Définition du Modèle d'Ising Tridimensionnel






Jean-François COLONNA
www.lactamme.polytechnique.fr
jean-francois.colonna@polytechnique.edu
CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, Ecole Polytechnique, CNRS, 91128 Palaiseau Cedex, France
france telecom, France Telecom R&D

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/*************************************************************************************************************************************/
/*                                                                                                                                   */
/*        M O D E L E   D E   I S I N G   T R I D I M E N S I O N N E L  :                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*        Definition :                                                                                                               */
/*                                                                                                                                   */
/*                    Considerons un ensemble de points                                                                              */
/*                  'P(i)' porteurs chacun d'un spin 'S(i)'                                                                          */
/*                  (valant en general -1/2 ou +1/2)                                                                                 */
/*                  et disposes sur un reseau cubique.                                                                               */
/*                  A chaque pas de temps, on choisira                                                                               */
/*                  aleatoirement quelques points pour                                                                               */
/*                  lesquels on evalue la quantite :                                                                                 */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                  _____                                                                            */
/*                                                  \                                                                                */
/*                                                   \                                                                               */
/*                                      dE(i) = f.J. /    S(i).S(j)                                                                  */
/*                                                  /____                                                                            */
/*                                                    j                                                                              */
/*                                                                                                                                   */
/*                  ou l'indice 'j' parcourt les 6 premiers                                                                          */
/*                  voisins de 'P(i)' et ou 'J' designe la constante                                                                 */
/*                  de couplage (c'est-a-dire la force de celui-ci) et                                                               */
/*                  'f' une constante (positive en general, une valeur                                                               */
/*                  negative simulant l'anti-ferromagnetisme). Alors :                                                               */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      si dE(i) <= 0, 'S(i)' est inverse : S(i) = -S(i)                                             */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                   dE(i)                                           */
/*                                                                                - -------                                          */
/*                                                                                    k.T                                            */
/*                                      sinon, 'S(i)' n'est inverse que si : p < e                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*                  ou 'p' est un nombre aleatoire (dans [0,1], 'k'                                                                  */
/*                  designe la constante de Boltzmann (dont la valeur est                                                            */
/*                  1.38066e-23 J^1K^-1 mais qui sera en general remplacee                                                           */
/*                  par 1 dans les simulations effectuees) et enfin 'T'                                                              */
/*                  est la temperature "locale".                                                                                     */
/*                                                                                                                                   */
/*                    Il existe une temperature critique, mais contrairement                                                         */
/*                  au cas bidimensionnel, elle n'est pas encore connue                                                              */
/*                  (a la date du 20001213105228...).                                                                                */
/*                                                                                                                                   */
/*                    Il s'agit d'un systeme auto-organise, ainsi qu'il                                                              */
/*                  possible de le voir dans les simulations.                                                                        */
/*                                                                                                                                   */
/*                    Appelons "noyau" (ou "voisinage") le tenseur                                                                   */
/*                  3x3x3 defini comme suit :                                                                                        */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                  /-------/                                                                        */
/*                                                 /| 0 0 0 |                                                                        */
/*                                                / | 0 1 0 |                                                                        */
/*                                               /  | 0 0 0 |                                                                        */
/*                                              /   /-------/                                                                        */
/*                                             /   /       /                                                                         */
/*                                            /-------/   /                                                                          */
/*                                           /| 0 1 0 |  /                                                                           */
/*                                          / | 1 0 1 | /                                                                            */
/*                                         /  | 0 1 0 |/                                                                             */
/*                                        /   /-------/                                                                              */
/*                                       /   /       /                                                                               */
/*                                      /-------/   /                                                                                */
/*                                      | 0 0 0 |  /                                                                                 */
/*                                      | 0 1 0 | /                                                                                  */
/*                                      | 0 0 0 |/                                                                                   */
/*                                      /-------/                                                                                    */
/*                                                                                                                                   */
/*                  et qui sert a ponderer les spins des (3x3x3)-1=26 points                                                         */
/*                  voisins d'un point donne (represente par l'element                                                               */
/*                  central de cette matrice). La configuration                                                                      */
/*                  ci-dessus correspond effectivement a la recherche                                                                */
/*                  des 6 premiers voisins. Il est alors possible de                                                                 */
/*                  generaliser cela et de definir ainsi des noyaux                                                                  */
/*                  de dimensions quelconques et contenant des valeurs                                                               */
/*                  arbitraires. Une application de cela est la generation                                                           */
/*                  de certains types de textures tridimensionnelles.                                                                */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*************************************************************************************************************************************/


(Nota : les lignes d'explications qui précédent sont des commentaires extraits des programmes ayant été utilisés pour calculer les images correspondantes. Ce programme en est un exemple parmi des centaines.)


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