Définition des Octonions

Jean-François COLONNA
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CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris, CNRS, France

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/*                                                                                                                                   */
/*        D E F I N I T I O N   D E S   N O M B R E S   H Y P E R - H Y P E R - C O M P L E X E S                                    */
/*        ( O U   " O C T O N I O N S " )  :                                                                                         */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*        Definition :                                                                                                               */
/*                                                                                                                                   */
/*                    Soit 'Q' le corps des nombres Hyper-Complexes (ou "quaternions"),                                              */
/*                  le corps 'O' des nombres Hyper-Hyper-Complexes (ou "octonions" ou                                                */
/*                  encore "octaves" de Cayley) peut alors se definir par :                                                          */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      O = (Q.1) + (Q.s)                                                                            */
/*                                                                                                                                   */
/*                  la conjugaison '-' pouvant se definir par :                                                                      */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      -    -                                                                                       */
/*                                      O = (Q.1) - (Q.s)                                                                            */
/*                                                                                                                                   */
/*                  avec :                                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                       2                                                                                           */
/*                                      s  = -1                                                                                      */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      j.s = -s.j ('j' definissant 'Q', et 's' definissant 'O')                                     */
/*                                                                                                                                   */
/*                  d'ou l'on tire ('1' etant l'element neutre de la multiplication dans 'R', 'C' et 'Q') :                          */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      O = (Q.1) + (Q.s)                                                                            */
/*                                      O = (((C.1) + (C.j)).1) + (((C.1) + (C.j)).s)                                                */
/*                                      O = ((C.1).1) + ((C.j).1) + ((C.1).s) + ((C.j).s)                                            */
/*   = ((((R.1) + (R.i)).1).1) + ((((R.1) + (R.i)).j).1) + ((((R.1) + (R.i)).1).s) + ((((R.1) + (R.i)).j).s)                         */
/*   = (((R.1).1).1) + (((R.i).1).1) + (((R.1).j).1) + (((R.i).j).1) + (((R.1).1).s) + (((R.i).1).s) + (((R.1).j).s) + (((R.i).j).s) */
/*                                                                                                                                   */
/*             |               |               |               |               |               |               |               |     */
/*             |               |               |               |               |               |               |               |     */
/*             |               |                -------------  |               |               |               |               |     */
/*             |                ---------------------------  | |               |               |               |               |     */
/*              -----------------------------------------  | | |               |               |               |               |     */
/*                                                       | | | |               |               |               |               |     */
/*                                                       | | | |               |               |               |               |     */
/*                                      1 = ((1).1).1  <-  | | |               |               |               |               |     */
/*                                      i = ((i).1).1  <---  | |               |               |               |               |     */
/*                                      j = ((1).j).1  <-----  |               |               |               |               |     */
/*                                      k = ((i).j).1  <-------                |               |               |               |     */
/*                                                                             |               |               |               |     */
/*                                      s = ((1).1).s  <-----------------------                |               |               |     */
/*                                      t = ((i).1).s  <---------------------------------------                |               |     */
/*                                      u = ((1).j).s  <-------------------------------------------------------                |     */
/*                                      v = ((i).j).s  <-----------------------------------------------------------------------      */
/*                                                                                                                                   */
/*                  d'ou, avec k = (i).j :                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      1 = 1.1                                                                                      */
/*                                      i = i.1                                                                                      */
/*                                      j = j.1                                                                                      */
/*                                      k = k.1                                                                                      */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      s = 1.s                                                                                      */
/*                                      t = i.s                                                                                      */
/*                                      u = j.s                                                                                      */
/*                                      v = k.s                                                                                      */
/*                                                                                                                                   */
/*                                          | |                                                                                      */
/*                                          | |                                                                                      */
/*                                          |  -------->    (1,s) definit 'O'                                                        */
