Définition de la N-Bouteille de Jeener-Klein (version 1)






Jean-François COLONNA

www.lactamme.polytechnique.fr

jean-francois.colonna@polytechnique.edu
CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, Ecole Polytechnique, CNRS, 91128 Palaiseau Cedex, France
france telecom, France Telecom R&D

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Equations originales de Patrice Jeener :


/*************************************************************************************************************************************/
/*                                                                                                                                   */
/*        D E F I N I T I O N   D E   L A   N - B O U T E I L L E   D E   K L E I N                                                  */
/*        D I T E   " V E R S I O N   1 "   N O N   S I M P L I F I E E                                                              */
/*        ( S U R F A C E   U N I L A T E R E   S I   ' N '   E S T   I M P A I R )  :                                               */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*        Definition de la surface (due a Patrice Jeener, 'v $xrs/bKlein.31$K') :                                                    */
/*                                                                                                                                   */
/*                    Elle est definie parametriquement                                                                              */
/*                  en fonction des deux parametres 'u'                                                                              */
/*                  et 'v' :                                                                                                         */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                 8.S       S+1                                                                     */
/*                                      H(u,v)  = -----.sin(-----.u)                                                                 */
/*                                                 S+1        2                                                                      */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                               p       ___                                                         */
/*                                      W(u,v)  = cos((S+1).u + ---) + \/ 2                                                          */
/*                                                               T                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      DX(u,v) = -S.sin(u) - S.sin(S.u)                                                             */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      DY(u,v) = +S.cos(u) - S.cos(S.u)                                                             */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                       W(u,v).DY                                                   */
/*                                      F (u,v) = S.cos(u) + cos(S.u) - -----------.cos(v)                                           */
/*                                       x                                   H                                                       */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                       W(u,v).DX                                                   */
/*                                      F (u,v) = S.sin(u) - sin(S.u) - -----------.cos(v)                                           */
/*                                       y                                   H                                                       */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      F (u,v) = W(u,v).sin(v)                                                                      */
/*                                       z                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                  avec :                                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      u E [ 0 , 2.p ]                                                                              */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      v E [ 0 , 2.p ]                                                                              */
/*                                                                                                                                   */
/*                  (ou 'p' designe 'pi').                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*                    A titre d'exemple, voici quelques                                                                              */
/*                  jeux de parametres {S,T} utiles :                                                                                */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      {S=2,T=4} ==> triple bouteille de Klein (N=3),                                               */
/*                                      {S=3,T=5} ==> quadruple "bouteille de Klein" (N=4),                                          */
/*                                      {S=4,T=6} ==> quintuple bouteille de Klein (N=5).                                            */
/*                                                                                                                                   */
/*                    Evidemment la surface obtenue n'est unilatere                                                                  */
/*                  que si 'N' est impair. Ainsi, la "triple bouteille"                                                              */
/*                  est bien une bouteille de Klein, alors que la "quadruple                                                         */
/*                  bouteille" est une fausse bouteille de Klein car bilatere...                                                     */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*************************************************************************************************************************************/



Equations de Patrice Jeener simplifiees par Edmond Bonan :


/*************************************************************************************************************************************/
/*                                                                                                                                   */
/*        D E F I N I T I O N   D E   L A   N - B O U T E I L L E   D E   K L E I N                                                  */
/*        D I T E   " V E R S I O N   1 "   S I M P L I F I E E                                                                      */
/*        ( S U R F A C E   U N I L A T E R E   S I   ' N '   E S T   I M P A I R )  :                                               */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*        Definition (due a Patrice Jeener et simplifiee aux environs du 20030304171944 par Edmond Bonan, 'v $xrs/bKlein.51$K') :    */
/*                                                                                                                                   */
/*                    Elle est definie parametriquement                                                                              */
/*                  en fonction des deux parametres 'u'                                                                              */
/*                  et 'v' :                                                                                                         */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                 S+1                  p       ___                                                  */
/*                                      W(u,v)  = -----.(cos((S+1).u + ---) + \/ 2 )                                                 */
/*                                                  4                   T                                                            */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                  S-1                                              */
/*                                      F (u,v) = S.cos(u) + cos(S.u) - W(u,v).sin(-----.u).cos(v)                                   */
/*                                       x                                           2                                               */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                  S-1                                              */
/*                                      F (u,v) = S.sin(u) - sin(S.u) - W(u,v).cos(-----.u).cos(v)                                   */
/*                                       y                                           2                                               */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      F (u,v) = W(u,v).sin(v)                                                                      */
/*                                       z                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                  avec :                                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      u E [ 0 , 2.p ]                                                                              */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      v E [ 0 , 2.p ]                                                                              */
/*                                                                                                                                   */
/*                  (ou 'p' designe 'pi').                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*                    A titre d'exemple, voici quelques                                                                              */
/*                  jeux de parametres {S,T} utiles :                                                                                */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      {S=2,T=4} ==> triple bouteille de Klein (N=3),                                               */
/*                                      {S=3,T=5} ==> quadruple "bouteille de Klein" (N=4),                                          */
/*                                      {S=4,T=6} ==> quintuple bouteille de Klein (N=5).                                            */
/*                                                                                                                                   */
/*                    Evidemment la surface obtenue n'est unilatere                                                                  */
/*                  que si 'N' est impair. Ainsi, la "triple bouteille"                                                              */
/*                  est bien une bouteille de Klein, alors que la "quadruple                                                         */
/*                  bouteille" est une fausse bouteille de Klein car bilatere...                                                     */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*************************************************************************************************************************************/


(Nota : les lignes d'explications qui précèdent sont des commentaires extraits des programmes ayant été utilisés pour calculer les images correspondantes. Ce programme en est un exemple parmi des centaines.)


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