Définition d'une Variété 16-dimensionnelle de Calabi-Yau






Jean-François COLONNA
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CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris, CNRS, France

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/*                                                                                                                                   */
/*        D E F I N I T I O N   D E S   T R O I S   F O N C T I O N S   ' F '  :                                                     */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*        Definition  ('v $xrs/CalabiYau.82$K') :                                                                                    */
/*                                                                                                                                   */
/*                    Une variete hyper-hyper-complexe de Calabi-Yau                                                                 */
/*                  16-dimensionnelle est definie                                                                                    */
/*                  implicitement par :                                                                                              */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      /      \n1   /      \n2                                                                      */
/*                                      |  O'  |     |  O'  |                                                                        */
/*                                      |   1  |     |   2  |                                                                        */
/*                                      | ---- |   + | ---- |   = 1                                                                  */
/*                                      |  A   |     |  B   |                                                                        */
/*                                      \      /     \      /                                                                        */
/*                                                                                                                                   */
/*                  posons :                                                                                                         */
/*                                                                                                                                   */
/*                                            O'                                                                                     */
/*                                             1                                                                                     */
/*                                      O  = ----                                                                                    */
/*                                       1    A                                                                                      */
/*                                                                                                                                   */
/*                                            O'                                                                                     */
/*                                             2                                                                                     */
/*                                      O  = ----                                                                                    */
/*                                       2    B                                                                                      */
/*                                                                                                                                   */
/*                  d'ou :                                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                       n1    n2                                                                                    */
/*                                      O   + O   = 1                                                                                */
/*                                       1     2                                                                                     */
/*                                                                                                                                   */
/*                  ou 'O1' et 'O2' sont deux nombres hyper-hyper-complexes.                                                         */
/*                  Cela peut se reecrire :                                                                                          */
/*                                                                                                                                   */
/*                                               2            2                                                                      */
/*                                      /   n1  \    /   n2  \                                                                       */
/*                                      |  ---- |    |  ---- |                                                                       */
/*                                      |   2   |    |   2   |                                                                       */
/*                                      | O     |  + | O     |   = 1                                                                 */
/*                                      \  1    /    \  2    /                                                                       */
/*                                                                                                                                   */
/*                  ou encore :                                                                                                      */
/*                                                                                                                                   */
/*                                            2         2                                                                            */
/*                                      cos(O)  + sin(O)  = 1                                                                        */
/*                                                                                                                                   */
/*                  d'ou :                                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                       n1         2                                                                                */
/*                                      O   = cos(O)                                                                                 */
/*                                       1                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                       n2         2                                                                                */
/*                                      O   = sin(O)                                                                                 */
/*                                       2                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                  (ou 'O' est un "angle" hyper-hyper-complexe) d'ou :                                                              */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                 1                                                                 */
/*                                                 k1   /       \ ----                                                               */
/*                                            2Ip.---- |         | n1                                                                */
/*                                                 n1  |       2 |                                                                   */
/*                                      O  = e         | cos(O)  |                                                                   */
/*                                       1              \       /                                                                    */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                 1                                                                 */
/*                                                 k2   /       \ ----                                                               */
/*                                            2Ip.---- |         | n2                                                                */
/*                                                 n2  |       2 |                                                                   */
/*                                      O  = e         | sin(O)  |                                                                   */
/*                                       2              \       /                                                                    */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*                  ou 'I' represente l'imaginaire pur (0,1,1,1,1,1,1,1).                                                            */
/*                                                                                                                                   */
/*                  D'ou :                                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                 k1         2                                                                      */
/*                                            2Ip.----       ----                                                                    */
/*                                                 n1         n1                                                                     */
/*                                      O  = e        .cos(O)                                                                        */
/*                                       1                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                 k2         2                                                                      */
/*                                            2Ip.----       ----                                                                    */
/*                                                 n2         n2                                                                     */
/*                                      O  = e        .sin(O)                                                                        */
/*                                       2                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                  et :                                                                                                             */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      O' = A.O                                                                                     */
/*                                       1      1                                                                                    */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      O' = B.O                                                                                     */
/*                                       2      2                                                                                    */
/*                                                                                                                                   */
/*                  ou 'k1' et 'k2' indicent les racines n-iemes                                                                     */
/*                  de l'unite (n = {n1,n2}) :                                                                                       */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      k1 ∈ [ 0 , n1-1 ]                                                                            */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      k2 ∈ [ 0 , n2-1 ]                                                                            */
/*                                                                                                                                   */
/*                  La variete est ainsi composee de n1.n2 "patches"                                                                 */
/*                  parametres chacun par {w1,w2,w3,w4,w5,w6,w7,w8}, avec :                                                          */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      w1 ∈ [ 0 , p/2 ]                                                                             */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      w2 ∈ [ -1 , +1 ]                                                                             */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      w3 ∈ [ -1 , +1 ]                                                                             */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      w4 ∈ [ -1 , +1 ]                                                                             */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      w5 ∈ [ -1 , +1 ]                                                                             */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      w6 ∈ [ -1 , +1 ]                                                                             */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      w7 ∈ [ -1 , +1 ]                                                                             */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      w8 ∈ [ -1 , +1 ]                                                                             */
/*                                                                                                                                   */
/*                  (ou 'p' designe 'pi') et :                                                                                       */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      Q = w1 + i.w2 + j.w3 + k.w4 + s.w5 + t.w6 + u.w7 + v.w8                                      */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*************************************************************************************************************************************/


(Nota : les lignes d'explications qui précèdent sont des commentaires extraits des programmes ayant été utilisés pour calculer les images correspondantes. Ce programme en est un exemple parmi des centaines.)


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