Définition d'une Variété Hexadimensionnelle de Calabi-Yau






Jean-François COLONNA
www.lactamme.polytechnique.fr
jean-francois.colonna@polytechnique.edu
CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, Ecole Polytechnique, CNRS, 91128 Palaiseau Cedex, France
france telecom, France Telecom R&D

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/*                                                                                                                                   */
/*        D E F I N I T I O N   D E S   T R O I S   F O N C T I O N S   ' F '  :                                                     */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*        Definition :                                                                                                               */
/*                                                                                                                                   */
/*                    Une variete complexe de Calabi-Yau                                                                             */
/*                  hexadimensionnelle est definie                                                                                   */
/*                  implicitement par :                                                                                              */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      /      \n1   /      \n2   /      \n3                                                         */
/*                                      |  Z'  |     |  Z'  |     |  Z'  |                                                           */
/*                                      |   1  |     |   2  |     |   3  |                                                           */
/*                                      | ---- |   + | ---- |   + | ---- |   = 1                                                     */
/*                                      |  A   |     |  B   |     |  C   |                                                           */
/*                                      \      /     \      /     \      /                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                  posons :                                                                                                         */
/*                                                                                                                                   */
/*                                            Z'                                                                                     */
/*                                             1                                                                                     */
/*                                      Z  = ----                                                                                    */
/*                                       1    A                                                                                      */
/*                                                                                                                                   */
/*                                            Z'                                                                                     */
/*                                             2                                                                                     */
/*                                      Z  = ----                                                                                    */
/*                                       2    B                                                                                      */
/*                                                                                                                                   */
/*                                            Z'                                                                                     */
/*                                             3                                                                                     */
/*                                      Z  = ----                                                                                    */
/*                                       3    C                                                                                      */
/*                                                                                                                                   */
/*                  d'ou :                                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                       n1    n2    n3                                                                              */
/*                                      Z   + Z   + Z   = 1                                                                          */
/*                                       1     2     3                                                                               */
/*                                                                                                                                   */
/*                  ou 'Z1', 'Z2' et 'Z3' sont trois nombres complexes.                                                              */
/*                  Cela peut se reecrire :                                                                                          */
/*                                                                                                                                   */
/*                                               2            2            2                                                         */
/*                                      /   n1  \    /   n2  \    /   n3  \                                                          */
/*                                      |  ---- |    |  ---- |    |  ---- |                                                          */
/*                                      |   2   |    |   2   |    |   2   |  = 1                                                     */
/*                                      | Z     |  + | Z     |  + | Z     |                                                          */
/*                                      \  1    /    \  2    /    \  3    /                                                          */
/*                                                                                                                                   */
/*                  ou encore :                                                                                                      */
/*                                                                                                                                   */
/*                                              2           2           2           2             2                                  */
/*                                      cos(phi) *sin(theta)  + sin(phi) *sin(theta)  + cos(theta)  = 1                              */
/*                                                                                                                                   */
/*                  d'ou :                                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                       n1           2           2                                                                  */
/*                                      Z   = cos(phi) *sin(theta)                                                                   */
/*                                       1                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                       n2           2           2                                                                  */
/*                                      Z   = sin(phi) *sin(theta)                                                                   */
/*                                       2                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                       n3             2                                                                            */
/*                                      Z   = cos(theta)                                                                             */
/*                                       3                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                  (ou 'phi' et 'theta' sont deux "angles" complexes) d'ou :                                                        */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                               1                                                   */
/*                                                 k1   /                     \ ----                                                 */
/*                                            2ip.---- |                       | n1                                                  */
/*                                                 n1  |         2           2 |                                                     */
/*                                      Z  = e         | cos(phi) *sin(theta)  |                                                     */
/*                                       1              \                     /                                                      */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                               1                                                   */
/*                                                 k2   /                     \ ----                                                 */
/*                                            2ip.---- |                       | n2                                                  */
/*                                                 n2  |         2           2 |                                                     */
/*                                      Z  = e         | sin(phi) *sin(theta)  |                                                     */
/*                                       2              \                     /                                                      */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                     1                                                             */
/*                                                 k3   /           \ ----                                                           */
/*                                            2ip.---- |             | n3                                                            */
/*                                                 n3  |           2 |                                                               */
/*                                      Z  = e         | cos(theta)  |                                                               */
/*                                       3              \           /                                                                */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*                  d'ou :                                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                             2                                                     */
/*                                                 k1   /                   \ ----                                                   */
/*                                            2ip.---- |                     | n1                                                    */
/*                                                 n1  |                     |                                                       */
/*                                      Z  = e         | cos(phi)*sin(theta) |                                                       */
/*                                       1              \                   /                                                        */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                             2                                                     */
/*                                                 k2   /                   \ ----                                                   */
/*                                            2ip.---- |                     | n2                                                    */
/*                                                 n2  |                     |                                                       */
/*                                      Z  = e         | sin(phi)*sin(theta) |                                                       */
/*                                       2              \                   /                                                        */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                    2                                                              */
/*                                                 k3   /          \ ----                                                            */
/*                                            2ip.---- |            | n3                                                             */
/*                                                 n3  |            |                                                                */
/*                                      Z  = e         | cos(theta) |                                                                */
/*                                       3              \          /                                                                 */
/*                                                                                                                                   */
/*                  et :                                                                                                             */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      Z' = A.Z                                                                                     */
/*                                       1      1                                                                                    */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      Z' = B.Z                                                                                     */
/*                                       2      2                                                                                    */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      Z' = C.Z                                                                                     */
/*                                       3      3                                                                                    */
/*                                                                                                                                   */
/*                  ou 'k1', 'k2' et 'k3' indicent les racines n-iemes                                                               */
/*                  de l'unite (n = {n1,n2,n3}) :                                                                                    */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      k1 E [ 0 , n1-1 ]                                                                            */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      k2 E [ 0 , n2-1 ]                                                                            */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      k3 E [ 0 , n3-1 ]                                                                            */
/*                                                                                                                                   */
/*                  La variete est ainsi composee de n1.n2.n3 "patches"                                                              */
/*                  parametres chacun par {u(?),v(?)}, avec :                                                                        */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      u(?) E [ 0 , p/2 ]                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      v(?) E [ -1 , +1 ]                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                  (ou 'p' designe 'pi' et ou '?' represente                                                                        */
/*                  'phi' et 'theta') et :                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      phi   = u1 + i.v1 = u(phi)   + i.v(phi)                                                      */
/*                                      theta = u2 + i.v2 = u(theta) + i.v(theta)                                                    */
/*                                                                                                                                   */
/*                  (voir a ce propos 'v $xrs/CalabiYau.14$I permutation.de..u..et.de..v.'                                           */
/*                  pour la justification des bornes de 'u' et de 'v', en particulier).                                              */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*                  [ceci est une generalisation de "A Construction for Computer Complex Curves"                                     */
/*                  de Andrew J. Hanson publie dans "Notices of the American Mathematical Society" du 11-12/1994]                    */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*************************************************************************************************************************************/


(Nota : les lignes d'explications qui précèdent sont des commentaires extraits des programmes ayant été utilisés pour calculer les images correspondantes. Ce programme en est un exemple parmi des centaines.)


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