edvard Munch. 		Dissonance chaude/Dissonance froide -un hommage à Paul Sérusier-
54-"Dissonance chaude/Dissonance froide" -un hommage à Paul Sérusier. 		Sans Titre 0293 -un hommage à Pierre Soulages
55-"Le noir c'est mieux choisi" -un hommage à Brigitte Fontaine et Pierre Soulages-.
Sans Titre 0137 -'Jour de Lenteur', un hommage à Yves Tanguy-
56-"Jour de lenteur" -un hommage a Yves Tanguy-. 		Sans Titre 0294 -un hommage à Victor Vasarely
57-"Abstraction carrée" -un hommage à Victor Vasarely-. 		Entrelacs basé sur la géométrie de la surface de Boy
58-"Extrapolation" -un hommage à Victor Vasarely-.


Montagnes au lever du Soleil
59-"Le lever du Soleil". 		Agrandissement d'un ensemble de Mandelbrot brumeux dans l'ensemble des pseudo-quaternions avec une transformation conforme 1/O dans l'ensemble des octonions -section tridimensionnelle-
60-Section tridimensionnelle dans un détail d'un ensemble de Mandelbrot calculé dans l'ensemble des pseudo-octonions avec une transformation non linéaire des coordonnées. 		Une pseudo-marche aléatoire tridimensionnelle définie à l'aide de la racine carrée de 2 : 1.414213... -100.000 chiffres, -base 10- en 225245... -128.508 chiffres, base 6
61-Les 126.646 premières "décimales" de e calculées en base 6 et visualisées comme une marche aléatoire tridimensionnelle. 		Accumulation tridimensionnelle des projections bidimensionnelles de 512 mouvements browniens tridimensionnels corrélés -50000 pas de temps-
62-Accumulation tridimensionnelle des projections bidimensionnelles de 512 mouvements browniens tridimensionnels corrélés -50000 pas de temps-.
Accumulation tridimensionnelle de 50 mouvements browniens tridimensionnels non corrélés -50000 pas de temps-
63-Accumulation tridimensionnelle de 50 mouvements browniens tridimensionnels non corrélés -50000 pas de temps-. 		Escalier quadruplement impossible construit à l'aide d'une structure paradoxale -un hommage à Maurits Cornelis Escher-
64-Escalier quadruplement impossible construit à l'aide d'une structure paradoxale -un hommage à Maurits Cornelis Escher-. 		Structure paradoxale basée sur la géométrie de la triple bouteille de Bonan-Jeener-Klein
65-"Structure paradoxale molle". 		Structure paradoxale -de l'ordre au désordre-
66-"De l'ordre au désordre".



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