Définition d'une Variétée Quadridimensionnelle de Calabi-Yau






Jean-François COLONNA
www.lactamme.polytechnique.fr
jean-francois.colonna@polytechnique.edu
CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, Ecole Polytechnique, CNRS, 91128 Palaiseau Cedex, France
france telecom, France Telecom R&D

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/*                                                                                                                                   */
/*        D E F I N I T I O N   D E S   T R O I S   F O N C T I O N S   ' F '  :                                                     */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*        Definition :                                                                                                               */
/*                                                                                                                                   */
/*                    Une variete complexe de Calabi-Yau                                                                             */
/*                  quadridimensionnelle est definie                                                                                 */
/*                  implicitement par :                                                                                              */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      /      \n1   /      \n2                                                                      */
/*                                      |  Z'  |     |  Z'  |                                                                        */
/*                                      |   1  |     |   2  |                                                                        */
/*                                      | ---- |   + | ---- |   = 1                                                                  */
/*                                      |  A   |     |  B   |                                                                        */
/*                                      \      /     \      /                                                                        */
/*                                                                                                                                   */
/*                  posons :                                                                                                         */
/*                                                                                                                                   */
/*                                            Z'                                                                                     */
/*                                             1                                                                                     */
/*                                      Z  = ----                                                                                    */
/*                                       1    A                                                                                      */
/*                                                                                                                                   */
/*                                            Z'                                                                                     */
/*                                             2                                                                                     */
/*                                      Z  = ----                                                                                    */
/*                                       2    B                                                                                      */
/*                                                                                                                                   */
/*                  d'ou :                                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                       n1    n2                                                                                    */
/*                                      Z   + Z   = 1                                                                                */
/*                                       1     2                                                                                     */
/*                                                                                                                                   */
/*                  ou 'Z1' et 'Z2' sont deux nombres complexes.                                                                     */
/*                  Cela peut se reecrire :                                                                                          */
/*                                                                                                                                   */
/*                                               2            2                                                                      */
/*                                      /   n1  \    /   n2  \                                                                       */
/*                                      |  ---- |    |  ---- |                                                                       */
/*                                      |   2   |    |   2   |                                                                       */
/*                                      | Z     |  + | Z     |   = 1                                                                 */
/*                                      \  1    /    \  2    /                                                                       */
/*                                                                                                                                   */
/*                  ou encore :                                                                                                      */
/*                                                                                                                                   */
/*                                            2         2                                                                            */
/*                                      cos(Z)  + sin(Z)  = 1                                                                        */
/*                                                                                                                                   */
/*                  d'ou :                                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                       n1         2                                                                                */
/*                                      Z   = cos(Z)                                                                                 */
/*                                       1                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                       n2         2                                                                                */
/*                                      Z   = sin(Z)                                                                                 */
/*                                       2                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                  (ou 'Z' est un "angle" complexe) d'ou :                                                                          */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                 1                                                                 */
/*                                                 k1   /       \ ----                                                               */
/*                                            2ip.---- |         | n1                                                                */
/*                                                 n1  |       2 |                                                                   */
/*                                      Z  = e         | cos(Z)  |                                                                   */
/*                                       1              \       /                                                                    */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                 1                                                                 */
/*                                                 k2   /       \ ----                                                               */
/*                                            2ip.---- |         | n2                                                                */
/*                                                 n2  |       2 |                                                                   */
/*                                      Z  = e         | sin(Z)  |                                                                   */
/*                                       2              \       /                                                                    */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*                  d'ou :                                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                 k1         2                                                                      */
/*                                            2ip.----       ----                                                                    */
/*                                                 n1         n1                                                                     */
/*                                      Z  = e         cos(Z)                                                                        */
/*                                       1                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                 k2         2                                                                      */
/*                                            2ip.----       ----                                                                    */
/*                                                 n2         n2                                                                     */
/*                                      Z  = e         sin(Z)                                                                        */
/*                                       2                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                  et :                                                                                                             */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      Z' = A.Z                                                                                     */
/*                                       1      1                                                                                    */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      Z' = B.Z                                                                                     */
/*                                       2      2                                                                                    */
/*                                                                                                                                   */
/*                  ou 'k1' et 'k2' indicent les racines n-iemes                                                                     */
/*                  de l'unite (n = {n1,n2}) :                                                                                       */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      k1 E [ 0 , n1-1 ]                                                                            */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      k2 E [ 0 , n2-1 ]                                                                            */
/*                                                                                                                                   */
/*                  La variete est ainsi composee de n1.n2 "patches"                                                                 */
/*                  parametres chacun par {u,v}, avec :                                                                              */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      u E [ 0 , p/2 ]                                                                              */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      v E [ -1 , +1 ]                                                                              */
/*                                                                                                                                   */
/*                  (ou 'p' designe 'pi') et :                                                                                       */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      Z = u + i.v                                                                                  */
/*                                                                                                                                   */
/*                  (voir a ce propos 'v $xrs/CalabiYau.14$I permutation.de..u..et.de..v.'                                           */
/*                  pour la justification des bornes de 'u' et de 'v', en particulier).                                              */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*                  [d'apres "A Construction for Computer Complex Curves" de Andrew J. Hanson                                        */
/*                  publie dans "Notices of the American Mathematical Society" du 11-12/1994]                                        */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*************************************************************************************************************************************/


(Nota : les lignes d'explications qui précédent sont des commentaires extraits des programmes ayant été utilisés pour calculer les images correspondantes. Ce programme en est un exemple parmi des centaines.)


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