Définition du Calcul des Racines Troisièmes de l'Unité
par la Méthode de Newton






Jean-François COLONNA
www.lactamme.polytechnique.fr
jean-francois.colonna@polytechnique.edu
CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, Ecole Polytechnique, CNRS, 91128 Palaiseau Cedex, France
france telecom, France Telecom R&D

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/*************************************************************************************************************************************/
/*                                                                                                                                   */
/*        C A L C U L   D E S   R A C I N E S   T R O I S I E M E S   D E   L ' U N I T E                                            */
/*        D A N S   L E   P L A N   C O M P L E X E  :                                                                               */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*        Definition :                                                                                                               */
/*                                                                                                                                   */
/*                    Rappelons la methode iterative de                                                                              */
/*                  Newton pour la resolution d'une equation                                                                         */
/*                  du type :                                                                                                        */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      f(x) = 0                                                                                     */
/*                                                                                                                                   */
/*                   Soit 'G' la courbe d'equation y=f(x) :                                                                          */
/*                                                                                                                                   */
/*                            ^                                                                                                      */
/*                          Y |                       +  / tangente en T a la courbe G                                               */
/*                            |                         /                                                                            */
/*                            |                      + /                                                                             */
/*                            |                       /                                                                              */
/*                            |                     +/                                                                               */
/*                            |                     *T                                                                               */
/*                            |         y = f(x) + /.                                                                                */
/*                            |               +   / .                                                                                */
/*                            |             +    /  .                                                                                */
/*                            |            +    /   .                                                                                */
/*                            |           +    /    .                                                                                */
/*                  ----------O----------+----/--------------------------------->                                                    */
/*                            |        +     /X     X                          X                                                     */
/*                            |   G +       /  n+1   n                                                                               */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*                    Partant de l'abscisse X , on determine                                                                         */
/*                                           n                                                                                       */
/*                  la tangente au point (X ,f(X )) a la courbe 'G'.                                                                 */
/*                                         n    n                                                                                    */
/*                  Son equation est :                                                                                               */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      y = f'(X )(x - X ) + f(X )                                                                   */
/*                                              n       n       n                                                                    */
/*                                                                                                                                   */
/*                  Son intersection avec l'axe 'OX' a pour                                                                          */
/*                  abscisse :                                                                                                       */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                   f(X )                                                                           */
/*                                                      n                                                                            */
/*                                      X    = X  - --------                                                                         */
/*                                       n+1    n    f'(X )                                                                          */
/*                                                       n                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                  Enfin, on itere ce processus.                                                                                    */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*                  De meme dans le plan complexe, soit a                                                                            */
/*                  resoudre l'equation :                                                                                            */
/*                                                                                                                                   */
/*                                       3                                                                                           */
/*                                      Z    = 1                                                                                     */
/*                                                                                                                                   */
/*                  qui donne les trois racines de l'unite, on                                                                       */
/*                  procede a l'iteration suivante :                                                                                 */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      Z    = C                                                                                     */
/*                                       0                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                    3                                                                              */
/*                                                   Z  - 1                                                                          */
/*                                                    n                                                                              */
/*                                      Z    = Z  - --------                                                                         */
/*                                       n+1    n        2                                                                           */
/*                                                    3.Z                                                                            */
/*                                                       n                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                  (ou 'C' designe le point courant).                                                                               */
/*                                                                                                                                   */
/*                    Si |Z | tend vers l'infini, 'C'                                                                                */
/*                         n                                                                                                         */
/*                  n'appartient pas a l'ensemble de Racine3.                                                                        */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*        Forme generale :                                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*                  ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::o:ooooooooooooo                                                      */
/*                  ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::oooooooooo::                                                         */
/*                  :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::ooooooo::                                                           */
/*                  :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::ooooo                                                               */
/*                  :::::::::::::::::::::::::::::::::::::o                                                                           */
/*                  :::::::::::::::::::::::::::::::::::oo     ooo:::                                                                 */
/*                  ::::::::::::::::::::::::::::::::::: o::oooooo::::                                                                */
/*                  :::::::::::::::::::::::::::::::::o  ooooooooo::::o                                                               */
/*                  ::::::::::::::::::::::::::::::::: ooooooooooo ::o:                                                               */
/*                  :::::::::::::::::::::::::::::::::ooooooooooooo:                                                                  */
/*                  :::::::::::::::::::::::::::::::::ooooooooooo :o                                                                  */
/*                  :::::::::::: ::::::::::::::::::::oooooooooo::                                                                    */
/*                  ::::::::: oooooooo:oo :::::::::: oooooooo::                                                                      */
/*                  :o::::::ooooo:          o::::::: ooooo                                                                           */
/*                      :::oooo                  ::: ooo                                                                             */
/*                                                  .                                                                                */
/*                      ooo::::                  ooo :::                                                                             */
/*                  o:oooooo:::::o          :ooooooo :::::                                                                           */
/*                  ooooooooo ::::::::o:: oooooooooo ::::::::oo                                                                      */
/*                  oooooooooooo oooooooooooooooooooo::::::::::oo                                                                    */
/*                  ooooooooooooooooooooooooooooooooo::::::::::: o:                                                                  */
/*                  ooooooooooooooooooooooooooooooooo:::::::::::::o                                                                  */
/*                  ooooooooooooooooooooooooooooooooo ::::::::::: oo:o                                                               */
/*                  ooooooooooooooooooooooooooooooooo:  :::::::::oooo:                                                               */
/*                  ooooooooooooooooooooooooooooooooooo :oo::::::oooo                                                                */
/*                  ooooooooooooooooooooooooooooooooooo::     :::ooo                                                                 */
/*                  ooooooooooooooooooooooooooooooooooooo:                                                                           */
/*                  ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo:::::                                                               */
/*                  ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo:::::::oo                                                           */
/*                  oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo::::::::::oo                                                         */
/*                  oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo:o:::::::::::::                                                      */
/*                  oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo::::::::::ooo:                                                     */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*************************************************************************************************************************************/


(Nota : les lignes d'explications qui précédent sont des commentaires extraits des programmes ayant été utilisés pour calculer les images correspondantes. Ce programme en est un exemple parmi des centaines.)


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