/*                                           ---------->    (1,i,j,k) est la base de 'Q'                                             */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*        Notation :                                                                                                                 */
/*                                                                                                                                   */
/*                    Un octonion 'o' est  compose d'une partie reelle 'a'                                                           */
/*                  et de sept parties parties imaginaires 'b', 'c', 'd',                                                            */
/*                  'e' 'f', 'g' et 'h' ; on le notera :                                                                             */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      o = (a,b,c,d,e,f,g,h)                                                                        */
/*                                                                                                                                   */
/*                  ou :                                                                                                             */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      o = a.1 + b.i + c.j + d.k + e.s + f.t + g.u + h.v                                            */
/*                                                                                                                                   */
/*                  ou :                                                                                                             */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      o = a + b.i + c.j + d.k + e.s + f.t + g.u + h.v                                              */
/*                                                                                                                                   */
/*                  avec :                                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                       2    2    2    2    2    2    2                                                             */
/*                                      i  = j  = k  = s  = t  = u  = v  = -1                                                        */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      i.j = -j.i                                                                                   */
/*                                      j.k = -k.j                                                                                   */
/*                                      k.i = -i.k                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      etc, tous les produits de deux vecteurs de base distincts anticommutant (sauf avec '1')...   */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*                  on a donc la table de multiplication (v1.v2) :                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                     |    |    |    |    |    |    |    |    |                                     */
/*                                      +        v1    | +1 | +i | +j | +k | +s | +t | +u | +v |                                     */
/*                                          +          |    |    |    |    |    |    |    |    |                                     */
/*                                              +      |    |    |    |    |    |    |    |    |                                     */
/*                                         v2       +  |    |    |    |    |    |    |    |    |                                     */
/*                                                     |    |    |    |    |    |    |    |    |                                     */
/*                                      ---------------|---------|---------|---------|---------|                                     */
/*                                         +1          | +1   +i | +j   +k | +s   +t | +u   +v |                                     */
/*                                      ---------------|    *    |    *    |    *    |    *    |                                     */
/*                                         +i          | +i   -1 | -k   +j | -t   +s | +v   -u |                                     */
/*                                      ---------------|---------|---------|---------|---------|                                     */
/*                                         +j          | +j   +k | -1   -i | -u   -v | +s   +t |                                     */
/*                                      ---------------|    *    |    *    |    *    |    *    |                                     */
/*                                         +k          | +k   -j | +i   -1 | -v   +u | -t   +s |                                     */
/*                                      ---------------|---------|---------|---------|---------|                                     */
/*                                         +s          | +s   +t | +u   +v | -1   -i | -j   -k |                                     */
/*                                      ---------------|    *    |    *    |    *    |    *    |                                     */
/*                                         +t          | +t   -s | +v   -u | +i   -1 | +k   -j |                                     */
/*                                      ---------------|---------|---------|---------|---------|                                     */
/*                                         +u          | +u   -v | -s   +t | +j   -k | -1   +i |                                     */
/*                                      ---------------|    *    |    *    |    *    |    *    |                                     */
/*                                         +v          | +v   +u | -t   -s | +k   +j | -i   -1 |                                     */
/*                                      -------------------------------------------------------                                      */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*                  (ce resultat a ete obtenu grace au programme 'v $xtKg/octonions$K')                                              */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*                  Le produit de deux octonions 'o1' et 'o2' se definit par :                                                       */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      o1 = q11.1 + q12.s                                                                           */
/*                                      o2 = q21.1 + q22.s                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      (ou 'q11', 'q12', 'q21' et 'q22' sont quatre quaternions)                                    */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      o1.o2 = (q11.1 + q12.s).(q21.1 + q22.s)                                                      */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                         ---                         ---                                           */
/*                                      o1.o2 = (q11.q21 - q22.q12).1 + (q22.q11 + q12.q21).s                                        */
/*                                                                                                                                   */
/*                  La multiplication n'est ni commutative, ni associative...                                                        */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*************************************************************************************************************************************/

