Définition d'un Pseudo-Tore à deux trous






Jean-François COLONNA
www.lactamme.polytechnique.fr
jean-francois.colonna@polytechnique.edu
CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, Ecole Polytechnique, CNRS, 91128 Palaiseau Cedex, France

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/*************************************************************************************************************************************/
/*                                                                                                                                   */
/*        D E F I N I T I O N   D E S   T R O I S   F O N C T I O N S   ' F '  :                                                     */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*        Definition :                                                                                                               */
/*                                                                                                                                   */
/*                    Le pseudo-tore a deux trous est defini parametriquement                                                        */
/*                  en fonction des deux parametres 'u'                                                                              */
/*                  (appele aussi 'distance polaire' ou                                                                              */
/*                  'teta' ou encore 'latitude') et 'v'                                                                              */
/*                  (appele aussi 'longitude' ou 'phi') :                                                                            */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      Choix(u,v) = +1     si v < M.(4.pi/D)                                                        */
/*                                                 = -1     sinon                                                                    */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                   __________                                                      */
/*                                                                  / A+cos(v)                                                       */
/*                                      XPlan(u,v) = R.Choix(u,v).\/ ----------                                                      */
/*                                                                       B                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                      sin(v)                                                                       */
/*                                      YPlan(u,v) = R.--------                                                                      */
/*                                                       C                                                                           */
/*                                                                              Definition d'une courbe plane en forme de "8".       */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      dXPlan(u,v) = d#XPlan(u,v)                                                                   */
/*                                      dYPlan(u,v) = d#YPlan(u,v)                                                                   */
/*                                                                              La tangente T est donc {+dXPlan(u,v),+dYPlan(u,v).   */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      Psi(u,v) = arctg(-dXPlan(u,v),+dYPlan(u,v))                                                  */
/*                                                                              La normale N est orthogonale a la tangente T         */
/*                                                                              et est donc {+dYPlan(u,v),-dXPlan(u,v)}.             */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      Xellipse(u,v) = Ra.cos(u)                                                                    */
/*                                      Yellipse(u,v) = 0                                                                            */
/*                                      Zellipse(u,v) = Rb.sin(u)                                                                    */
/*                                                                              Definition d'une ellipse dans le plan {OX,OZ}.       */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      F (u,v) = [Xellipse(u,v)*cos(psi)] - [Yellipse(u,v)*sin(psi)] + XPlan(u,v)                   */
/*                                       x                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      F (u,v) = [Xellipse(u,v)*sin(psi)] + [Yellipse(u,v)*cos(psi)] + YPlan(u,v)                   */
/*                                       y                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      F (u,v) = Zellipse(u,v)                                                                      */
/*                                       z                                                                                           */
/*                                                                              Definition d'une ellipse dont le centre est le point */
/*                                                                              courant {XPlan(u,v),YPlan(u,v),0} et situee dans le  */
/*                                                                              plan {N,OZ}.                                         */
/*                                                                                                                                   */
/*                  et (parametres par defaut) :                                                                                     */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      M=1                                                                                          */
/*                                      D=2                                                                                          */
/*                                      R=1                                                                                          */
/*                                      A=1                                                                                          */
/*                                      B=2                                                                                          */
/*                                      C=2                                                                                          */
/*                                                                                                                                   */
/*                  avec :                                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      u E [ 0 , 2.p ]                                                                              */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      v E [ 0 , 4.p ]                                                                              */
/*                                                                                                                                   */
/*                  (ou 'p' designe 'pi').                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                    A cause de la derivee 'd#XPlan(u,v)' qui                                                                       */
/*                  fait descendre 'A+cos(v)' en denominateur,                                                                       */
/*                  il est imperatif que :                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      A+cos(v) # 0                                                                                 */
/*                                                                                                                                   */
/*                  Si par malheur :                                                                                                 */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      A+cos(v) = 0                                                                                 */
/*                                                                                                                                   */
/*                  il convient d'ajouter un 'epsilon' a 'v'                                                                         */
/*                  afin de supprimer cette nullite, d'ou la                                                                         */
/*                  fonction 'v_corrige(v)' qui remplacera 'v'                                                                       */
/*                  dans les definitions de 'Fx(u,v)' et de                                                                          */
/*                  'Fy(u,v)'.                                                                                                       */
/*                                                                                                                                   */
/*                    Ainsi, la coordonnee 'u' decrit la petite                                                                      */
/*                  ellipse (de "rayons" 'Ra' et 'Rb') et 'v'                                                                        */
/*                  decrit la courbe en forme de '8'.                                                                                */
/*                                                                                                                                   */
/*                    Tout ceci est tres inspire de 'v $xtc/huit.03$c'                                                               */
/*                  en faisant :                                                                                                     */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      u = phi  E [0,2.p]                                                                           */
/*                                      v = teta E [0,4.p]                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*************************************************************************************************************************************/


(Nota : les lignes d'explications qui précèdent sont des commentaires extraits des programmes ayant été utilisés pour calculer les images correspondantes. Ce programme en est un exemple parmi des centaines.)


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