Définition du Problème du Pendule et des N Aimants






Jean-François COLONNA

www.lactamme.polytechnique.fr

jean-francois.colonna@polytechnique.edu
CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, Ecole Polytechnique, CNRS, 91128 Palaiseau Cedex, France
france telecom, France Telecom R&D

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/*************************************************************************************************************************************/
/*                                                                                                                                   */
/*        D E F I N I T I O N   D U   P R O B L E M E   D I T                                                                        */
/*        " D U   P E N D U L E   E T   D E S   N - A I M A N T S "  :                                                               */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*        Definition :                                                                                                               */
/*                                                                                                                                   */
/*                    Soit la famille {C ,C ,...,C } de 'N'                                                                          */
/*                                      1  2      N                                                                                  */
/*                  corps en interaction magnetique.                                                                                 */
/*                  Pour l'un d'entre-eux, la loi fondamentale de                                                                    */
/*                  la dynamique s'ecrit :                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                     -->      ------->                                                                             */
/*                                      F  = M . Gamma                                                                               */
/*                                       i    i       i                                                                              */
/*                                                                                                                                   */
/*                  dans le cas present, la force 'F' est la                                                                         */
/*                  resultante de l'interaction magnetique ('C')                                                                     */
/*                  des 'N-1' autres corps, de l'attraction                                                                          */
/*                  gravitationnelle ('M') et de la friction                                                                         */
/*                  ('F'). On aura donc :                                                                                            */
/*                                                                                                                                   */
/*                                       2 ---->     ______                          ---->                                           */
/*                                      d   OC       \          C                   d OC                                             */
/*                                            i       \          k     ----->           i        ---->                               */
/*                                     --------- = G  /     ----------- A A   - F .-------- - M . OC                                 */
/*                                          2        /_____  |----->|3   i k     i    dt       i    i                                */
/*                                        dt           k#i   | A A  |                                                                */
/*                                                           |  i k |                                                                */
/*                                                                                                                                   */
/*                  On aboutit ainsi a un systeme d'equations                                                                        */
/*                  differentielles non lineaires du second                                                                          */
/*                  ordre utilisant les fonctions suivantes :                                                                        */
/*                                                                                                                                   */
/*                                     F    = 1                                                                                      */
/*                                      3X                                                                                           */
/*                                        i                                                                                          */
/*                                                                                                                                   */
/*                                     F    = F                                                                                      */
/*                                      2X     i                                                                                     */
/*                                        i                                                                                          */
/*                                                   ______                                                                          */
/*                                                   \                         C                       X                             */
/*                                                    \                         k                       k                            */
/*                                     F    = M  - G  /     -----------------------------------------(---- - 1)                      */
/*                                      1X     i     /_____  |                                   | 3   X                             */
/*                                        i            k#i   |                                   |---   i                            */
/*                                                           |         2            2           2| 2                                 */
/*                                                           |(X  - X )  + (Y  - Y )  + (Z  - Z )|                                   */
/*                                                           |  k    i       k    i       k    i |                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*                                     F    = 0                                                                                      */
/*                                      0X                                                                                           */
/*                                        i                                                                                          */
/*                                                                                                                                   */
/*                  avec bien entendu des formules equivalentes                                                                      */
/*                  pour la coordonnee 'Y', alors que la coordonnee                                                                  */
/*                  'Z' est traitee a part, puisque l'on force la                                                                    */
/*                  condition suivante :                                                                                             */
/*                                                                                                                                   */
/*                                     Z  = Z                                   \-/ i                                                */
/*                                      i    0                                                                                       */
/*                                            i                                                                                      */
/*                                                                                                                                   */
/*                  pour tous les corps...                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                    Pour integrer ce systeme non lineaire, on                                                                      */
/*                  suppose que la condition suivante est respectee                                                                  */
/*                  (elle est d'ailleurs verifiee a chaque iteration) :                                                              */
/*                                                                                                                                   */
/*                                     DISTANCE(C ,C ) >= |V   |.dct            \-/ i,j                                              */
/*                                               i  j       max                                                                      */
/*                                                                                                                                   */
/*                  ce qui signifie "grossierement" que deux corps                                                                   */
/*                  quelconques sont toujours suffisamment eloignes                                                                  */
/*                  pour ne pas pouvoir se rejoindre en un pas de                                                                    */
/*                  temps (ou 'Vmax' designe le plus grand module                                                                    */
/*                  des vitesses moyennes de l'ensemble des corps                                                                    */
/*                  au cours du pas de temps precedent).                                                                             */
/*                                                                                                                                   */
/*                    Enfin, a l'instant 't' (ou l'on integre), les                                                                  */
/*                  fonctions 'F1?(...)' ne peuvent etre evaluees                                                                    */
/*                  puisque dependant de {X(t),Y(t),Z(t)}. Or leurs                                                                  */
/*                  valeurs sont necessaires, on utilise donc leurs                                                                  */
/*                  valeurs "retardees" {X(t-dt),Y(t-dt),Z(t-dt)},                                                                   */
/*                  ou 'dt' designe le pas de temps.                                                                                 */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*************************************************************************************************************************************/


(Nota : les lignes d'explications qui précèdent sont des commentaires extraits des programmes ayant été utilisés pour calculer les images correspondantes. Ce programme en est un exemple parmi des centaines.)


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