/*                                                                                           */
/*                   o    R(o)                                                               */
/*                  e  = e    .[cos(|I(o)|) + sinc(|I(o)|).I(o)]                             */
/*                                                                                           */

/*                                                                                           */
/*                                        1          |R(o)|                                  */
/*                  log(o) = {log(|o|,--------.acos(--------).I(o)}                          */
/*                                     |I(o)|          |o|                                   */
/*                                                                                           */

/*                                                                                           */
/*                  cos(o) = [cos(R(o)).ch(|I(o)|)]  - [sin(R(o)).shc(|I(o)|).I(o)]          */
/*                  sin(o) = [sin(R(o)).ch(|I(o)|)]  + [cos(R(o)).shc(|I(o)|).I(o)]          */
/*                                                                                           */
/*                  ch(o)  = [ch(R(o)).cos(|I(o)|)]  + [sh(R(o)).sinc(|I(o)|).I(o)]          */
/*                  sh(o)  = [sh(R(o)).cos(|I(o)|)]  + [ch(R(o)).sinc(|I(o)|).I(o)]          */
/*                                                                                           */
/* en faisant les hypotheses audacieuses suivantes :                                         */
/*                                                                                           */
/*                  o  = R(o) + I(o)                                                         */
/*                  o  = a    + b.i + c.j + d.k + e.s + f.t + g.u + h.v                      */
/*                                                                                           */
/*                  I  =        b.i + c.j + d.k + e.s + f.t + g.u + h.v         [I = I(o)]   */
/*                                                                              [m = |I|]    */
/*                                                                                           */
/*                  o  = a + I                                                               */
/*                                                                                           */
/*                                          f11    f12      f21    f22                       */
/*                                                                                           */
/*                  cos(o) = cos(a+I)   = [cos(a).cos(I) - sin(a).sin(I)]                    */
/*                  sin(o) = cos(a+I)   = [sin(a).cos(I) + cos(a).sin(I)]                    */
/*                                                                                           */
/*                  ch(o)  = ch(a+I)    = [ch(a).ch(I)   + sh(a).sh(I)]                      */
/*                  sh(o)  = sh(a+I)    = [sh(a).ch(I)   + ch(a).sh(I)]                      */
/*                                                                                           */
/* En effet, par des developpements en series tel celui de 'FgHCexponentielle(...)', on      */
/* montre facilement que :                                                                   */
/*                                                                                           */
/*                  cos(I) = ch(m)                                                           */
/*                                                                                           */
/*                            sh(m)                                                          */
/*                  sin(I) = -------.I  = shc(m).I                                           */
/*                              m                                                            */
/*                                                                                           */
/*                                                                                           */
/*                  ch(I)  = cos(m)                                                          */
/*                                                                                           */
/*                            sin(m)                                                         */
/*                  sh(I)  = --------.I = sinc(m).I                                          */
/*                              m                                                            */
/*                                                                                           */
/* d'ou :                                                                                    */
/*                                                                                           */
/*                                          f11    f12      f21    f22                       */
/*                                                                                           */
/*                  cos(o) = cos(a+I)   = [cos(a).ch(m)  - sin(a).shc(m).I]                  */
/*                  sin(o) = cos(a+I)   = [sin(a).ch(m)  + cos(a).shc(m).I]                  */
/*                                                                                           */
/*                  ch(o)  = ch(a+I)    = [ch(a).cos(m)  + sh(a).sinc(m).I]                  */
/*                  sh(o)  = sh(a+I)    = [sh(a).cos(m)  + ch(a).sinc(m).I]                  */
/*                                                                                           */
/*                                                                                           */
/* On verifie aisement que :                                                                 */
/*                                                                                           */
/*                     2         2        2         2     2                                  */
/*                  cos (o) + sin (o) = ch (m) + shc (m).I                                   */
/*                                                                                           */
/*                                                  2                                        */
/*                                        2       sh (m)   2            2      2             */
/*                                    = ch (m) + --------.I           [I  = -(m )]           */
/*                                                   2                                       */
/*                                                  m                                        */
/*                                                                                           */
/*                                        2        2                                         */
/*                                    = ch (m) - sh (m)                                      */
/*                                                                    ['m' etant un Reel...] */
/*                                    = 1                                                    */
/*                                                                                           */
/* de meme :                                                                                 */
/*                                                                                           */
/*                    2        2                                                             */
/*                  ch (o) - sh (o)   = 1                                                    */
/*                                                                                           */